高三一輪復習平面向量復習教案

1、平面向量第一課時 平面向量的概念【重要知識】知識點一：向量的概念既有大小又有方向的量叫向量。注意數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. 知識點二：向量的表示法用有向線段表示；用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段表示；用有向線段的起點與終點字母：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|. 知識點三：有向線段（1）有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.（2）向量與有向線段的區(qū)別：向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；有向線段有起點、大小和方向

2、三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.知識點四：兩個特殊的向量（1）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作. 的方向是任意的.注意與0的含義與書寫區(qū)別.（2）單位向量：長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小。知識點五：平行向量、共線向量（1） 定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。（2） 規(guī)定：規(guī)定與任一向量平行.（3）共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.說明：綜合(1)、(2)才是平行向量的完整定義;向量平行，記作 平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于

3、兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.知識點六：相等向量（1） 定義長度相等且方向相同的向量叫相等向量.（2）向量與相等，記作；（3）零向量與零向量相等；（4）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).【典型例題】1下列命題正確的是 （ ）A向量與是兩平行向量 B若都是單位向量,則C若=,則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形D兩向量相等的充要條件是它們的始點、終點相同2若都是單位向量，則的取值范圍是 （ ）A（1，2）B（0，2） C1，2D0，23.在正六邊形ABCDEF中，O為其中心，則等于（ ）A B. C D4

4、. 如圖，在ABC中，= , = ，AD為邊BC的中線，G為ABC的重心，·DABMCMab求：向量G5已知ABC及一點O，求證：O為ABC的重心的充要條件是6.設平面內(nèi)有四邊形ABCD和O點，若，則四邊形ABCD的形狀為 ?！就骄毩暋?在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為（ ）A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形2.已知菱形ABCD，點P在對角線AC上（不包括端點A、C），則等于（ ）A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(),(0,1)D.(),(0,)3.已知兩點， ，則P點坐標是 （ ）4.已知ABC中，若，

5、求證：ABC為正三角形. 5.已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD交于E，O是任意一點，求證.第二課時 平面向量的線性運算【重要知識】知識點一：向量的加法（1）定義已知非零向量，在平面內(nèi)任取一點A，作，則向量叫做與的和，記作，即求兩個向量和的運算，叫做叫向量的加法這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則說明：運用向量加法的三角形法則時，要特別注意“首尾相接”，即第二個向量要以第一個向量的終點為起點，則由第一個向量的起點指向第二個向量終點 的向量即為和向量.兩個向量的和仍然是一個向量，其大小、方向可以由三角形法則確定位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型（2）向量加法的平行四

6、邊形法則以點O為起點作向量 ，以OA,OB為鄰邊作，則以O為起點的對角線所在向量就是的和，記作=。說明：三角形法則適合于首尾相接的兩向量求和，而平行四邊形法則適合于同起點的兩向量求和，但兩共線向量求和時，則三角形法則較為合適.力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型對于零向量與任一向量（3）特殊位置關(guān)系的兩向量的和當向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<|+|；當與同向時，則+、同向，且|+|=|+|，當與反向時，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（4）向量加法的運算律向量加法的交換律：+=+向量加法的結(jié)

7、合律：(+) +=+ (+)知識點二：向量的減法（1）相反向量：與長度相同、方向相反的向量.記作 -。（2）向量和-互為相反向量，即 (-).零向量的相反向量仍是零向量 任一向量與其相反向量的和是零向量，即(-)(-)如果向量互為相反向量，那么-，-，（3）向量減法的定義：向量 加上的 相反向量，叫做 與的差. 即： - = + (- ) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.（4）向量減法的幾何作法在平面內(nèi)任取一點O，作，則即可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量，這就是向量減法的幾何意義說明：表示.強調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù) 用“相反向量”定義法作差向量，- = + (- )， 顯然，

8、此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一.知識點三：向量數(shù)乘的定義（1）定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：|當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反當時，（2） 向量數(shù)乘的運算律根據(jù)實數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗證下面的運算律：設、為實數(shù)，那么()()；()；()知識點四：向量共線的條件向量()與共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使【典型例題】1. 下列各式正確的是（  ）A若，同向，則|+|=|+|B與|+|表示的意義是相同的C若，不共線，則|+|+|D永遠成立2等于（  ）AB CD3下列命題如

9、果，的方向相同或相反，那么的方向必與，之一的方向相同。ABC中，必有若，則A、B、C為一個三角形的三個頂點。若，均為非零向量，則|+|與|+|一定相等。其中真命題的個數(shù)為（   ）A0B1C2D34已知一點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的向量分別為，則向量等于（   ）ABCD5在四邊形ABCD中，設，則等于（   ）ABCD6設是的相反向量，則下列說法錯誤的是（   ）A與的長度必相等BC與一定不相等D是的相反向量7可以寫成：；，其中正確的是（   ）A B C

10、 D8.如圖所示，在 ABCD中，已知，用與表示向量、。【同步練習】1.在以下各命題中，不正確的命題個數(shù)為（   ）|=|是=的必要不充分條件；任一非零向量的方向都是惟一的；|-|+|若|-|=|+|，則；已知A、B、C是平面上的任意三點，則。A1B2C3D42某人先位移向量：“向東走3km”，接著再位移向量：“向北走3km”，則（  ）A向東南走kmB向東北走kmC向東南走kmD向東北走km3若，則的取值范圍是（   ）AB（3，8）CD（3，13）4設ABCDEF為一正六邊形，則5化簡：第三課時平面向量的基本定理【重要知識】知識點

11、一：平面向量基本定理平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使= 。我們把不共線向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)運用定理時需注意：，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量。該平面內(nèi)的任一向量都可用，線性表示，且這種表示是唯一的?；撞晃ㄒ?，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可作為基底。知識點二：兩向量的夾角與垂直（1） 定義：已知兩個非零向量，作,則AOB=叫做向量的夾角。（2）如果的夾角是90°，就說垂直，記作。（3）注意：向量的夾角的范圍是，當時，同向；當時，；當，反向。知識點三：平面向量的坐標表示（1）如圖，在

12、直角坐標系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標，記作其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐標也為.特別地，如圖，在直角坐標平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.（2）平面向量的坐標運算 若，則， 兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差. 若，則一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去

13、始點的坐標.（3）若和實數(shù)，則.實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.知識點四：平面向量共線的坐標表示（1） 設， 其中，當且僅當時，向量共線。（2） 注意:遇到與共線有關(guān)的問題時，一般要考慮運用兩向量共線的條件。運用兩向量共線的條件，可求點的坐標，可證明三點共線等問題。學習結(jié)論（1） 在解具體問題時，要適當?shù)倪x取基底。把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。（2） 向量共線的充要條件有兩種形式：（） （3） 注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°q180°。【典型例題】1. 已知平面上三點的坐標分別為A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4

14、)，求點D的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.2已知三個力 (3， 4)， (2， -5)， (x， y)的合力+=，求的坐標.3若向量=(-1，x)與=(-x， 2)共線且方向相同，求x4已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量與平行嗎？直線AB與平行于直線CD嗎？ 【同步練習】基礎(chǔ)練習1.下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是（ ）A. B . C. D 2. .已知=(2，3），=(1，2），則23等于A.（5，1）B.（5，3）C.（7，0）D.（7，0）3.已知=（1，3）， =（x,1），且,則x等于 （ ）A.3B.C.3

15、D.4.下列各組向量是相互平行的是 （ ）A.a=(2，3），b=(3，5）B.a=（3，2），b=（2，3）C.a=（2，1），b=（1，4）D.a=（2，1），b=(4，2）5.已知A（x，2），B（5，y2)，若=（4，6），則x、y的值為 （ ）A.x=1，y=0B.x=1，y=10C.x=1，y=10D.x=1，y=106.已知M（3，2），N（5，1），=，則P點的坐標為 （ ）A.（8，1）B.（1，）C.（1，）D.（8，1）7.若=（1，2），+=(4，10），則等于 （ ）A.（2，2）B.（2，2）C.（2，2）D.（2，2）8. 已知2，2，()·=0，則與的

16、夾角是 （ ）A B C D提高練習1. 已知向量，試用來表示。2. 向量，當k為何值時，A、B、C三點共線。3. 已知中A(7,8),B(3,5),C(4,3)，M、N是AB、CD的中點，D是BC的中點，MN與AD交于F。求4. 已知點及。求點C、D和的坐標。第四課時平面向量的數(shù)量積【重要知識】知識點一：平面向量的數(shù)量積（1） 定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|cosq叫與的數(shù)量積，記作×，即有× = |cosq，（）（2） .并規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為0.（3） 投影：“投影”的概念：作圖 定義：|cosq叫做向量在方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量

17、；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0°時投影為 |；當q = 180°時投影為 -|.（4） 兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積的區(qū)別兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.當0°90°時，×0；當=90°時，×=0；當90°180°時，×0.兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成×；.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替. 在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0

18、，則b=0；但是在數(shù)量積中，若，且×=0，不能推出.因為其中cosq有可能為0.（5）平面向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積×等于的長度與在方向上投影|cosq的乘積.注意：在方向上投影可以寫成（6）平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設、為兩個非零向量， Û × = 0 當與同向時，× = |；當與反向時，×= -|. 特別的× = |2或 cosq =，利用這一關(guān)系，可求兩個向量的夾角。（7）平面向量數(shù)量積的運算律交換律：數(shù)乘結(jié)合律：()×=(×) = ×()分配律：(+)×= ×+ &

19、#215; 說明：一般地，(·)··（·）··，0有如下常用性質(zhì)：（）（）····知識點二：平面兩向量數(shù)量積的坐標表示（1） 已知兩個非零向量，則·，即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和。（2） 向量模的坐標表示設，則.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么 （3） 注意：若A、B，則,所以的實質(zhì)是A,B的兩點的距離或是線段的長度，這也是模的幾何意義。（4） 兩個向量垂直的條件設，則 Û （5） 兩向量夾角的余弦公式（6） 設兩個非零向量，是與的夾角，則有cos=學習結(jié)論（1） 兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2） 數(shù)學中涉及向量中點、夾角、距離、平行與垂直問題，均可轉(zhuǎn)化為向量問題。兩向量垂直的充要條件有時與向量共線條件結(jié)合在一起，要注意兩者的聯(lián)系。【典型例題】1. 已知與都是非零向量，且+ 3與7 - 5垂直， - 4與7- 2垂直，求與的夾角.2. 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和.3. 如圖，以原點和A(5， 2)為頂點作等腰直角OAB，使ÐB = 90°，求點B和向量的坐標.4. 在ABC中，=(2，