求數列通項公式的常用方法

1、求數列通項公式的常用方法 摘要：高中數學的學習，由于時間緊，任務重，因此，在學習中，我們要幫助學生構建知識體系，梳理基礎知識，要注重培養(yǎng)學生知識結構的整體性和綜合性，幫助學生總結規(guī)律，并加以靈活的運用。關鍵詞：數列；通項公式；靈活運用各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。本文總結了以下九種求數列通項公式的常用方法：1、 觀察法 2、定義法 3、公式法 4、累加法 5、累乘法 6、迭代法7、化歸法 8、分n奇偶討論法 9、待定系數法（構造法）一、觀察法觀察各項的特點，觀察數列中各項與其序號間的關系

2、，分解各項中的變化部分與不變部分，再探索各項中變化部分與序號間的關系，從而歸納出構成規(guī)律寫出通項公式,關鍵是找出各項與項數n的關系.例1、根據數列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999， 二、定義法 直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目例2、 設等差數列an滿足a3 =5,a10 = - 9, 求數列an的通項公式解：例3等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，求數列的通項公式解：設數列公差為成等比數列，即，得 ， 由得：， 點評：利用定義法求數列通項時要注意不用錯定義，設法求出首項與公差（公比）后再寫出通項。三

3、、公式法若已知數列的前項和與的關系，求數列的通項可用公式求解,要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并.例4已知數列的前項和滿足，求數列通項公式解：由當時，有 ， 經驗證也滿足上式，所以四、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)為等差或等比數列或其它可求和的數列）的數列通項，可用累加法，即令n=2，3，n1得到n1個式子累加求得通項。例5、已知數列an中，a1=1，對任意自然數n都有，求解：由已知得，以上式子累加，利用得，點評：累加法是反復利用遞推關系得到n1個式子累加求出通項，這種方法最終轉化為求f(n)的前n1項的和，要注意求和的技巧五、累乘法對形如的數列的通項，可用累乘法，即令

4、n=2，3，n1得到n1個式子累乘求得通項。例6已知數列中，前項和與關系是，求通項公式.解：由得兩式相減得：，將上面n1個等式相乘得：點評：累乘法是反復利用遞推關系得到n1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉化為求f(n)的前n1項的積，要注意求積的技巧6、 迭代法求形如(其中為常數) 的數列通項，反復利用遞推關系迭代求出。例7、已知數列an滿足a1=1，且an+1 =+1，求解：an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=33an-2+31+1= =(3n-1)a1+(3n-2)1+(3n-3)1+31+1=點評：運用迭代法解題時，一般數據繁多，迭代時要小心計算，應避免計算錯誤，導致走進死

5、胡同七、化歸法想方設法將非常規(guī)問題化為我們熟悉的數列問題來求通項公式的方法即為化歸法同時，這也是我們在解決任何數學問題所必須具備的一種思想。例8已知數列滿足求an解：當兩邊同除以，即成立，首項為5，公差為4的等差數列點評：本題借助為等差數列得到了的通項公式，是典型的化歸法常用的化歸還有取對數化歸，待定系數化歸等，一般化歸為等比數列或等差數列的問題，是高考中的常見方法八、分n奇偶討論法在有些數列問題中，有時要對n的奇偶性進行分類討論以方便問題的處理。例9已知數列an中，a1=1且，求數列an的通項公式解： 由 , ，兩式相除，得=則a1,a3,a5,a2n-1，和a2,a4,a6,a2n，都是公比為的等比數列，又a1=1,a2=，則：（1）當n為奇數時，； （2）當n為偶數時， 綜合得點評：對n的奇偶性進行分類討論的另一種情形是題目中含有時，分n為奇偶即可自然引出討論分類討論相當于增加條件,變不定為確定注意最后能合寫時一定要合并。九、待定系數法（構造法）求遞推式如（p、q為常數）的數列通項，可用待定系數法轉化為我們熟知的數列求解，相當于換元法。例10已知數列an滿足a1=1，且an+1 =3an+2，求an解：設，則，為等比數列， 故：點評：求遞推式形如（p、q為常數）的數列通項，可用迭代法或待定系數法構造新數列an+1+=p(an+)來求得。 例11已