橢圓中焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)(含答案)

1、焦點(diǎn)三角形習(xí)題性質(zhì)一：過(guò)橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑(垂直于焦點(diǎn)的弦)最短，通徑為性質(zhì)二：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則.證明：記，由橢圓的第一定義得在中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面積公式得：.同理可證，在橢圓（0）中，公式仍然成立. 性質(zhì)三：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形中則性質(zhì)三證明：設(shè)則在中，由余弦定理得： 命題得證。例1. 若P是橢圓上的一點(diǎn)，、是其焦點(diǎn)，且，求的面積.例1解法一：在橢圓中，而記點(diǎn)P在橢圓上，由橢圓的第一定義得：在中，由余弦定理得：配方，得：從而解法二：在橢圓中，而例2.已知P是橢圓上的點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則的面積為（ ）A.

2、B. C. D. 解：設(shè)，則，故選答案A.例3.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，點(diǎn)P在橢圓上. 若P、是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（ ）A. B. C. D. 或解：若或是直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為半通徑的長(zhǎng)；若P是直角頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到軸的距離為h，則，又，故選D.1. 橢圓上一點(diǎn)P與橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)、的連線互相垂直，則的面積為（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 解：，.故選D.2. 橢圓的左右焦點(diǎn)為、， P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，的值為（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 解：設(shè)，.故選A.3. 橢圓的左右焦點(diǎn)為、， P是橢圓上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最

3、大時(shí)，的值為（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 解：，設(shè)， ，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，為最大，這時(shí)點(diǎn)P為橢圓短軸的端點(diǎn)，.故答案選D.4已知橢圓（1）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則的值為（ ）A1 B C D 解：，又，從而.故答案選C.5. 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，、為焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，直線與傾斜角的差為，的面積是20，且c/a=5/3，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：設(shè)，則. ，又，即.解得：.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或.專題2：離心率求法：1若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與它的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.1.解析：選A.如圖所示，四邊形B1

4、F2B2F1為正方形，則B2OF2為等腰直角三角形，.2若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.2.解析：選B.由題意知2bac，又b2a2c2，4(a2c2)a2c22ac.3a22ac5c20.5c22ac3a20.5e22e30.e或e1(舍去)3若橢圓的短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的最近距離是1，則橢圓的離心率為_3.解析：依題意，得b3，ac1.又a2b2c2，解得a5，c4，橢圓的離心率為e. 答案：4.已知A為橢圓1(a>b>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AB、AC分別過(guò)焦點(diǎn)F1、 F2，且與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，若當(dāng)A

5、C垂直于x軸時(shí)，恰好有|AF1|AF2|31，求該橢圓的離心率4.解：設(shè)|AF2|m，則|AF1|3m，2a|AF1|AF2|4m.又在RtAF1F2中，|F1F2|2m.e.5如圖所示，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)等于右焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)等于短半軸長(zhǎng)的，求橢圓的離心率 5. 解：法一：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距長(zhǎng)分別為a、b、c.則焦點(diǎn)為F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(c，b)，則MF1F2為直角三角形在RtMF1F2中，|F1F2|2|MF2|2|MF1|2，即4c2b2|MF1|2.而|MF1|MF2|b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.e21， e.法二：設(shè)橢圓方程為1