概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案(5)

1、1一顆骰子連續(xù)擲 4次，點(diǎn)數(shù)總和記為【解】設(shè)Xi表每次擲的點(diǎn)數(shù)，那么X1 1E(Xi)1-2-316 662 2 1 2E(Xi2)12 2213266從而D(Xi)習(xí)題五X(qián).估計(jì) P10<X<18.4Xii 141L1C1 756666 211 21 219142-526266666E(X：) E(Xi)2 917356212又Xi,X2,X3,X4獨(dú)立同分布從而E(X)4E( Xi)i 14E(Xi)i 14 7214,443535D(X)D(Xi)D(Xi)4 i 1i 1123所以 P10 X 18P| X 141 41 35230.271,42假設(shè)一條生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品合格

2、率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率到達(dá)在76%與84%之間的概率不小于90%，問(wèn)這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令Xi1,假設(shè)第i個(gè)產(chǎn)品是合格品,0,其他情形.而至少要生產(chǎn)n件，貝U i=1,2,n,且X1, X2,，Xn 獨(dú)立同分布，p=PXi = 1=0.8.現(xiàn)要求n,使得XiP0.76-1J 0.840.9.n即nXi0.8 np 0.76 n 0.8n “0.84n 0.8n一 n 0.8 0.2. n 0.8 0.2. n 0.8 0.2'由中心極限定理得0.90.84n 0.8n0.76n 0.8n0.16n0.16 n0.9,整理得n0.95,查表 1.64,10 10n?

3、268.96,故取 n=269.3.某車(chē)間有同型號(hào)機(jī)床 200部，每部機(jī)床開(kāi)動(dòng)的概率為0.7,假定各機(jī)床開(kāi)動(dòng)與否互不影響，開(kāi)動(dòng)時(shí)每部機(jī)床消耗電能15個(gè)單位.問(wèn)至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電缺乏而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車(chē)間同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目最大值m,而m要滿(mǎn)足200部機(jī)床中同時(shí)開(kāi)動(dòng)的機(jī)床數(shù)目不超過(guò)m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)于是 PV 105V 20 5100 2012105 20 5T10V 10010 一20、120.3871(0.387)0.348,15m單位電能就可滿(mǎn)足要求.令X表同時(shí)開(kāi)動(dòng)機(jī)床數(shù)目，那么XB 200，,E(X)14

4、0,D(X)42,0.95P0 Xm P(Xm 140m)42查表知m 140421.64,m=151.所以供電能151X15=2265單位4. 一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk20kV= Vk 1k，求PV> 105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)= ,k=1,2, - ,2012由中心極限定理知，隨機(jī)變量20Vkk 120 5V 20 5近似的八ZN(0,1)100100 “20.20. 12；12即有PV5.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長(zhǎng)度不小于 3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問(wèn)其中至少有 30根短于3m的概率是多少?【解】設(shè)100根中有X根短于

5、3m,那么XB 100,從而PX 30 1 PX 30 130 100 0.2.100 0.2 0.81(2.5)1 0.99380.0062.6.某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對(duì)于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為 任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于 拒絕這一斷言1假設(shè)實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是2假設(shè)實(shí)際上此藥品對(duì)這種疾病的治愈率是0.8.醫(yī)院檢驗(yàn)員75人治愈，就接受這一斷言，否那么就0.8,0.7,問(wèn)接受這一斷言的概率是多少? 問(wèn)接受這一斷言的概率是多少?【解】Xi1,第i人治愈,0,其他.1,2,100.100Xi.i 1(1) XB(100,0.8),100PXii 17

6、5PX 7575 100 0.8.100 0.8 0.2(2) XB(100,0.7),100P Xii 175(1.25)PX 75(1.25)0.8944.75 100 0.7,100一0.7一0.3(1.09)0.1379.7.用Laplace中心極限定理近似計(jì)算從一批廢品率為 20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，貝yp=0.05,n=1000,XB(1000,0.05), E(X)=50, D(X)=47.5.0.05的產(chǎn)品中，任取 1000件，其中有1PX 201V47.520_504716.895306.8956.8954.5 10 6.6.8958.設(shè)有T1,，T30

7、服從參數(shù) 入T為30個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，求T超過(guò)350小時(shí)的概率.306 8 10n10. n0.95所以需272a元.10n 244810d1.64n 244.8n 272.【解】E仃J1 10.110,D(T)1100,E(T)10 30300,D仃)3000.故350 3005PT350 130001一 1(0.913) 0.1814V309.上題中的電子器件假設(shè)每件為a元，那么在年方案中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用假定一年有 306個(gè)工作日，每個(gè)工作日為 8小時(shí).【解】設(shè)至少需n件才夠用 那么E(Ti)=io, D(Ti)=100,E(T)=10n， D(T)=100n

8、.n從而 PTi306 80.95,即 0.05i 110. 對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、1名家長(zhǎng)、2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,0.15.假設(shè)學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布1求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù) X超過(guò)450的概率？2求有1名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】1以Xj(i=1,2,400記第i個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù).那么Xi的分布律為Xi012P易知 EXi,D(Xi)=0.19, i=1,2,400.400而X Xi ,由中心極限定理得i400Xi 400 1.1i.400

9、 0.19X 400 1.1近似地19N(0,1).于是 P X 450 1 P X 450 1450 400 1.14 191(1.147)0.1357.(2)以Y記有一名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù).那么YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得PY 340340 400 0.8400 0.8 0.2(2.5)0.9938.11. 設(shè)男孩出生率為 0.515，求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，那么 XB 10000, 要求女孩個(gè)數(shù)不少于男孩 個(gè)數(shù)的概率，即求PX< 5000.由中心極限定理有5000 10000 0.515PX 5

10、000 ( 3) 1(3) 0.00135.10000 0.515 0.48512. 設(shè)有1000個(gè)人獨(dú)立行動(dòng)，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9以95%概率估計(jì),在一次行動(dòng)中：1至少有多少個(gè)人能夠進(jìn)入？2至多有多少人能夠進(jìn)入？【解】用Xi表第i個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體i=1,2,1000 .令Sn=X1+X2+ X1000.(1)設(shè)至少有m人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求Pm詬n，事件m Sn由中心極限定理知：Pm SJ 1 PSnm 1000 0.9Sn 900.1000 0.9 0.1；90.、 m 1000 0.9 門(mén)“ m 10.95.<1000 0.9 0.1從而m 900900.0

11、5,所以m 900.901.65,m=900-15.65=884.35 88伙 設(shè)至多有 M人能進(jìn)入掩蔽體，要求P0詬甸 > 0.95.查表知M 900PSn MM 900.900.95.=1.65, M =900+15.65=915.6513. 在一定保險(xiǎn)公司里有 10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi).求：1保險(xiǎn)公司沒(méi)有利潤(rùn)的概率為多大；2保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，那么XB 10000, 0.006.(1)公司沒(méi)有利潤(rùn)當(dāng)且僅當(dāng)“1

12、000=10000 X 12即X=120于是所求概率為PX 120120 10000 0.006(2)因?yàn)镴0000 0.006 0.994、10000 0.006 0.9941 6059.6459.640.05仃 e 30.18110公司利潤(rùn) 60000當(dāng)且僅當(dāng)P0 X 60P| X-Y| 的估計(jì).【解】令Z=X-Y,有E(Z)所以CXW 60 于是所求概率為60 10000 0.006.10000 0.006 0.9940 10000 0.006.10000 0.006 0.994(0)600.5.2001研考0,D(Z) D(X Y)D(X) D(Y) 2 xp .DX5 . D(Y)

13、3.P| Z E(Z)| 615.某保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料說(shuō)明，P| X Y| 6D(X Y) 31623612在索賠戶(hù)中，被盜索賠戶(hù)占20%，以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶(hù)中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶(hù)數(shù)1寫(xiě)出X的概率分布；2利用中心極限定理，求被盜索賠戶(hù)不少于14戶(hù)且不多于30戶(hù)的概率近似值1988研考【解】1X可看作100次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶(hù)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶(hù)出現(xiàn)的概率是 0.2，因此，XB(100,0.2)，故X的概率分布是PX k C：000.2k0.8100 k, k 1,2,，100.(2)被盜索賠戶(hù)不少于14戶(hù)且不多于30戶(hù)的概率即為事件14 XW 3的概率.由中心極限定理，得P14 X 3030 100 0.2、100 0.2 0.814 100 0.2100 0.2 0.8(2.5)( 1.5)0.994 9.330.927.16. 一生產(chǎn)線(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，假設(shè)用最大載重量為 5噸的汽車(chē)承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車(chē)最多 可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設(shè)Xi i=1,2, 是裝運(yùn)i箱的重量單位：千克，n為所求的箱數(shù)，由條件知， 可把X1, X2,，Xn視為獨(dú)立同分