高中數(shù)學(xué)解題中的參數(shù)思想

1、高中數(shù)學(xué)解題中的參數(shù)思想有關(guān)參數(shù)問題的解法是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)和難點(diǎn)之一.由參數(shù)引起的討論，一般說來無非兩種情形：要么給定命題結(jié)論，由此去探求參數(shù)的取值范圍；要么由參數(shù)的取值范圍去探求命題在參數(shù)的制約下可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，從而歸納出原命題的正確結(jié)論.2.1定義法“數(shù)學(xué)概念是以定義的方式表述的，巧妙的解法常來源于對(duì)定義的理解和使用. ” 2在有關(guān)參數(shù)問題中，同樣要重視定義解題.由“最值”的定義可知“有實(shí)根且f (x ) M 恒成立，有實(shí)根，且f (x ) m 恒成立.” 3 據(jù)此定義可簡(jiǎn)單處理一些有關(guān)最值的題目.例1 已知函數(shù)的最大值為4，最小值為，試求的值.解：方程，即有實(shí)根，且不等式，即恒成立，

2、于是有且，即；同樣由.最后解得.由此可見與二次函數(shù)有關(guān)的逆向最值問題利用最值的定義都可歸為其判別式“”，由此可使問題獲解.2.2變量代換法一些含參數(shù)問題的題目往往隱晦生疏難以入手，但是若把某些字母或代數(shù)式實(shí)施變量代換，往往就可化難為易，化繁為簡(jiǎn).例2 設(shè)對(duì)所有的實(shí)數(shù)，不等式 恒成立，求的取值范圍.解：設(shè)，所給不等式大于0恒成立恒成立，即恒成立恒成立，即，則有恒成立，故有.本題的常規(guī)解法要用恒成立的條件進(jìn)行分類討論，十分繁瑣.這里先對(duì)原式作變量代換進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到精巧別致的解法.2.3分離參數(shù)法有些參數(shù)問題，若能將已知式中的未知數(shù)和參數(shù)分離開來，就可把求參數(shù)范圍的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或最值問題，

3、從而快速求解.例34 設(shè)函數(shù)（且），若在上有意義，求的取值范圍.解：在上有意義，則在，時(shí)恒成立，即能恒成立，于是只需求在，時(shí)的最大值，由是增函數(shù)可知：當(dāng)時(shí)，故.此題通過分離從那參數(shù)n 使得解題速度和難度都得到了質(zhì)的變化.2.4數(shù)形結(jié)合法數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，用的是通過“數(shù)”與“形”之間的對(duì)應(yīng)與轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想.在某些參數(shù)問題中，只要善于把問題的數(shù)量特征結(jié)合圖形進(jìn)行分析，往往能借助圖像性質(zhì)而有利于解決問題.例 4 已知方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求的取值范圍.解：由題意可知：.兩邊平方得：，原命題可轉(zhuǎn)化為拋物線與直線在區(qū)間上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).結(jié)合圖形分析得到：當(dāng)時(shí)，有，從

4、而有；當(dāng)時(shí)，有，從而有，故有.本題的常規(guī)解法是運(yùn)用一元二次方程有關(guān)實(shí)根的分布來求解，過程較為復(fù)雜.運(yùn)用這一數(shù)形結(jié)合的解法，轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論.2.5正難則反法有些含參數(shù)問題從正面不易入手或不能解決，而它的反面情況則較為簡(jiǎn)單，這時(shí)根據(jù)“正難則反”的原則，應(yīng)用補(bǔ)集的思想逆向思維，從反面尋求解決，則往往容易湊效.例5若關(guān)于的方程，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：當(dāng)三個(gè)方程均無實(shí)數(shù)根有：，解之得：， 視R為全集，用“補(bǔ)集法”易得時(shí)至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.本題若從正面入手，討論較為繁瑣，則從反面思考、解決.正是“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”.3 幾種常見的含參數(shù)的數(shù)學(xué)問

5、題上面簡(jiǎn)單介紹了幾種常見的關(guān)于解含參數(shù)數(shù)學(xué)問題的常用方法，同時(shí)也明確了參數(shù)思想的運(yùn)用對(duì)于解決某些特殊數(shù)學(xué)問題有著極為便捷的效果，那么下面我們就重點(diǎn)分析幾種常見的含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題.3.1含參數(shù)的二次函數(shù)含參數(shù)二次函數(shù)區(qū)間最值問題是一種常見的題型，解這類問題的常規(guī)方法是根據(jù)函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相對(duì)位置隊(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.例65 已知函數(shù)，問是否存在實(shí)數(shù)、使的定義域和值域都為，若存在，求出、的值，若不存在，說明理由.分析：，按常規(guī)需分等三種情況論證，但考慮到，則有，所以區(qū)間恒在對(duì)稱軸左側(cè)，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)即，又，故先對(duì)定義域區(qū)間與對(duì)稱軸的位置做出判斷，是避免分類討論論的有效策略.例76：已知二次

6、函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為3，求實(shí)數(shù)的值.分析：因?yàn)槎魏瘮?shù)在閉區(qū)間上有最大值，所以函數(shù)的最值只可能在 處取得.若，則，這時(shí)，此時(shí)對(duì)稱軸，且，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，故符合題意若，則，這時(shí)，符合題意若，則，這時(shí)，但此時(shí)應(yīng)該在處取得最大值，與取得最大值矛盾，所以不符合題意又易知不符合題意綜上可得或?yàn)樗?本解法能透過現(xiàn)象看清本質(zhì)，抓住二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值所在，一舉切中要害.例87：設(shè)函數(shù)（1） 若在上是增函數(shù)，求的取值范圍（2） 求在上的最大值解析：當(dāng)時(shí)， （1） 要使在上是增函數(shù)，應(yīng)用，在恒成立，即在上恒成立，而在上的最小值為，又，所以（2） 當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，當(dāng)，所以3.2含參數(shù)的一元二次

7、方程例98 當(dāng)滿足什么條件時(shí)，方程在內(nèi)只有兩個(gè)解.分析：設(shè)，則原方程化為，當(dāng)且僅當(dāng)在 內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)，原方程在內(nèi)有四個(gè)解，所以 例10關(guān)于的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.分析：作變換，原方程有實(shí)根，等價(jià)于新方程有正跟.此時(shí)有兩可能：有兩正跟，或一正跟一負(fù)根 或解得若二次方程在區(qū)間或內(nèi)有解，我們可以作變換或即得關(guān)于的新二次方程有正跟，然后再用韋達(dá)定理求解.3.3含參數(shù)的不等式含參數(shù)不等式的問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為常見的提醒之一.例11 9 已知時(shí)不等式恒成立，求的取值范圍.分析：若分，三種情況討論，在運(yùn)用條件得出的范圍，過程復(fù)雜且有一定的思維難度.我們不妨改變解法，換種思維，設(shè)，問題即為求

8、關(guān)于的函數(shù)在恒負(fù)的條件.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，由 得 綜合得出 例1210 已知關(guān)于的不等式的解為，解關(guān)于的不等式.分析：因?yàn)椴坏仁降慕鉃?，所以且，由此?且，從而，于是不等式化為解之得利用方程中參數(shù)間的關(guān)系，巧妙的消去參數(shù)，不失為一種妙法.3.4參數(shù)方程和含參數(shù)的方程此種類型我們以曲線的參數(shù)方程與含參數(shù)的曲線方程為例，這也是解析幾何中的兩類即相互區(qū)別又相互聯(lián)系的常見問題.例13 11 已知兩定點(diǎn),是圓上的任意一點(diǎn)，求使的最小值以及點(diǎn)的坐標(biāo).分析：若設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則是與的二次函數(shù)式，不利于求最小值，若將圓寫成參數(shù)方程形式，則關(guān)于參數(shù)的一元函數(shù).有利于求其最小值，圓的參數(shù)方程是，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.此時(shí)=

9、 = =其中滿足，由此可知，當(dāng)，即時(shí)，取最小值20，這時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為例14 頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線，截直線所得的弦長為，求此拋物線的方程.分析：依題意所求的拋物線有開口向左和向右兩種可能性，若分別設(shè)為，則運(yùn)算量變大，為此可設(shè)所求拋物線為，這里是特定系數(shù).由 消得解，得或有弦長得解得或故與為所求在此題的求解過程中，合理選擇參數(shù)是其中的關(guān)鍵.3.5多參數(shù)的問題多參數(shù)問題作為選撥性試題，常在各種考試中出現(xiàn)，此類問題，分析要求高，思維難度大.例1512 實(shí)數(shù)滿足，求的最大值. 分析：5個(gè)參數(shù)中，可視為主元，故先把條件中的分離出來，在施變換.故由條件可知 下面任意消去，建立關(guān)于的一個(gè)關(guān)系式，可以進(jìn)行以下變換：2-2得： = = = = 即 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到.例1613 對(duì)一切實(shí)數(shù)，若二次函數(shù) 的值恒非負(fù)，求的最小值.分析：由條件對(duì)一切恒成立，知且，考慮到式子是關(guān)于的齊次二次分式，故可作如下變形令，則由知，故當(dāng)且僅當(dāng)， 即 即時(shí)等號(hào)成立 結(jié)論適當(dāng)?shù)囊雲(yún)?shù)把證明或求解的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為求解的關(guān)系式，最后可消去參數(shù)使問題得以解決，這種思想方法使得一些數(shù)學(xué)問題（