綜合國力的數(shù)學(xué)建模

1、綜合國力的數(shù)學(xué)建模王樹禾(中國科學(xué)技術(shù)大學(xué))摘要本文考慮社會文明與社會丑惡現(xiàn)象的制約機制, 建立一個綜合國力的非線性 數(shù)學(xué)模型, 從數(shù)學(xué)上討論相應(yīng)的二次微分系統(tǒng)的 H op f 分叉、中心與細焦點的判 定、極限環(huán)的存在唯一性等問題, 并對數(shù)學(xué)結(jié)論予以合理解釋, 把社會相平面劃分 成社會發(fā)展區(qū)域、社會動蕩區(qū)域和社會崩潰區(qū)域, 研討社會走向, 確定納入社會發(fā) 展區(qū)域的途徑.關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)模型, 二次微分系統(tǒng), H op f 分叉, 極限環(huán), 綜合國力.分類號(中圖)O 29; (1991M R ) 92H 10.一、數(shù)學(xué)建模一個國家的物質(zhì)文明與精神文明綜合而成的社會文明或曰綜合國力, 其已有水平及其

2、走 向決定該國的強弱興衰, 定量地研究各國的綜合國力, 可以為本國內(nèi)政與外交政策的制 定, 提供重要依據(jù). 做為當今重大科研課題, 美國、日本、中國和歐洲各主要國家都組織科學(xué) 家進行研究1 .1981 年, 喬治敦大學(xué)戰(zhàn)略與國際研究中心主任、美國中央情報局前副局長R r 克萊因教 授給出綜合國力公式P p = (C + E + M ) × (S + W ) ,()其中 P p 是綜合國力, C 是基本實體, E 是經(jīng)濟實力,M 是軍事實力, S 是戰(zhàn)略意圖,W 是貫徹 國家戰(zhàn)略的意志. 本文 1995 年 11 月 13 日收到. 1996 年 8 月 21 日收到修改稿.1987

3、年, 日本綜合研究所出版日本綜合國力一書, 其國力方程為P = (C + E + M ) × (G + D ) ,()其中 G 為國內(nèi)政治能力, D 為外交能力.() () 只對已有國力進行度量, 未考慮時間因素引起的發(fā)展與變化, 無預(yù)報功能. 我國 著名軍事未來學(xué)家黃碩風教授, 1988 年在美蘇爭霸戰(zhàn)略問題一文中引入國力變化的微分 動力學(xué)模型, 其國力主方程為L o g ist ic 方程d y td t = y t 1 -y t ,()M其中 y t 是國力函數(shù)1 , 黃還給出國力要素中一系列子方程.我們基于社會發(fā)展的動力學(xué)思想, 在本文中建立綜合國力的二次微分系統(tǒng)來探討綜合

4、國力的長消規(guī)律.稱X ( t) 為硬國力函數(shù), X ( t) 是某國物質(zhì)文明 (資源、經(jīng)濟、軍事、科技等) 水平的一個綜合指標. X ( t) 越大, 物質(zhì)文明越繁榮. X = X 0 是正常數(shù), 表示 X ( t) 的警戒線.稱 y ( t) 為軟國力函數(shù), y ( t) 是某國精神文明問題 (內(nèi)政外交決策的失誤與正確, 官員的 腐敗與廉潔, 國民教育的失敗與成功, 社會治安情況的嚴重與良好等) 的一個綜合指標.y ( t) > 0 對應(yīng)社會丑惡現(xiàn)象 (決策失誤、教育失敗、官貪民盜等) , 這時軟國力對社會發(fā)展有阻滯作用; y ( t) < 0 時, 軟國力優(yōu)越 (決策英明、國民

5、素質(zhì)高等) , 對社會發(fā)展有促進作用.記 x ( t) = X ( t) - X 0 , 則 - X 0 x ( t) M = co n st. .在一定的簡化層次上, 我們建立了下面的數(shù)學(xué)模型:d x = x M - x d tM- y ,(1)d y = - y + (m - x ) x ,(2)d t其中 , , , , m ,M 皆為正的常數(shù), m < M , x 與 y 的量綱是S (Sco re) , , , 的量綱是 T - 1 (T 是時間量綱) , 的量綱是 T - 1S - 1 , m 與M 的量綱是S . (1) (2) 的建模思想如下:物 質(zhì)文明的發(fā)展速度d x

6、d t與現(xiàn)有文明水準 x ( t) 及發(fā)展?jié)摿Φ姆蓊~M - xM成正比, 于是有 x M - xM這一項, 稱為增長系數(shù).- y 表示社會丑惡現(xiàn)象對物質(zhì)文明發(fā)展的阻滯, 稱為丑惡系數(shù).- y 表示人民與政府對丑惡現(xiàn)象的抵制與治理力度, 它與現(xiàn)存丑惡現(xiàn)象的多寡成正 比, 稱為統(tǒng)治系數(shù).(m - x ) x 表示物質(zhì)文明不足 (x ( t) < m ) 時, 丑惡現(xiàn)象隨 x ( t) 之增長而加劇, 但物質(zhì) 文明程度足夠大之后 (x ( t) > m ) , 如史記管仲列傳所云“倉廩實而知禮節(jié), 衣食足而知榮 辱”, 社會丑惡現(xiàn)象隨 x ( t) 之增加而減少.令 u ( t) = x

7、 ( t) , v ( t) = y ( t) , t = , 則(1) (2) 變成M Md ud = u (1 - u ) - v ,(3)d vd = -又令 v +M m - u u. (4)Ma =,b = ,c = M , = m ,仍把 寫成 t, 得Md u = a u (1 - u ) - v ,(5)d td v = - bv + c ( - u ) u.(6)d t(1) (2) 與(5) (6) 的相圖拓撲同胚.二、數(shù)學(xué)分析2我們來討論方程組 (5) (6) 軌線的性質(zhì), 以下總假設(shè) (+ )4< m < M .定理 1若 a b, 則方程組 (5) (6)

8、 無閉軌.證明取D u lac 函數(shù)B (u , v ) = ek u + lv , 則D = 5 a u (1 - u ) - v ek u + lv +5 -bv + c ( - u ) u ek u + lv 5u5v= ek u + lv (a - b) +k a + c l - 2a u -(k + b l) v -(k a + c l) u 2 ,令k a + c l - 2a = k + b l = 0,2得(注意由 (+ )4< m 可知 c > a b)k = - 2a b ,l = 2a ,c - a b于是c - a bD = ek u + lv a - b

9、-(k a + c l) u 2 ,而a k + c l = 2a (c - a b) > 0,c - a b所以當 a b 時, D 0, 等號僅在 a = b 且 u = 0 時發(fā)生, 由D u lac 準則, 方程組 (5) (6) 無閉 軌. 定理 1 證畢.,定理 2方程組 (5) (6) 有兩個有限奇點 (0, 0) 和 (u 0 , v 0 ) =a b - c a u 0 (1 - u 0 ) ;a b - c(u 0 , v 0 ) 在第一象限, 是鞍點; (0, 0) 當 a < b 時是穩(wěn)定粗焦點.證明令a u (1 - u ) - v = 0,- bv +

10、c ( - u ) u = 0,得有限奇點 (0, 0) 與(u 0 , v 0 ) =a b - c a u 0 (1 - u 0 ) . 由于m >a b - c(+ ) 24, 于是 a b - c< 0, a b - c < 0, a b - c > 0, 又 < 1, 故 u 0 < 1, a u 0 (1 - u 0 ) > 0, 即(u 0 , v 0 ) 在第一象限a b - c內(nèi).令 = u - u 0 , = v - v 0 , 則(5) (6) 變成d = a (1 - 2u 0 ) - - a 2 ,(7)d td = c (

11、- 2u 0 ) - b - c2.(8)d t(7) (8) 的線性近似系統(tǒng)的特征方程為2 +b - a (1 - 2u 0 ) + c ( - 2u 0 ) - a b (1 - 2u 0 ) = 0,(9)其中常數(shù)項c ( - 2u 0 ) - a b (1 - 2u 0 ) = a b - c < 0,故特征根是異號實數(shù), (u 0 , v 0 ) 是鞍點.對于 (0, 0) 點, 特征方程為 2 + (b - a ) - a b + c = 0, 特征根為1, 2 =1 a - b ±(a - b) 2 + 4 (a b - c) ,22由于m > (+ ),

12、故(a - b) 2 + 4 (a b - c) < 0, 即 與 是實部為 1 (a - b) < 0 的共41 2 2軛復(fù)數(shù), 所以當 a < b 時(0, 0) 是穩(wěn)定的粗焦點, 定理 2 證畢.定理 3對于方程組 (5) (6) , 當 a = b 時, (0, 0) 是穩(wěn)定的一階細焦點; 當 a > b 時(0, 0)是不穩(wěn)定粗焦點; 當 0 < a - b 1 時, (0, 0) 外圍存在唯一極限環(huán), 它是單重穩(wěn)定環(huán); a - b> a (c - a b) 時無極限環(huán).c - a b證明用 x 記 u , y 記 v , (5) (6) 變成d

13、x = a x (1 - x ) - y ,d t令 x = x , z = bx - y , 則再令 z = (a b - c) Z , 則d y = - by + c ( - x ) x.d td x = (a - b) x - a x 2 + z ,d td z = (a b - c) x + (c - a b) x 2.d td Z = x 1 +c - a b x , (c - a b > 0, a b - c < 0)d ta b - cd x = (a - b) x - a x 2 + (ab - c) Z.d tx 1 + c - a b xd Zc - a b =

14、a b - c,(10)d x a - bc - a bx -ac - a bx 2 -c - a bZ令 =c - a bZ , 則d = x 1 + c - a b x ,d ta b - c令 - , x - x , 則d x =a - bd t c - a bd x =a - bd tc - a bx -ac - a bx +ac - a bx 2 - .x 2 - ,(11)d = x 1 +c - a b x .(12)d t(1) (2) 與(11) (12) 的相圖拓撲同胚.記c - a b(11) (12) 改寫成 =a - bc - a b,L =ac - a b,A =c

15、 - a b .c - a bd x = x - + L x 2 ,(13)d td = x (1 + A x ).(14)d t(13) (14) 的線性近似系統(tǒng)的特征方程為 2 - + 1 = 0, 由于m > (+ )4b 時, 0 < < 2, 特征根是實部 > 0 的共軛復(fù)數(shù), 故(0, 0) 是不穩(wěn)定粗焦點.當 a = b 時, = 0, (13) (14) 是2, 所以當 a >d x = - y + a 20 x 2 + a 11 x y + a 02 y 2 ,d td y = x + b20 x 2 + b11 x y + b02 y 2d t

16、的特例, 在(13) (14) 中, a 20 = L , b20 = A , a 02 = b02 = a 11 = b11 = 0, 求得第一焦點量15W 1 = (a 20 + a 02 ) (a 11 + 2b02 ) -(b20 + b02 ) (b11 + 2a 20 ) = - 2A L < 0,由2定理 12. 2 可得 (0, 0) 是穩(wěn)定的一階細焦點.由 H op f 分叉理論, 0 < a - b 1 時, 在(0, 0) 外圍至少存在一個穩(wěn)定的極限環(huán).又(11) (12) 是葉彥謙意義下第 ¦ 類二次微分系統(tǒng)d x = - y + x + L x

17、2 + m x y + n y 2 ,d td y = x (1 + A x ) (A 0)d tm = n = 0 的情形. 由13定理 2. 2 知, 當 0 或 L A時, (13) (14) 進而 (5) (6) 無極限環(huán), 而當 0, L A時, (5) (6) 至多有一個極限環(huán), 且若存在, 必為原點外圍的單重穩(wěn)定環(huán). 所以當 0 < a - b 1 時, (5) (6) 存在唯一的單重穩(wěn)定極限環(huán), 它在原點外圍. 而當 L , 即 a - b > a (c - a b) 時, (5) (6) 無極限環(huán). 定理 3 證畢.Ac - a b三、社會意義2在 (+ )4&l

18、t; m < M 的條件下, 由定理 13, 繪出相圖如圖 13.圖 1 圖 2在 圖 13 中 曲 邊 梯 形D O CGH D 是社會發(fā)展區(qū)域,“麻點 區(qū)”是社會動蕩區(qū)域, 其余為社會 崩潰區(qū)域.1. a b 時, 統(tǒng)治系數(shù)大于增 長系數(shù), 原點在社會動蕩區(qū)域; 在社會動蕩區(qū)域, 隨著時間的推移, 社會 狀態(tài)螺旋式動蕩, 丑惡現(xiàn)象趨于無, 但物質(zhì)文明水平亦趨于貧困線 (x= 0) , 見圖 1.2. a > b, 0 < a - b 1, 增長 系數(shù)略高于統(tǒng)治系數(shù), 在社會動蕩區(qū)域內(nèi), 物質(zhì)文明的多寡, 精神文明的優(yōu)劣, 螺旋式振蕩著趨于一個穩(wěn)定的極限環(huán), 頑固地進行擬周

19、期或 圖 3周期動蕩, 見圖 2.3. a - b > a (c - a b) , 增長系數(shù)明顯高于統(tǒng)治系數(shù), 則社會相平面只劃分成社會發(fā)展c - a b區(qū) 域和社會崩潰區(qū)域, 而原點處于社會崩潰區(qū)域. 在原點附近, 社會丑惡現(xiàn)象并不嚴重, 甚至 社會風氣良好 (y ( t) < 0) , 但社會仍然趨于崩潰! 在原點附近, 即社會的物質(zhì)文明與精神 文明都不發(fā)達, 這種國家, 不可只追求發(fā)展經(jīng)濟與軍事而對社會的治理相對割弱. 即增長系數(shù)明顯高于統(tǒng)治系數(shù), 對這種國家的前途十分有害, 見圖 3.4. 如果社會狀態(tài)處于社會發(fā)展區(qū)域, 則在有限時間內(nèi), 物質(zhì)文明趨于上界M , 社會丑惡

20、現(xiàn)象收斂, 發(fā)展成道德高尚的理想社會 (y ( t) < 0).5. 如果社會狀態(tài)處于社會崩潰區(qū)域, 既使當初社會物質(zhì)文明繁榮甚至在上界M 附近,隨著時間的推移, 在有限時間內(nèi), 物質(zhì)文明趨于崩潰線 x = - X 0 (X = 0).6. 若社會狀態(tài)不在社會發(fā)展區(qū)域, 則應(yīng)進行社會變革, 加大改革與治理的力度, 可以考 慮以下三種對策:1) 暫時停滯經(jīng)濟、軍事等事業(yè)的發(fā)展, 盡全力把社會丑惡現(xiàn)象打下去, 即暫時使 x ( t) 保持不變, 而使 y ( t) 減小, 使得到某時刻 t1 , (x ( t1 ) , y ( t1 ) ) 落在社會發(fā)展區(qū)域內(nèi), 如圖 1“1 號箭 頭”所示

21、.2) 若社會丑惡現(xiàn)象的嚴重程度尚在D I 線以下, 則只需維持其不再加重, 而全力發(fā)展經(jīng) 濟等物質(zhì)文明, 使社會狀態(tài)納入社會發(fā)展區(qū)域, 見圖 1“2 號箭頭”.3) 對策 1) 與 2) 的聯(lián)合實施, 見圖 1 的“3 號箭頭”.四、參數(shù)估計不同的國家對應(yīng)不同的參數(shù)組, , , , m ,M , 為了具體地定量研究某國的綜合國力(x ( t) , y ( t) ) , 必須首先把該國的參數(shù)組確定出來.設(shè) x 1 ( t) = 經(jīng)濟實力, x 2 ( t) = 軍事實力, 則nx ( t) = i x i ( t) ,i= 1其中權(quán) i 可用層次分析方法由比分矩陣的主特征向量給出11 .對歷史

22、上 x i ( t) 的實況統(tǒng)計, 可由問卷調(diào)查或?qū)＜以u議等辦法用百分制評分.k對 y ( t) 也可類似地處理, y ( t) = i y i ( t).i= 1把各個歷史值(x ( t) , y ( t) ) 代入 (1) (2) , 可求得參數(shù)組, , , , m ,M 的估計值.參數(shù)組的確定過程比較復(fù)雜, 不再詳述.衷心感謝葉其孝教授、黃碩風教授及編輯和審稿同志, 他們給予本文寫作很多鼓勵、指 導(dǎo)和修改意見.(本文作者通訊地址: 合肥市中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系 郵碼 230026)參 考 文 獻1 黃碩風, 綜合國力論, 中國社會科學(xué)出版社, 1992.2 葉彥謙, 極限環(huán)論, 上?？萍?/p>

23、出版社, 1984.3 張芷芬等, 微分方程定性理論, 科學(xué)出版社, 1985.4 R ay. S. C line, W o r ld Pow e r A sse sm en t, W e stv iew P re ss, Inc. , 1975.5 保羅·肯尼迪, 大國的興衰, 求實出版社, 1988.6 理查德·尼克松, 1999 不戰(zhàn)而勝, 世界知識出版社, 1989.7 伊滕憲一, 國家與戰(zhàn)略, 軍事科學(xué)出版社, 1988.8 日本經(jīng)濟企劃廳, 日本的綜合國力, 1987.9 黃碩風, 綜合國力與國情研究, 中國國情國力雜志, 1 (1992) , 13219.10

24、 黃碩風, 綜合國力動態(tài)方程, 科學(xué), 434 (1991) , 2832288.11 王樹禾, 數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ), 中國科大出版社, 1995.12 蔡燧林, 二次系統(tǒng)研究近況, 數(shù)學(xué)進展, 181 (1989) , 5221.13 蔡燧林, 張平光, 二次系統(tǒng)極限環(huán)的唯一性, 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 63 (1991) , 4502461.14 梁肇軍, 多項式微分系統(tǒng)全局分析導(dǎo)引, 華中師大出版社, 武漢, 1989.15 李承治, 關(guān)于平面二次系統(tǒng)的兩個問題, 中國科學(xué), 1981, 9272938.M A T H EM A T ICA L M O D EL IN G FO R T H E SYN T H E T ICA L N A T IO N A L POW ERW an g Sh u h e(D ep t. o