第三章 直線與方程知識點及典型例題

1、第三章 直線與方程知識點及典型例題1. 直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180°2. 直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即k=tana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當直線l與x軸平行或重合時, =0°, k = tan0°=0;當直線l與x軸垂直時, = 90°, k 不存在.當時，； 當時，； 當時，不存在。xyoa1a2l1l2例.如右圖，直線l

2、1的傾斜角a=30°，直線l1l2，求直線l1和l2的斜率.解：k1=tan30°= l1l2 k1·k2 =1k2 =例：直線的傾斜角是( )A.120° B.150° C.60° D.30°過兩點P1 (x1，y1)、P1(x1，y1) 的直線的斜率公式： 注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。例.設直線 l1經(jīng)過點A(m，1)、

3、B(3，4)，直線 l2經(jīng)過點C(1，m)、D(1，m+1)， 當(1) l1/ / l2 (2) l1l1時分別求出m的值三點共線的條件：如果所給三點中任意兩點的斜率都有斜率且都相等，那么這三點共線。3. 直線方程點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：y=kx+b，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點式：（）直線兩點P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)截矩式：其中直線與軸交于點(a，0)，

4、與y軸交于點(0，b),即l與x軸、y軸的截距分別為a、b。注意：一條直線與兩條坐標軸截距相等分兩種情況 兩個截距都不為0 或都為0 ； 但不可能一個為0，另一個不為0. 其方程可設為：或y=kx. 一般式：Ax+By+C=0（A，B不全為0）注意：(1)在平時解題或高考解題時，所求出的直線方程，一般要求寫成斜截式或一般式。(2)各式的適用范圍 (3)特殊式的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； 例題：根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點A(8，2)； .(2)經(jīng)過點B(4,2)，平行于x軸； .(3)在軸和軸上的截距分別是；

5、 .(4)經(jīng)過兩點P1(3，2)、P2(5，4)； .例1：直線的方程為Ax+By+C=0，若直線經(jīng)過原點且位于第二、四象限，則（ ）AC=0，B>0BC=0，B>0，A>0 CC=0，AB<0 DC=0，AB>0例2：直線的方程為AxByC=0，若A、B、C滿足AB.>0且BC<0，則l直線不經(jīng)的象限是（ ） A第一 B第二 C第三 D第四4. 兩直線平行與垂直 當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。5. 已知兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1與B1及A2與B2都不同時為零)

6、若兩直線相交，則它們的交點坐標是方程組的一組解。兩條直線的交角：兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當，則有.若方程組無解 ； 若方程組有無數(shù)解與重合6. 點的坐標與直線方程的關系幾何元素代數(shù)表示點P坐標P(xo，yo) 直線l方程Ax+By+C=0點P(xo，yo)在直線l上坐標滿足方程：Ax+By+C=0點P(xo，yo)是l1、l2的交點坐標(xo，yo)滿足方程組7. 兩條直線的位置關系的判定公式A1B2A2B10方程組有唯一解兩直線相交 或A1C2A2C1 0無解兩直線平行 或A1C2A2C1 = 0有無

7、數(shù)個解兩直線重合兩條直線垂直的判定條件：當A1、B1、A2、B2滿足 時l1l2。答：A1A2+B1B2=0經(jīng)典例題；例1.已知兩直線l1： x+(1+m) y =2m和l2：2mx+4y+16=0，m為何值時l1與l2相交平行解：例2. 已知兩直線l1：(3a+2) x+(14a) y +8=0和l2：(5a2)x+(a+4)y7=0垂直，求a值解：例3.求兩條垂直直線l1：2x+ y +2=0和l2： mx+4y2=0的交點坐標解：例4. 已知直線l的方程為，(1)求過點（2，3）且垂直于l的直線方程；(2)求過點（2，3）且平行于l的直線方程。8. 兩點間距離公式：設A(x1，y1)、B

8、(x2，y2)是平面直角坐標系中的兩個點，則|AB|=9. 點到直線距離公式：一點P(xo，yo)到直線l：Ax+By+C=0的距離10. 兩平行直線距離公式例：已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0，則l1與l2的距離為例1：求平行線l1：3x+ 4y 12=0與l2： ax+8y+11=0之間的距離。例2：已知平行線l1：3x+2y 6=0與l2： 6x+4y3=0，求與它們距離相等的平行線方程。11. 直線系方程已知兩條直線l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，(A1與B1及A2與B2都不同時為零)若兩直

9、線相交，則過它們的交點直線方程可以表示為：l：A1x+B1y+C1+l(A2x+B2y+C2) =0或者l (A1x+B1y+C1)+ A2x+B2y+C2 =0都可以例1：直線l：(2m+1)x+(m+1)y7m4=0所經(jīng)過的定點為 。(mR)例2：求滿足下列條件的直線方程(1) 經(jīng)過點P(2，3)及兩條直線l1： x+3y4=0和l2：5x+2y+1=0的交點Q；(2) 經(jīng)過兩條直線l1： 2x+y8=0和l2：x2y+1=0的交點且與直線4x3y7=0平行；(3) 經(jīng)過兩條直線l1： 2x3y+10=0和l2：3x+4y2=0的交點且與直線3x2y+4=0垂直；解：12. 中點坐標公式：

10、已知兩點P1 (x1，y1)、P1(x1，y1)，則線段的中點M坐標為(，)例. 已知點A(7，4)、B(5,6),求線段AB的垂直平分線的方程。13、對稱問題：關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.關于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程）可解得所求對稱點.注：曲線、直線關于一直線對稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(

11、x ,y)=0關于直線y=x2對稱曲線方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲線C: f(x ,y)=0關于點(a ,b)的對稱曲線方程是f(a x, 2b y)=0. 例1：已知直線l：2x3y+1=0和點P(1，2). (1) 分別求：點P(1，2)關于x軸、y軸、直線y=x、原點O的對稱點Q坐標(2) 分別求：直線l：2x3y+1=0關于x軸、y軸、直線y=x、原點O的對稱的直線方程.(3) 求直線l關于點P(1，2)對稱的直線方程。(4) 求P(1，2)關于直線l軸對稱的直線方程。例2：點P(1，2)關于直線l： x+y2=0的對稱點的坐標為 。例3：已知圓C1：(x+1)2+(y1)2

12、=1與圓C2關于直線xy1=0對稱，則圓C2的方程為： 。A. (x+2)2+(y2)2=1 B. (x2)2+(y+2)2=1 C. (x+2)2+(y+2)2=1 D. (x2)2+(y2)2=1基礎訓練A組一、選擇題1設直線的傾斜角為，且，則滿足（ ）ABCD2過點且垂直于直線 的直線方程為（ ）A BC D3已知過點和的直線與直線平行，則的值為（）A B C D4已知，則直線通過（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D(zhuǎn)第二、三、四象限5直線的傾斜角和斜率分別是（ ）A B C，不存在 D，不存在6若方程表示一條直線，則實數(shù)滿足（ ）A B C D，二、填空題1點

13、到直線的距離是_.2已知直線若與關于軸對稱，則的方程為_;若與關于軸對稱，則的方程為_;若與關于對稱，則的方程為_;3 若原點在直線上的射影為，則的方程為_。4點在直線上，則的最小值是_.5直線過原點且平分的面積，若平行四邊形的兩個頂點為，則直線的方程為_。三、解答題1已知直線， （1）系數(shù)為什么值時，方程表示通過原點的直線； （2）系數(shù)滿足什么關系時與坐標軸都相交； （3）系數(shù)滿足什么條件時只與x軸相交； （4）系數(shù)滿足什么條件時是x軸； （5）設為直線上一點，證明：這條直線的方程可以寫成2求經(jīng)過直線的交點且平行于直線的直線方程。3經(jīng)過點并且在兩個坐標軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條？請求

14、出這些直線的方程。4過點作一直線，使它與兩坐標軸相交且與兩軸所圍成的三角形面積為（數(shù)學2必修）第三章 直線與方程綜合訓練B組一、選擇題1已知點，則線段的垂直平分線的方程是（ ）A B C D2若三點共線 則的值為（） 3直線在軸上的截距是（ ）ABCD4直線，當變動時，所有直線都通過定點（ ）A B C D5直線與的位置關系是（ ）A平行 B垂直 C斜交 D與的值有關6兩直線與平行，則它們之間的距離為（ ）A B C D 7已知點，若直線過點與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）A B C D 二、填空題1方程所表示的圖形的面積為_。2與直線平行，并且距離等于的直線方程是_。3已知點在直線

15、上，則的最小值為 4將一張坐標紙折疊一次，使點與點重合，且點與點重合，則的值是_。設，則直線恒過定點 三、解答題1求經(jīng)過點并且和兩個坐標軸圍成的三角形的面積是的直線方程。2 一直線被兩直線截得線段的中點是點，當點分別為，時，求此直線方程。3、把函數(shù)在及之間的一段圖象近似地看作直線，設，證明：的近似值是：4直線和軸，軸分別交于點，在線段為邊在第一象限內(nèi)作等邊，如果在第一象限內(nèi)有一點使得和的面積相等， 求的值。（數(shù)學2必修）第三章 直線與方程提高訓練C組一、選擇題1如果直線沿軸負方向平移個單位再沿軸正方向平移個單位后，又回到原來的位置，那么直線的斜率是（ ）AB CD2若都在直線上，則用表示為（

16、）A B C D 3直線與兩直線和分別交于兩點，若線段的中點為，則直線的斜率為（ ） A B C D 4中，點,的中點為,重心為，則邊的長為（ ）A B C D5下列說法的正確的是（ ）A經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示B經(jīng)過定點的直線都可以用方程表示C不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示D經(jīng)過任意兩個不同的點的直線都可以用方程表示6若動點到點和直線的距離相等，則點的軌跡方程為（ ）A B C D二、填空題1已知直線與關于直線對稱，直線，則的斜率是_.2直線上一點的橫坐標是，若該直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得直線，則直線的方程是 3一直線過點，并且在兩坐標軸上截距之和為，這條直線方程是_4若方程表示兩條直線，

17、則的取值是 5當時，兩條直線、的交點在 象限三、解答題1經(jīng)過點的所有直線中距離原點最遠的直線方程是什么？2求經(jīng)過點的直線，且使，到它的距離相等的直線方程3已知點，點在直線上，求取得最小值時點的坐標。4求函數(shù)的最小值。第三章 直線和方程 答案 基礎訓練A組一、選擇題 1.D 2.A 設又過點，則，即3.B 4.C 5.C 垂直于軸，傾斜角為，而斜率不存在6.C 不能同時為二、填空題1. 2. 3. 4. 可看成原點到直線上的點的距離的平方，垂直時最短：5. 平分平行四邊形的面積，則直線過的中點三、解答題1. 解：（1）把原點代入，得；（2）此時斜率存在且不為零即且；（3）此時斜率不存在，且不與軸

18、重合，即且；（4）且（5）證明：在直線上 。2. 解：由，得，再設，則 為所求。3. 解：當截距為時，設，過點，則得，即；當截距不為時，設或過點，則得，或，即，或這樣的直線有條：，或。4. 解：設直線為交軸于點，交軸于點， 得，或 解得或 ，或為所求。第三章 直線和方程 綜合訓練B組一、選擇題 1.B 線段的中點為垂直平分線的，2.A 3.B 令則4.C 由得對于任何都成立，則5.B 6.D 把變化為，則7.C 二、填空題1. 方程所表示的圖形是一個正方形，其邊長為2.，或設直線為3. 的最小值為原點到直線的距離：4 點與點關于對稱，則點與點 也關于對稱，則，得5. 變化為 對于任何都成立，則三、解答題1.解：設直線為交軸于點，交軸于點， 得，或 解得或 ，或為所求。2.解：由得兩直線交于，記為