機(jī)械振動(dòng)——簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本概念

1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它是一個(gè)理想化的模型。在一切振動(dòng)中，最簡(jiǎn)單和最根本的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)量按正弦函 數(shù)或余弦函數(shù)的規(guī)律隨時(shí)間變化。任何復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)都可以看成是假設(shè)干簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng)的合成。本節(jié)以彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的根本概念：1彈簧振子：輕質(zhì)彈簧質(zhì)量不計(jì)一端固定， 另一端系一質(zhì)量為 m的物體，置于光 滑的水平面上。物體所受的阻力忽略 不計(jì)。設(shè)在 0點(diǎn)彈簧沒有形變，此處 物體所受的合力為零，稱 0點(diǎn)為平衡 位置。系統(tǒng)一經(jīng)觸發(fā)，就繞平衡位置 作來回往復(fù)的周期性運(yùn)動(dòng)。這樣的運(yùn) 動(dòng)系統(tǒng)叫做彈簧振子harm on ic Oscillator2 彈簧振子運(yùn)動(dòng)的定性分析：0點(diǎn)，加速

2、度為零，速度最大; C點(diǎn)，加速度最大，速度為零;0點(diǎn)，加速度為零，速度最大; B點(diǎn)，加速度最大，速度為零?？紤]物體的慣性和作用在物體上的彈性力:B t O彈性力向左，加速度向左，加速， 0 t C:彈性力向右，加速度向右，減速， C t O彈性力向右，加速度向右，加速， 0 t B：彈性力向左，加速度向左，減速， 物體在B、C之間來回往復(fù)運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件：物體的慣性一一阻止系統(tǒng)停留在平衡位置 作用在物體上的彈性力一一驅(qū)使系統(tǒng)回復(fù)到平衡位置二、彈簧振子的動(dòng)力學(xué)特征：1線性回復(fù)力分析彈簧振子的受力情況。取平衡位置0點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為X軸IZvVVVW的正方向。由胡克定律可知，

3、物體m 可視為質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)為x 即相對(duì)于0點(diǎn)的 位移的位置時(shí)所受彈簧的作用力 為f=-kx式中的比例系數(shù)k為彈簧的勁度系數(shù)Stiffness，它反映彈簧的固 有性質(zhì)，負(fù)號(hào)表示力的方向與位移 的方向相反，它是始終指向平衡位置的。離平衡位置越遠(yuǎn)，力越大；在平衡位 置力為零，物體由于慣性繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。這種始終指向平衡位置的力稱為回復(fù)力。2 動(dòng)力學(xué)方程及其解 根據(jù)牛頓第二定律，f=ma可得物體的加速度為fkaxmm對(duì)于給定的彈簧振子,2 km機(jī)械振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的根本概念 m和k均為正值常量，令那么上式可以改寫為 a2xd2xd2x .dt22x = 0這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程。三、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：1簡(jiǎn)諧

4、振動(dòng)的表達(dá)式運(yùn)動(dòng)學(xué)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程的解具有正弦、余弦函數(shù)或指數(shù)形式。我們采用余弦 函數(shù)形式，即x A cos( t )這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，式中A和$是積分常數(shù)。只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或說明：1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不僅是周期性的，而且是有界的,它們的組合才具有這種性質(zhì)，這里我們采用余弦函數(shù)。2考慮三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系 ei 復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算比擬簡(jiǎn)單。cos i sin ，貝U xAei( t 。用減速 加速 減速 加速t2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)物體的速度和加速度 將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程分別對(duì) 時(shí)間求一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得簡(jiǎn)諧運(yùn) 動(dòng)的速度和加速度為a說明：Asi n( t )2A cos( t

5、)dx dt d2x dt2物體在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位移、速度、加速度都是周期性變化的。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)不僅是周期性的，而且是有界的一一只有正弦函數(shù)、余弦函數(shù)或它們的組合才具有這種性質(zhì)一一采用余弦函數(shù)。二、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：1從受力角度來看動(dòng)力學(xué)特征合外力f=-kx與物體相對(duì)于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相 反，并且總是指向平衡位置的。此合外力又稱為線形回復(fù)力或準(zhǔn)彈性力。2. 從加速度角度來看一一運(yùn)動(dòng)學(xué)特征加速度a2x與物體相對(duì)于平衡位置的位移成正比，方向與位移的方向相反，并且總是指向平衡位置的。3. 從位移角度來看：位移x Acos( t)是時(shí)間的周期性函數(shù)。說明：1要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

6、，只要證明上面三個(gè)式子中的一個(gè)即可，且由其中的一個(gè)可以推出另外兩個(gè)；2要證明一個(gè)物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)最簡(jiǎn)單的方法就是受力方析，得到物體所受的合外力滿足回復(fù)力的關(guān)系。例題：一個(gè)輕質(zhì)彈簧豎直懸掛，下端掛一質(zhì)量為m的物體。今將物體向下拉一段距離后再放開，證明物體將作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。證明：取物體平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為x軸的正方向，如下列圖。物體在平衡位置時(shí)所受的合力為零，即mg-kl=O(1)其中mg為物體的重力，I為物體平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量。在任一位置x處，物體所受的合力為F=mg-k(x+l)(2)比擬、(2)可得F=-kx(3)可見物體所受的合外力與位移成正比，而方向相反，所以該物體將作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

7、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期和相位Amplitude , Period and Frequency, Phase of Simple harmonic Vibration現(xiàn)在我們討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x=Acos( 31+ $中的A、3、31+ $ $的物理意義。它們分別是描述諧振動(dòng)的特征量：振幅、頻率和周期、相位和初相。振幅、周期和相位等都是描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量。一、振幅A(Amplitude)反映振動(dòng)幅度的大小引入：在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式中，因?yàn)橛嘞一蛘液瘮?shù)的絕對(duì)值不能大于1,所以物體的振動(dòng)范圍為 +A與-A之間。定義：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。說明：(1)A恒為正值，單位為米

8、(m);(2)振幅的大小與振動(dòng)系統(tǒng)的能量有關(guān)，由系統(tǒng)的初始條件確定。二、周期T(Period)與頻率(Frequency)反映振動(dòng)的快慢1 .周期 Period定義：物體作一次完全振動(dòng)所需的時(shí)間，用T表示，單位為秒(s)。x Acos( t ) Acos (t T) 考慮到余弦函數(shù)的周期性，有T = 2廠十亠2因而有T 2. 頻率 Frequency定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用v表示，單位為赫茲(Hz)。13. 圓頻率 Angular Frequency定義：物體在2n秒時(shí)間內(nèi)所作的完全振動(dòng)的次數(shù)，用3表示，單位為弧度 (rad. s-1 或 s-1)。說明:1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的根本特

9、性是它的周期性；O2周期、頻率或圓頻率均有振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)所決定，故稱之為固有周期、 固有頻率或固有圓頻率。3對(duì)于彈簧振子,km，4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的表達(dá)式可以表示為x A cos( t)Acos(2 tT)Acos(2 t )、相位(Phase)反映振動(dòng)的狀態(tài)1.相位質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用該時(shí)刻的位置和速度來描述。對(duì)于作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體來說，位置和速度分別為 x=Acos( t+ )和v=- 3 Asin( t+ ),當(dāng)振 幅A和圓頻率3給定時(shí)，物體在t時(shí)刻的位置和速度完全由 t+來確定。即t+ 是確定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，稱之為相位。相位wt+ 0是決定諧振子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要物理量3 t+右

10、和A, 3 起決定t時(shí)刻物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即位移X,速度V,和加速度a.在一次全振動(dòng)中，諧振子有不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分別與02內(nèi)的一個(gè)相位值對(duì)應(yīng)。例如：tXVt+0A0T/4AT/2ATA022 初相位在t=0時(shí)，相位為 0稱為初相位，簡(jiǎn)稱初相，它是決定初始時(shí)刻物體運(yùn) 動(dòng)狀態(tài)的物理量。對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)來說，開始計(jì)時(shí)的時(shí)刻不同，初始狀態(tài)就 不同，與之對(duì)應(yīng)的初相位就不同，即初相位與時(shí)間零點(diǎn)的選擇有關(guān)。結(jié)論：對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，假設(shè)A、3、$，就可以寫出完整的運(yùn)動(dòng)方程，即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息。因此，我們把A、3、$叫做描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量。3.相位差：定義：兩個(gè)振動(dòng)在同一時(shí)刻的相位之差或同一振動(dòng)在不同時(shí)

11、刻的相位之差。對(duì)于同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)、同時(shí)刻的相位差X1A, cos( t1)X2A cos( t2)相位差=(t2 ) ( t 1 ) 2 1即兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)在任意時(shí)刻的相位差是恒定的。且始終等于它們的初 始相位差。說明：10 質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)0 質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)落后質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)22k ,k 0,1,2,., 同相步調(diào)相同(2k1) ,k 0,1,2,., 反相步調(diào)相反小結(jié)：對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，假設(shè)振幅、周期和初相位，就可以寫出完整的 運(yùn)動(dòng)方程，即掌握了該運(yùn)動(dòng)的全部信息，因此我們把振幅、周期和初相位叫做 描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三個(gè)特征量。四、積分常數(shù)A和$確實(shí)定：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x=Ac

12、os( t+ )其中圓頻率是由系統(tǒng)本身的性質(zhì)確定的，積分常數(shù)A和$是求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程是引入的，其值有初始條件即在t=0時(shí)物體的位移與速度來確定。將t=0代入位移和速度的公式，即得物體在初始時(shí)刻的位移X0和初速度V0：x0 Acosv0A sin由此可解得A= X02V。+tgV0X0說明：1一般來說$的取值在一n和n(或0和2n )之間;2在應(yīng)用上面的式子求$時(shí)，一般來說有兩個(gè)值，還要有初始條件來判斷應(yīng)該取哪個(gè)值；3常用方法：由A =i就Vo 求A，然后由Vo局部求$例1 :一彈簧振子系統(tǒng)，彈簧的勁度系數(shù)為 k=0.72N/m , 今將物體從平衡位置沿桌面向右拉長(zhǎng)到處釋放。求振動(dòng)方程。A cos,兩者的共同A sin物體的質(zhì)量為m=20g。解：要確定彈簧振子系統(tǒng)的振動(dòng)方程，只要確定A、3和$即可。由題可知，k=0.72N/m , m=20g= , xo=, vo= 0,0.72.0.026rad s0.04m代入公式可得''又因?yàn)閄0為正，初速度V0= 0，可得0因而簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程為：x 0.04cos(6t) (m)