橢圓和雙曲線綜合

1、橢圓和雙曲線綜合練習(xí)卷1. 設(shè)橢圓，雙曲線，（其中）的離心率分別為 ，則（ ）A B C D與1大小不確定【答案】，所以，故選B.2. 已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】C 設(shè)在漸近線上，直線方程為，由，得，即，由，得，因?yàn)樵陔p曲線上，所以，化簡(jiǎn)得，故選C3. 已知，若圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）A B C D【答案】A 由圓及雙曲線的對(duì)稱性可知，當(dāng)，即時(shí)，圓與雙曲線有公共點(diǎn)，則離心率，故選A4. 為雙曲線的漸近線位于第一象限上的一點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線左焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)到其右焦

2、點(diǎn)的距離為（ ）A B C D【答案】A 由題意，知，漸近線方程為，所以不妨令，則有，解得，所以，所以點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離為，故選A5. 設(shè)分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值為（ ）A. B. C. D.【答案】B 由橢圓與雙曲線的定理，可知，所以，因?yàn)?，所以，即，即，因?yàn)?，所以，故選B6. 若圓與雙曲線的一條漸近線相切，則此雙曲線的離心率為（ ）A B C2 D【答案】A 由題意得，選A.7. 已知雙曲線的兩頂點(diǎn)為，虛軸兩端點(diǎn)為，兩焦點(diǎn)為，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則雙曲線的離心率為（ ）A B C D【答案】C 直線方程為，即，由題意

3、，變形為，故選C8. 已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則的周長(zhǎng)為（ ）A B C D【答案】D易知，所以軸，又，所以周長(zhǎng)為9. 若點(diǎn)F1、F2分別為橢圓C:的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),則PF1F2的重心G的軌跡方程為（）A B C D【答案】C10. 過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，若|AB|4，則滿足條件的直線l有（ ）A4條 B3條 C2條 D無(wú)數(shù)條【答案】B 雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的距離是2，小于4，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)一定有兩條直線使得交點(diǎn)之間的距離等于4，當(dāng)直線與實(shí)軸垂直時(shí)，有，直線AB的長(zhǎng)度是4，綜上可知有三條直線滿

4、足|AB|=4，故選B11. 在區(qū)間和內(nèi)分別取一個(gè)數(shù)，記為和，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為（ ）A B C D【答案】B 因?yàn)榉匠瘫硎倦x心率小于的雙曲線，.它對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，則方程表示離心率小于的雙曲線的概率為：,故選B.12. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，雙曲線的離心率為，若雙曲線上一點(diǎn)使，則的值為（ ）A B C D【答案】B 由雙曲線方程得，由雙曲線定義得，因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，可解得，由知，根?jù)余弦定理可知，故選B.13. 已知點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C 設(shè)，則，由題意有，所以所以，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，

5、故選C.14. 橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是,那么直線斜率的取值范圍是（）ABCD【答案】B 15. 已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn),若是銳角三角形,則該雙曲線離心率的取值范圍是（）A B C D答案：C16. 過(guò)雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為（ ）A10 B13 C16 D19【答案】B【解析】如圖所示，根據(jù)切線，可有，所以最小值為.17. 過(guò)點(diǎn)作直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線（）A存在一條,且方程為B存在無(wú)數(shù)條 C存在兩條,方程為D不存在答案：D18. 已知雙曲線的右焦

6、點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是_【答案】2，)19. 已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為 【答案】【解析】設(shè)，則，所以20. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是圓與位于軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_(kāi)【答案】【解析】由雙曲線定義得，因?yàn)椋?，再利用余弦定理得，化?jiǎn)得21. 已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】由雙曲線定義可知，故，可知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，且最小值為.22. 如圖，已知雙曲線上有一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的

7、對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，且滿足,設(shè),且,則該雙曲線離心率的取值范圍為 【答案】【解析】設(shè)是左焦點(diǎn)，由對(duì)稱性得，設(shè)，則，又，因?yàn)椋?，則又，再由，得，即23. 以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中：設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為正常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；和定點(diǎn)及定直線的距離之比為的點(diǎn)的軌跡方程為其中真命題的序號(hào)為 _【答案】【解析】中需要對(duì)的取值范圍加以限定；中有公式可知兩個(gè)曲線的焦點(diǎn)分別是；中方程的兩個(gè)根分別是和；中直線的方程應(yīng)該是；故答案為.24. 已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為.設(shè)線段的中點(diǎn)為，若，則該橢圓離心率的取值

8、范圍為 【答案】25. 過(guò)點(diǎn)作一直線與橢圓相交于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為弦的中點(diǎn)，則所在直線的方程為 【答案】【解析】設(shè)，分別代入橢圓的方程中，可得：，由-可得，因?yàn)辄c(diǎn)是弦的中點(diǎn)，=，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)（1,1），所以直線的方程為，即.26. 設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線l的距離為2.（1）求橢圓C的焦距；（2）如果2，求橢圓C的方程解：(1)設(shè)焦距為2c，則F1(c,0)F2(c,0)kltan60 l的方程為y(xc) 即：xyc0f1到直線l的距離為2 c2c2 橢圓C的焦距為4(2)設(shè)A(x1，y1

9、)B(x2，y)由題可知y10，y20直線l的方程為y(x2)得(3a2b2)y24b2y3b2(a24)0由韋達(dá)定理可得2y12y2，代入得得又a2b24 由解得a29b25 橢圓C的方程為127. 已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,離心率,虛軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)（均異于左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn),求證：直線過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）試題解析：（1）設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知得又,解得,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2） 設(shè),聯(lián)立,得,有,以為直徑的圓過(guò)雙曲線的左頂點(diǎn),即,解得或.當(dāng)時(shí),的方程為,直線過(guò)定點(diǎn),

10、與已知矛盾；當(dāng)時(shí),的方程為,直線過(guò)定點(diǎn),經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件,所以直線過(guò)定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為.28. 已知橢圓y21上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B關(guān)于直線ymx對(duì)稱（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn))解(1)由題意知m0，可設(shè)直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因?yàn)橹本€yxb與橢圓y21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以2b220，設(shè)M為AB的中點(diǎn)，則M，代入直線方程ymx 解得b. 由得m. (2)令t，則|AB|，且O到直線AB的距離d.設(shè)AOB的面積為S(t)，所以 S(t)|AB|d ，當(dāng)且僅當(dāng)t2時(shí)，等號(hào)成立故AOB面積的最大值為.29. 已知橢圓的左焦點(diǎn)為,離心

11、率為，點(diǎn)M在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長(zhǎng)為c，（1）求直線的斜率；（2）求橢圓的方程；（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點(diǎn)）的斜率的取值范圍.【答案】(I) ； (II) ；(III) .【解析】(I) 由已知有，又由，可得，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由已知有，解得.(II)由(I)得橢圓方程為，直線的方程為，兩個(gè)方程聯(lián)立，消去，整理得，解得或，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，可得的坐標(biāo)為，由，解得，所以橢圓方程為(III)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，得，即,與橢圓方程聯(lián)立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，設(shè)直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得.當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得當(dāng)時(shí)，有，因此，于是，得綜上，直線的斜率的取值范圍是30. 已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為（1）求橢圓的離心率；（2）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）先寫過(guò)點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知