三角函數(shù)的應(yīng)用

1、三角函數(shù)的應(yīng)用摘要： 三角函數(shù)在歷史長河的沉淀中，不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得重點(diǎn)難點(diǎn)，更是我們實(shí)際生活中不可缺少的元素。我從三角函數(shù)的發(fā)展以及生活實(shí)際應(yīng)用舉例兩方面來研究關(guān)鍵詞：三角函數(shù) 三角函數(shù)的應(yīng)用三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中常見的一類關(guān)于角度的函數(shù)。三角函數(shù)將直角三角形的內(nèi)角和它的兩個(gè)邊的比值相關(guān)聯(lián)，也可以等價(jià)地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時(shí)有重要作用，也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具1。在數(shù)學(xué)分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級(jí)數(shù)或特定微分方程的解，允許它們的取值擴(kuò)展到任意實(shí)數(shù)值，甚至是復(fù)數(shù)值。常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、

2、余弦函數(shù)和正切函數(shù)或者1。在航海學(xué)、測(cè)繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì)用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、半正矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計(jì)算得出，稱為三角恒等式。三角函數(shù)一般用于計(jì)算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數(shù)為模版，可以定義一類相似的函數(shù)，叫做雙曲函數(shù)2。常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)等等。經(jīng)過數(shù)學(xué)歷史的長河的沉淀，科學(xué)研究的進(jìn)步，實(shí)際生活的操作。三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在生活中有著不可取代的地位。三角函數(shù)可以計(jì)算三角形。中未知長度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航系統(tǒng)工程學(xué)

3、以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途。有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來模擬，如物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決，如天氣預(yù)報(bào)、建筑設(shè)計(jì)、航海、測(cè)量、國防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。一、三角函數(shù)的形成與發(fā)展三角學(xué)由起源迄今差不多經(jīng)歷了三四千年之久的發(fā)展，現(xiàn)今使用的三角函數(shù)發(fā)展于歐洲的中世紀(jì)時(shí)期。在古代，由于古代天文學(xué)的需要， 為了計(jì)算某些天體的運(yùn)行行程問題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時(shí)，往往把解球面三角形的問題歸結(jié)成解平面三角形，這些問題的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)古代平面三角學(xué)

4、。隨著認(rèn)識(shí)到相似三角形在它們的邊之間保持相同的比率，就有了在三角形的邊的長度和三角形的角之間應(yīng)當(dāng)有某種標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)應(yīng)的想法。就是說對(duì)于任何相似三角形，比方斜邊和剩下的兩個(gè)邊的比率都是相同的。如果斜邊變?yōu)閮杀堕L，其他邊也要變?yōu)閮杀堕L。三角函數(shù)表達(dá)的就是這些比率。三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。歐拉的無窮微量解析入門對(duì)建立三角函數(shù)在歐洲的分析處理做了最主要的奉獻(xiàn)，他定義三角函數(shù)為無窮級(jí)數(shù)，并表述了歐拉公式，還有使用接近現(xiàn)代的簡(jiǎn)寫sin、cos、tang、cot、se

5、c、cosec。二、三角函數(shù)的應(yīng)用與生活三角函數(shù)在實(shí)際生產(chǎn)、生活中應(yīng)用的“隨處可見” 算屋頂?shù)母吆烷L度的時(shí)候會(huì)用到，計(jì)算比較復(fù)雜點(diǎn)的如直的圓的形式各樣的樓梯，坡道，土方工程的測(cè)量控制、公路橋梁的走向，花園的規(guī)劃，材料的預(yù)算等方面也時(shí)常會(huì)用到。（一） 停車場(chǎng)設(shè)計(jì)問題如圖ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中ATPN是一半徑為90m的扇形小山，P是弧TN上一點(diǎn)，其余部分都是平地，現(xiàn)一開發(fā)商想在平地上建造一個(gè)有邊落在BCCD與上的長方形停車場(chǎng)PQCR，求長方形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值。 解：1設(shè)PAB=，0°90°，則AM=90cos，PM=90sin

6、RP=RM-PM=100-90sin，PQ=MB=100-90cosS=PQPR=100-90sin 100-90cos =10000-9000sin+cos+8100sincosS=f=10000-9000sin+cos+8100sincos；2設(shè)sin+cos=t，則 sincos= 即t=sin+，0，1t， 代入S化簡(jiǎn)得 S=故當(dāng)t=時(shí)，Smin=950m2；當(dāng)t=時(shí)，Smax=14050-9000m2二采光問題已知某小區(qū)的兩幢10層住宅樓間的距離為AC=30 m，由地面向上依次為第1層、第2層、第10層，每層高度為3 m假設(shè)某一時(shí)刻甲樓在乙樓側(cè)面的影長EC=h，太陽光線與水平線的夾角

7、為 (1) 用含的式子表示h(不必指出的取值范圍)； (2) 當(dāng)30°時(shí)，甲樓樓頂B點(diǎn)的影子落在乙樓的第幾層？假設(shè)每小時(shí)增加15°，從此時(shí)起幾小時(shí)后甲樓的影子剛好不影響乙樓采光？(1) 過點(diǎn)E作EFAB于F，由題意，四邊形ACEF為矩形 EF=AC=30，AF=CE=h, BEF=，BF=3×10-h=30-h 又 在RtBEF中，tanBEF=BFEF ， tan= ，即30 - h=30tan. h=30-30tan(2)當(dāng)30°時(shí)，h=30-30tan30°=30-30× 12.7，(2) 12.7÷34.2， B點(diǎn)的

8、影子落在乙樓的第五層 當(dāng)B點(diǎn)的影子落在C處時(shí)，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光.此時(shí)，由AB=AC=30，知ABC是等腰直角三角形，ACB45° 45-30/15 = 1(小時(shí)).故經(jīng)過1小時(shí)后，甲樓的影子剛好不影響乙樓采光。三銷售利潤問題某專業(yè)調(diào)查隊(duì)在調(diào)查某商品的出廠價(jià)格和它的市場(chǎng)銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn)： 信息1：該商品的出廠價(jià)格是在6元的基礎(chǔ)上按月份隨函數(shù) y1=A1sin1x+1+B1波動(dòng)的.已知3月份出廠價(jià)格到達(dá)最高，為8元，然后逐漸降低，到7月份出廠價(jià)格到達(dá)最低，為4元 信息2：該商品的銷售價(jià)格是在8元的基礎(chǔ)上，按月份隨函數(shù)y2=A2sin2x+2+B2波

9、動(dòng)的.已知5月份銷售價(jià)格到達(dá)最高，為10元，然后逐漸降低，到9月份銷售價(jià)格到達(dá)最低，為6元 1根據(jù)上述信息，求該商品的出廠價(jià)格y1元/件和銷售價(jià)格y2元/件與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式； 2假設(shè)某經(jīng)銷商每月購進(jìn)該商品m件，且當(dāng)月能售完，則在幾月份盈利最大？并說明理由 解析 1依題意，得B1=8+42=6，A1=2，T1=2×7-3=8， 所以1=2T1=4，y1=2sin4x+1+6. 將點(diǎn)3，8代入函數(shù)y1=2sin4x+1+6，得1=-4， 所以y1=2sin4x-4+6. 同理，可得y2=2sin4x-34+8.

10、 2因?yàn)槔麧櫤瘮?shù)是y=my2-y1=m2sin4x-34+8-2sin4x-4-6 =m2-22sin4x， 當(dāng)sin4x=-1，即4x=2k-2kZ，亦即x=8k-2kZ時(shí)，y取最大值 又1x12，故當(dāng)k=1，即x=6時(shí)，y最大. 綜上可知，在6月份盈利最大 通過三角函數(shù)的應(yīng)用，解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的銷售利潤問題，也是我們工作中常常用到的手法。通過生活中的例子我們可以體會(huì)到三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大。歷經(jīng)歷史長河的沉淀，三角函數(shù)不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是實(shí)際生活應(yīng)用中不可缺少的。通過我們的研究，我們深深地體會(huì)到，身邊就有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在身邊，也可以體會(huì)到三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大。在設(shè)“角”求解的生活情景中一般涉及到角與邊之間的相互關(guān)系，對(duì)這類問題，一般可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，如正弦、余弦定理、數(shù)形結(jié)合、