公交路線優(yōu)化

1、山西大學(xué)公交路線優(yōu)化1 研究背景隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)建設(shè)的快速發(fā)展，城市交通供求矛盾日益突出，公共交通所具有的強(qiáng)大優(yōu)勢(shì)也越來(lái)越受到人們的廣泛關(guān)注。太原市作為山西省的首都，城市人口相對(duì)比重較大。太原市城市公共交通在城市交通中起著支撐性的作用，為緩解太原市交通擁堵、解決交通供給矛盾、實(shí)現(xiàn)城市交通的可持續(xù)發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。城市不斷發(fā)展的態(tài)勢(shì)與城市空間資源有限性之間的摩擦、可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略與不斷惡化的城市環(huán)境之間的矛盾使得人們逐漸認(rèn)識(shí)到城市公共交通發(fā)展的重大意義，然而對(duì)于如何發(fā)展公共交通事業(yè)，大家卻有不同的看法。盡管公交優(yōu)先發(fā)展策略已經(jīng)實(shí)施了十幾年，我國(guó)的公共交通系統(tǒng)還很不完善，在很多時(shí)候，人們的認(rèn)識(shí)往往還

2、停留在多建道路設(shè)施、多建大容量交通以及多引進(jìn)高新技術(shù)等方面，效果總是在短期內(nèi)產(chǎn)生，然而現(xiàn)狀卻得不到有效的改善而使問(wèn)題呈現(xiàn)此起彼伏的態(tài)勢(shì)。隨著城市化進(jìn)程的加快，交通個(gè)性化需求不斷增長(zhǎng)，社會(huì)福利事業(yè)的發(fā)展也對(duì)公共交通系統(tǒng)提出越來(lái)越高的要求，城市公共交通系統(tǒng)正面臨著重大結(jié)構(gòu)調(diào)整。作為有限的公共資源，公交系統(tǒng)在不斷的發(fā)展過(guò)程中，暴露了一系列的問(wèn)題，主要表現(xiàn)為：城中心地區(qū)線路重復(fù)較多，邊緣地區(qū)線網(wǎng)覆蓋不夠；線路規(guī)劃事實(shí)缺乏有效管理，導(dǎo)致線網(wǎng)層次結(jié)構(gòu)不盡合理；公交運(yùn)行速度偏低。此外，還存在著行車準(zhǔn)點(diǎn)率低、客流不均衡、運(yùn)營(yíng)效率不高、換乘不便、覆蓋不夠等問(wèn)題。這些都影響了公交的整體服務(wù)水平，導(dǎo)致公交方式的吸引

3、力逐年下降，刺激部分公共交通向私人交通（自行車、小汽車交通）轉(zhuǎn)換，從而使得本來(lái)就不合理的客運(yùn)交通結(jié)構(gòu)愈加不合理，城市客運(yùn)交通發(fā)展陷入了惡性循環(huán)。因此，科學(xué)利用和合理配置公交線路，是目前急需研究和有待解決的課題。此次系統(tǒng)分析主要以山西大學(xué)周圍的公交路線為例，進(jìn)行線路評(píng)價(jià)體系的研究，通過(guò)研究掌握線路運(yùn)營(yíng)及服務(wù)水平的優(yōu)劣情況，為線路優(yōu)化調(diào)整提供依據(jù)。山西大學(xué)是太原市公交系統(tǒng)的重要公交站點(diǎn)。同時(shí)山大學(xué)子主要是以公交作為主要的出行方式，而且我們出行路線的決定主要是將百度地圖作為選擇工具，但是由于百度地圖是為大眾提供的一種方式并不可以滿足特殊的出行需求，不同的人群對(duì)于滿意度的指標(biāo)有著不同的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，所以百

4、度地圖不可以很好的滿足山大學(xué)子的需求。為了對(duì)路線進(jìn)行優(yōu)化進(jìn)行系統(tǒng)分析。以下是對(duì)山西大學(xué)周圍公交進(jìn)行調(diào)查和統(tǒng)計(jì)的結(jié)果，公交情況分析表如下：公交起點(diǎn)終點(diǎn)總站數(shù)距離山大站點(diǎn)票價(jià)103路廣場(chǎng)財(cái)經(jīng)大學(xué)16131315路崗頭財(cái)經(jīng)大學(xué)1613139路下元財(cái)經(jīng)大學(xué)25251502路火車南站勝利橋東348270路財(cái)經(jīng)大學(xué)東客站1741817支路五龍溝(武警訓(xùn)練培訓(xùn)中心)體育館25141817路體育館龍城大街東口22131849路火車南站勝利橋東17131861路東中環(huán)凱旋街口火車南站27201868路小井峪街火車南站27231870路小店育才小學(xué)火車站(五一東街社會(huì)主義學(xué)院)33121877路富士康園區(qū)富士康園

5、區(qū)42281903支路下元省高校新區(qū)49234901路太原火車站晉中公交南場(chǎng)2032 系統(tǒng)環(huán)境城市公共交通系統(tǒng)在功能上局限于衍生性需求的綜合交通系統(tǒng)，城市公共交通系統(tǒng)按運(yùn)輸方式主要包括地鐵、輕軌、公電汽等各個(gè)子系統(tǒng)，按供需關(guān)系則包括由各種交通設(shè)施、運(yùn)輸工具等組成的供給系統(tǒng)和由各種空間上集聚擴(kuò)散作用所產(chǎn)生的需求系統(tǒng)。此外還有由規(guī)劃、決策、實(shí)施等構(gòu)成的管理系統(tǒng)等。這些子系統(tǒng)相互作用彼此協(xié)調(diào)，但同時(shí)也受到系統(tǒng)環(huán)境如社會(huì)經(jīng)濟(jì)、政策、生態(tài)環(huán)境及城市大交通體系等的深刻影響。這些系統(tǒng)環(huán)境共同構(gòu)成了公交系統(tǒng)發(fā)展的大背景，從另外一面也映射出公交系統(tǒng)的環(huán)境。城市交通系統(tǒng)政策體系社會(huì)經(jīng)濟(jì)生態(tài)環(huán)境城市公交系統(tǒng)公交規(guī)劃

6、公交設(shè)施公交運(yùn)營(yíng)運(yùn)營(yíng)調(diào)度路線管理3 系統(tǒng)分析過(guò)程主要以城市公交系統(tǒng)作為研究對(duì)象，以客觀的數(shù)據(jù)資料為依據(jù)，以系統(tǒng)分析的相關(guān)理論為工具對(duì)以山西大學(xué)為主，常去站點(diǎn)為輔的公交系統(tǒng)進(jìn)行分析，利用了層次分析法、模糊綜合評(píng)判法、MATLAB求最大值以及系統(tǒng)仿真分析等工具，最終對(duì)山西大學(xué)公交以及整個(gè)公交系統(tǒng)進(jìn)行了一定程度的分析，分析過(guò)程如下。初步分析山西大學(xué)公交情況總體系統(tǒng)的界定規(guī)范分析AHP層次分析確定權(quán)重關(guān)聯(lián)矩陣法分析滿意度MATLAB-floyd計(jì)算最短距離綜合分析系統(tǒng)的分析4 影響公交滿意度的因素分析一般對(duì)于公交的評(píng)價(jià)指標(biāo)或因素有以下幾點(diǎn)：乘坐的滿意度A、舒適度B1、可達(dá)性B2、快捷性B3、經(jīng)濟(jì)性B4

7、、等車時(shí)間C1、換乘次數(shù)C2、票價(jià)C3、步行時(shí)長(zhǎng)C4、運(yùn)行時(shí)間C5、車內(nèi)環(huán)境等因素C5。 根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，確定各要素的遞階層級(jí)結(jié)構(gòu)，如下：滿意度可達(dá)性B運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)舒適性快捷性經(jīng)濟(jì)性換乘次數(shù)步行長(zhǎng)度等待時(shí)長(zhǎng)票價(jià)車廂舒適度目標(biāo)層準(zhǔn)則層指標(biāo)層4.1 層次分析法分析方法：（1）分析系統(tǒng)中各基本要素的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層級(jí)矩陣；（2）對(duì)同一層次上的各元素關(guān)于上一層次的重要性進(jìn)行分析，構(gòu)造兩兩比較的判斷矩陣，并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)；公式：a.計(jì)算權(quán)重 b.計(jì)算一致性指標(biāo)C.I.= 計(jì)算一致性比例C.R.= <0.1 c.技術(shù)max：（3）判斷矩陣計(jì)算比較要素之間的相對(duì)權(quán)重。因素Ai比因素Aj很重要記為：5重

8、要記為：3稍重要記為：2同等重要記為：1稍次要記為：1/2次要記為：1/3很次要記為：1/5(4) 計(jì)算各層要素對(duì)系統(tǒng)的合成權(quán)重，并對(duì)指標(biāo)進(jìn)行排序。a.準(zhǔn)則層權(quán)重AB1B2B3B4WiWi0mimax=4.055C.I.=0.018R.I.=0.89C.R.=0.02<0.1B113111.3160.2914.309B210.5770.1273.291B313111.3160.2914.309B413111.3160.2914.309(4.525)b.B1要素分析B1C1C2WiWi0mimax=2C.I.=0C.R.=0<0.1C1131.7320.7502C210.5770.2

9、502(2.309)c.B2要素分析B2C3C4C5C6WiWi0mimax=4.011C.I.=0.004C.R.=0.04<0.1C311321.5650.3514.009C411321.5650.3514.009C510.4860.1094.014C6210.8410.1894.011(4.457)d.B3要素分析B3C1C2C3WiWi0mimax=3.039C.I.=0.02C.R.=0.04<0.1C110.4060.1053.036C25132.4660.6373.04C33110.2583.04（3.872）e.B4要素分析B4C1C2C3C6WiWi0mimax=

10、4.03C.I.=0.015R.I.=0.02<0.1C1110.5080.0964.031C251352.9430.5584.065C33131.310.254.065C6110.590.964.031(5.275)f.指標(biāo)層的各指標(biāo)的權(quán)重B1B2B3B4權(quán)重(0.291)(0.291)(0.291)(0.127)C10.750.0960.1050.26C20.250.5580.6370.32C30.250.3510.2580.21C40.3510.1C50.1090.03C60.0960.1890.08（5） 各個(gè)指標(biāo)層的權(quán)重指標(biāo)權(quán)重運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)0.26換乘次數(shù)0.32步行距離0.21等

11、待時(shí)長(zhǎng)0.1票價(jià)0.03車廂舒適度0.084.2 對(duì)山西大學(xué)常去路線分析模糊綜合評(píng)判法分析方法：（1）路線實(shí)施結(jié)果例表：起點(diǎn)目的地車輛時(shí)間（分）步行時(shí)長(zhǎng)（米）價(jià)格（元）換乘次數(shù)車廂舒適度山西大學(xué)北美849路2618310等車時(shí)間長(zhǎng)、人多火車站868路48122710等車時(shí)中等，人少柳巷502-10路539031等車時(shí)間短、人多火車南站868路37120010等車時(shí)中等，人少北美山西大學(xué)849路2618310等車時(shí)間長(zhǎng)、人多火車站21路4785910等車時(shí)間長(zhǎng)、人多柳巷610路5099110等車時(shí)中、人中等火車南站51路4786710等車時(shí)中等、人特多火車站北美21路4785910等車時(shí)中、人特

12、多山西大學(xué)868路48122710等車時(shí)間長(zhǎng)、人多柳巷10路2782410等車時(shí)中、人中等火車南站901路4663530等車時(shí)間長(zhǎng)、人特多火車南站北美51路4786710等車時(shí)中等、人特多火車站901路4663530等車時(shí)中等、人多柳巷51路6338810等車時(shí)中等、人特多山西大學(xué)868路37120010等車時(shí)中等，人少柳巷北美610路5099110等車時(shí)特長(zhǎng)、人中等火車站10路2782410等車時(shí)中、人中等山西大學(xué)502-10路539031等車時(shí)間短、人多火車南站51路6338810等車時(shí)中等、人特多（2）設(shè)立評(píng)價(jià)尺度例表：滿意（100）較滿意（85）一般（70）不滿意（55）運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)0-3

13、030-4545-6060以上換乘次數(shù)0123步行距離0-100100-500500-10001000以上等待時(shí)長(zhǎng)等車時(shí)短等車時(shí)中等等車時(shí)長(zhǎng)等車時(shí)特長(zhǎng)票價(jià)1234車廂舒適度人少人中等人多人特多（3）建立各地區(qū)滿意度評(píng)價(jià)表公式：綜合滿意度 Zi=（aij為路線i的指標(biāo)j的權(quán)重，cij為路線i的個(gè)指標(biāo)j的分?jǐn)?shù)）起點(diǎn)目的地運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)換乘次數(shù)步行距離等待時(shí)長(zhǎng)票價(jià)車廂舒適度綜合滿意度山西大學(xué)北美10010085 701007091.45火車站85100558510010085.15柳巷7085100100707084.10火車南站85100558510010085.15北美山西大學(xué)100100857010

14、07091.95火車站7010070701007064.12柳巷7010070851008579.70火車南站8510070851005588.15火車站北美7010070851005580.80山西大學(xué)7010055701007077.35柳巷10010070851005588.60火車南站701007070705578.40火車南站北美7010070851005580.80火車站701007085707082.00柳巷5510085851005580.05山西大學(xué)85100558510010085.15柳巷北美7010070551008580.20火車站10010070851008591.

15、00山西大學(xué)7085100100707084.10火車南站5510085851005580.055 公交滿意度情況分析5.1 分析思路 百度地圖是山大學(xué)子出行路線選擇的主要工具，通過(guò)將百度地圖的最優(yōu)路線進(jìn)行分析，同時(shí)對(duì)最小非滿度（最大滿意度-滿意度）的矩陣進(jìn)行最短路徑的運(yùn)算，兩者進(jìn)行對(duì)比。最后根據(jù)幾個(gè)特定地點(diǎn)的路線的分析，從而進(jìn)行“對(duì)百度地圖路徑算法的是否滿足需求”的研究。5.2 算法過(guò)程：（1） 將最大滿意度用最大值進(jìn)行相減，得到矩陣a值。計(jì)算公式：a=Wmax-Wij，結(jié)果如下：出發(fā)到達(dá)滿意度a值山西大學(xué)北美91.450.5火車站85.156.8柳巷84.17.85火車南站85.156.8

16、北美山西大學(xué)91.950火車站64.1227.83柳巷79.712.25火車南站88.153.8火車站北美80.811.15山西大學(xué)77.3514.6柳巷88.63.35火車南站78.413.55火車南站北美80.811.15火車站829.95柳巷80.0511.9山西大學(xué)85.156.8柳巷北美80.211.75火車站910.95山西大學(xué)84.17.85火車南站80.0511.9（2）算法程序-floyd算法functionD,R=floyd(a)n=size(a,1);D=afor i=1:n for j=1:n R(i,j)=j; endendRfor k=1:n for i=1:n f

17、or j=1:n if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); R(i,j)=R(i,k); end end end k D Rend（3）建立帶賦權(quán)圖，其鄰接矩陣，其中：（4）根據(jù)輸入的賦權(quán)圖的矩陣A(i,j)，得出D(i,j)、R(i,j)： D(i,j)：i到j(luò)的最短距離； R(i,j)：i到j(luò)之間的插入點(diǎn)。（5）對(duì)比結(jié)果，分析i到j(luò)之間本身是否是最短距離，如果是最短距離則可初步分析得出百度地圖分析出來(lái)的最優(yōu)路線是符合山西大學(xué)同學(xué)的最大滿意度的；如果不是，則說(shuō)明百度地圖在路線的算法上應(yīng)該有所改進(jìn)。5.3 分析結(jié)果（1） 賦權(quán)圖如下：（S

18、1-山西大學(xué)，S2-北美，S3-火車站，S4-柳巷，S5-火車南站）S1S2S3S4S5S100.56.87.856.8S20027.8312.253.8S314.611.1503.3513.55S47.8511.750.95011.9S56.811.159.9511.90（2） 得出的D(i,j)、R(i,j)的矩陣，如下：DijS1S2S3S4S5S100.56.87.854.3S2006.87.853.8S311.1511.1503.3513.55S47.858.350.95011.9S56.87.39.9511.90RijS1S2S3S4S5S112345S212115S322345S

19、411345S511345（3） 結(jié)論：根據(jù)運(yùn)行出來(lái)的結(jié)果，除了S3-S1，S4-S2，S5-S2，S2-S4這幾條路線與百度地圖的結(jié)果不同,其他的路線都是最優(yōu)的路線。同時(shí)可以得出結(jié)論，針對(duì)山大的學(xué)生來(lái)說(shuō)從S3-S1時(shí)，由S2轉(zhuǎn)一站會(huì)獲得更大的滿意度；從S4-S2，S5-S2，S2-S4的時(shí)候有S1轉(zhuǎn)一站會(huì)更滿意。5.4 總體評(píng)價(jià)百度地圖的最優(yōu)路線的計(jì)算方式主要是通過(guò)整體的大眾來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，并不一定可以滿足所有的特定的群體的需求，根據(jù)山大學(xué)生的特殊需求，我們對(duì)幾條常用路線進(jìn)行優(yōu)化。經(jīng)過(guò)路線的優(yōu)化，對(duì)于有著特定需求的學(xué)生來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)優(yōu)化處理的路線可以大大的提高出行的滿意度，但是同時(shí)不足是對(duì)于有些對(duì)

20、于十分不愿意轉(zhuǎn)站的同學(xué)來(lái)說(shuō)，可能不愿意采用這種轉(zhuǎn)站的方式。這是對(duì)山大的總體來(lái)進(jìn)行的分析，對(duì)于百度地圖的優(yōu)化提供了一定建議。6 系統(tǒng)仿真分析認(rèn)識(shí)問(wèn)題界定系統(tǒng)要素及因果關(guān)系分析建立結(jié)構(gòu)模型建立數(shù)學(xué)模型仿真模型比較與評(píng)價(jià)政策分析(流圖)(結(jié)構(gòu)方程式)6.1 建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真分析，SD工作程序示意圖：6.2 認(rèn)識(shí)問(wèn)題通過(guò)上述的要素的分析，分析得出來(lái)了運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)、換乘次數(shù)、步行距離、等待時(shí)長(zhǎng)、票價(jià)、車廂舒適度等指標(biāo)對(duì)于公交系統(tǒng)的重要意義，同時(shí)通過(guò)背景中系統(tǒng)的環(huán)境分析進(jìn)行結(jié)合對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行分析。對(duì)于因素進(jìn)行因果分析，除了公交路線的管理等因素外，系統(tǒng)中公交設(shè)施、公交運(yùn)營(yíng)、公交調(diào)度等因素都有一定的因果關(guān)系。

21、 因果關(guān)系圖，如下：因果關(guān)系分析： 公交的滿意度可以大大提高公交的客運(yùn)量，從而使公交公司擴(kuò)大公交規(guī)模增加運(yùn)行的班次，減少了客戶的等車時(shí)間使服務(wù)水平大大提高，更加提高了滿意度情況。但是車輛的擁堵情況會(huì)大大降低客戶的滿意度，所以公交公司的首要任務(wù)是對(duì)路線進(jìn)行改善，減少車輛的擁堵情況。 流圖如下：6.3 系統(tǒng)分析綜合太原市城市公共交通系統(tǒng)的特點(diǎn)，以山西大學(xué)為例建立了公交線路評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，層次分析法進(jìn)行了詳細(xì)的系統(tǒng)分析，并且利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行了線路優(yōu)化應(yīng)用研究。主要的研究成果和結(jié)論如下：（1）線路層次化分析是公交線路優(yōu)化的重要內(nèi)容，也是公交線路優(yōu)化的基礎(chǔ)。合理、科學(xué)的劃分現(xiàn)狀公交線路層次

22、結(jié)構(gòu)，可以有效的提高公交線路的效率。層次分析法是一種定性定量分析相結(jié)合的方法，可以根據(jù)需要把各個(gè)指標(biāo)的重要程度納入到評(píng)價(jià)模型中，比較適合公交線路評(píng)價(jià)這種多目標(biāo)、多決策的綜合評(píng)價(jià)。本文按照公交的評(píng)價(jià)指標(biāo)或因素：乘坐的滿意度A1、舒適度B1、可達(dá)性B2、快捷性B3、經(jīng)濟(jì)性B4、等車時(shí)間C1、換乘次數(shù)C2、票價(jià)C3、步行時(shí)長(zhǎng)C4、運(yùn)行時(shí)間C5、車內(nèi)環(huán)境等分析使乘客滿意度最高的方案，提出優(yōu)化線路功能的層次分析的實(shí)用功能。（2）線路優(yōu)化與仿真分析。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析也是公交線路優(yōu)化的重要內(nèi)容，同時(shí)也是公交線路優(yōu)化的基礎(chǔ)依據(jù)，根據(jù)上述的要素的確定，明白了運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)、換乘次數(shù)、步行距離、等待時(shí)長(zhǎng)、票價(jià)、車廂舒

23、適度等指標(biāo)對(duì)于公交系統(tǒng)的重要意義，通過(guò)分析系統(tǒng)構(gòu)成要素的因果關(guān)系和流圖，進(jìn)行仿真計(jì)算結(jié)果定量分析得出公交滿意度、車輛擁堵情況、運(yùn)營(yíng)收入三者之間的關(guān)系，以便與公交線路的現(xiàn)狀進(jìn)行比較分析與評(píng)價(jià)。 （3）本文對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)重點(diǎn)對(duì)于公交系統(tǒng)的分析指標(biāo)進(jìn)行了一定的評(píng)價(jià)，當(dāng)公交的運(yùn)營(yíng)車輛增加的時(shí)候，公交公司的運(yùn)營(yíng)收入也會(huì)增加將會(huì)減少用戶的候車時(shí)間同時(shí)會(huì)大大提高公司的服務(wù)水平，同時(shí)也會(huì)大大增加公交的滿意度，是一個(gè)正循環(huán)過(guò)程，雖然也會(huì)大大增加車輛的擁堵情況，但是整體仍然起到了正提高的作用，所以整體對(duì)于公交公司來(lái)說(shuō)，適當(dāng)?shù)奶岣哌\(yùn)營(yíng)的公交數(shù)對(duì)于整體將會(huì)有大大的提高。公共交通整體功能的發(fā)揮，是有效利用道路資源，緩解城

24、市交通擁擠的重要方法。公交線路優(yōu)化方法是公交優(yōu)化的核心內(nèi)容，利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化與仿真分析僅限于理論研究，在實(shí)際應(yīng)用中的效果不明顯。城市公交線網(wǎng)是城市公交系統(tǒng)運(yùn)行的物質(zhì)載體，對(duì)公交線網(wǎng)的評(píng)價(jià)尤為重要。運(yùn)用層次分析的評(píng)價(jià)方法的科學(xué)性、準(zhǔn)確性、直觀性和易操作性在各個(gè)領(lǐng)域的綜合評(píng)價(jià)中得到廣泛引用。通過(guò)系統(tǒng)分析評(píng)價(jià)，得出評(píng)價(jià)結(jié)果是：百度路線選擇總體是令人滿意的，但是由于個(gè)人的需求不同，在對(duì)城市公交線網(wǎng)規(guī)劃進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)中必須涉及到參照標(biāo)準(zhǔn)的選擇和確定，提高科學(xué)性、合理性和客觀性，還有待進(jìn)一步深入探討。附錄：MATLAB的運(yùn)行結(jié)果：D,R=floyd(a)D = 0 0.5000 6.8000 7.8500

25、 6.8000 0 0 27.8300 12.2500 3.8000 14.6000 11.1500 0 3.3500 13.5500 7.8500 11.7500 0.9500 0 11.9000 6.8000 11.1500 9.9500 11.9000 0R = 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5k = 1D = 0 0.5000 6.8000 7.8500 6.8000 0 0 6.8000 7.8500 3.8000 14.6000 11.1500 0 3.3500 13.5500 7.8500 8.3500 0.9500 0 11.9000 6.8000 7.3000 9.9500 11.9000 0R = 1 2 3 4 5 1 2 1 1 5 1 2 3 4 5 1 1 3 4 5 1 1 3 4 5k = 2D = 0 0.5000 6.8000 7.8500 4.3000 0 0 6.8000 7.8500 3.8000 11.1500 11.1500 0 3.3500 13.5500 7.8500 8.3500 0.9500 0 11.9000 6.8000 7.3000 9.9500 11.9000 0R = 1 2 3 4 2 1 2 1 1 5 2 2