帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題

1、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題當(dāng)某種物理現(xiàn)象變化為另一種物理現(xiàn)象或物體從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)時(shí)，發(fā)生這種質(zhì)的飛躍的轉(zhuǎn)折狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài)。粒子進(jìn)入有邊界的磁場(chǎng)，由于邊界條件的不同，而出現(xiàn)涉及臨界狀態(tài)的臨界問(wèn)題，如帶電粒子恰好不能從某個(gè)邊界射出磁場(chǎng)，可以根據(jù)邊界條件確定粒子的軌跡、半徑、在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間等。如何分析這類相關(guān)的問(wèn)題是本文所討論的內(nèi)容。 一、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析方法 1圓心的確定 因?yàn)槁鍌惼澚指向圓心，根據(jù)Fv，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡中任意兩點(diǎn)（一般是射入和射出磁場(chǎng)兩點(diǎn)），先作出切線找出v的方向再確定F的方向，沿兩個(gè)洛倫茲力F的方向畫其

2、延長(zhǎng)線，兩延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為圓心，或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上，作出圓心位置，如圖1所示。  2半徑的確定和計(jì)算 利用平面幾何關(guān)系，求出該圓的可能半徑（或圓心角），并注意以下兩個(gè)重要的幾何特點(diǎn)： 粒子速度的偏向角等于轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，并等于AB弦與切線的夾角（弦切角）的2倍，如圖2所示，即=2。  相對(duì)的弦切角相等，與相鄰的弦切角互補(bǔ)，即+=180°。 3粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定 若要計(jì)算轉(zhuǎn)過(guò)任一段圓弧所用的時(shí)間，則必須確定粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓弧所對(duì)的圓心角，利用圓心角與弦切角的關(guān)系，或者利用四邊形內(nèi)角和

3、等于360°計(jì)算出圓心角的大小，并由表達(dá)式，確定通過(guò)該段圓弧所用的時(shí)間，其中T即為該粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期，轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角越大，所用時(shí)間t越長(zhǎng)，注意t與運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。 4帶電粒子在兩種典型有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的分析 穿過(guò)矩形磁場(chǎng)區(qū)：如圖3所示，一定要先畫好輔助線（半徑、速度及延長(zhǎng)線）。  a、帶電粒子在穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的偏向角由sin=L/R求出；（、L和R見圖標(biāo)） b、帶電粒子的側(cè)移由R2=L2-（R-y）2解出；（y見所圖標(biāo)） c、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。 穿過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)：如圖4所示，畫好輔助線（半徑、速度

4、、軌跡圓的圓心、連心線）。  a、帶電粒子在穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)的偏向角可由求出；（、r和R見圖標(biāo)） b、帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間由得出。 二、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)類型的分析 1給定有界磁場(chǎng) （1）確定入射速度的大小和方向，判定帶電粒子出射點(diǎn)或其它 【例1】（2001年江蘇省高考試題）如圖5所示，在y<0的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一帶正電的粒子以速度v0從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，入射方向在xy平面內(nèi)，與x軸正向的夾角為。若粒子射出磁場(chǎng)時(shí)的位置與O點(diǎn)的距離為l，求該粒子的電量和質(zhì)量之比q

5、/m。  解析：帶正電粒子射入磁場(chǎng)后，由于受到洛侖茲力的作用，粒子將沿圖6所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，O、A間的距離為l，射出時(shí)速度的大小仍為v0，射出方向與x軸的夾角仍為。由洛侖茲力公式和牛頓定律可得， ，（式中R為圓軌道的半徑） 解得 R=mv0/qB 圓軌道的圓心位于OA的中垂線上，由幾何關(guān)系可得 l/2=Rsin 聯(lián)立、兩式，解得 。 點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，求該粒子的電量和質(zhì)量之比，也可以倒過(guò)來(lái)分析，求出射點(diǎn)的位置。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出軌跡圖，

6、根據(jù)幾何關(guān)系確定軌跡半徑。 （2）確定入射速度的方向，而大小變化，判定粒子的出射范圍 【例2】如圖7所示，矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬為L(zhǎng)/2。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，質(zhì)量為m，電荷量為e 的電子沿著矩形磁場(chǎng)的上方邊界射入磁場(chǎng)，欲使該電子由下方邊界穿出磁場(chǎng)，求：電子速率v 的取值范圍？  解析：（1）帶電粒子射入磁場(chǎng)后，由于速率大小的變化，導(dǎo)致粒子軌跡半徑的改變，如圖所示。當(dāng)速率最小時(shí)，粒子恰好從d點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R1=L/4，再由R1=mv1/eB，得  當(dāng)速率最大時(shí)，粒子恰好從c點(diǎn)射出，由圖可知其半徑R2滿足，即R2=5L/4，再由

7、R2=mv2/eB，得  電子速率v的取值范圍為：。 點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的方向，由于入射速度的大小發(fā)生改變，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡半徑，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，再根據(jù)幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的軌跡半徑，最后求解臨界狀態(tài)的速率。 （3）確定入射速度的大小，而方向變化，判定粒子的出射范圍 【例3】（2004年廣東省高考試題）如圖8所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=060T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，在距ab的距離

8、l=16cm處，有一個(gè)點(diǎn)狀的放射源S，它向各個(gè)方向發(fā)射粒子，粒子的速度都是v=30×106m/s，已知粒子的電荷與質(zhì)量之比q/m=50×107C/kg，現(xiàn)只考慮在圖紙平面中運(yùn)動(dòng)的粒子，求ab上被粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度。  解析：粒子帶正電，故在磁場(chǎng)中沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R表示軌道半徑，有qvB=mv2/R， 由此得   R=mv/qB，代入數(shù)值得R=10cm。  可見，2R>l>R，如圖9所示，因朝不同方向發(fā)射的粒子的圓軌跡都過(guò)S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側(cè)與ab相切，則此切點(diǎn)P

9、1就是粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點(diǎn)。為定出P1點(diǎn)的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為R，以S為圓心，R為半徑，作弧交cd于Q點(diǎn)，過(guò)Q作ab的垂線，它與ab的交點(diǎn)即為P1。 ， 再考慮N的右側(cè)。任何粒子在運(yùn)動(dòng)中離S的距離不可能超過(guò)2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側(cè)的P2點(diǎn)，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點(diǎn)。 由圖中幾何關(guān)系得 ， 所求長(zhǎng)度為 P1P2=NP1+NP2， 代入數(shù)值得 P1P2=20cm。 點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小，其對(duì)應(yīng)的軌跡半徑也就確定了。但由于入射速度的方向發(fā)生改變

10、，從而改變了該粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出臨界狀態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（對(duì)應(yīng)的臨界狀態(tài)的速度的方向），再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射范圍。 2給定動(dòng)態(tài)有界磁場(chǎng) （1）確定入射速度的大小和方向，判定粒子出射點(diǎn)的位置 【例4】（2006年天津市理綜試題）在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，如圖10所示。一個(gè)不計(jì)重力的帶電粒子從磁場(chǎng)邊界與x軸的交點(diǎn)A處以速度v沿-x方向射入磁場(chǎng)，恰好從磁場(chǎng)邊界與y軸的交點(diǎn)C處沿+y方向飛出。  （1）請(qǐng)判斷該粒子

11、帶何種電荷，并求出其比荷q/m； （2）若磁場(chǎng)的方向和所在空間范圍不變，而磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場(chǎng)，但飛出磁場(chǎng)時(shí)的速度方向相對(duì)于入射方向改變了60°角，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B多大？此次粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間t是多少？ 解析：（1）由粒子的飛行軌跡，利用左手定則可知，該粒子帶負(fù)電荷。  如圖11所示，粒子由A點(diǎn)射入，由C點(diǎn)飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑 r=R，又 ， 則粒子的荷質(zhì)比為  。 （2）粒子從D點(diǎn)飛出磁場(chǎng)速度方向改變了60°角，故AD

12、弧所對(duì)圓心角60°，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，又，所以 ， 粒子在磁場(chǎng)中飛行時(shí)間：。 點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度的大小和方向，但由于有界磁場(chǎng)發(fā)生改變（包括磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小或方向的改變），從而改變了該粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出磁場(chǎng)發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的出射點(diǎn)的位置。 （2）確定入射速度和出射速度的大小和方向，判定動(dòng)態(tài)有界磁場(chǎng)的邊界位置 【例5】（1994年全國(guó)高考試題）如圖12所示，一帶電質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，電量為q，以平行于Ox軸的速度

13、v從y軸上的a點(diǎn)射入圖中第一象限所示的區(qū)域。為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于Ox軸的速度v射出，可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋€(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑。重力忽略不計(jì)。  解析：質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)中作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)， qvB=（Mv2）/R，得R=（MV）/（qB）。 根據(jù)題意，質(zhì)點(diǎn)在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道是半徑等于R的圓上的1/4圓周，這段圓弧應(yīng)與入射方向的速度、出射方向的速度相切。如圖13所示，過(guò)a點(diǎn)作平行于x軸的直線，過(guò)b點(diǎn)作平行于y軸的直線，則與這兩直線均相距R的O點(diǎn)就是圓周的圓心。質(zhì)點(diǎn)

14、在磁場(chǎng)區(qū)域中的軌道就是以O(shè)為圓心、R為半徑的圓（圖中虛線圓）上的圓弧MN，M點(diǎn)和N點(diǎn)應(yīng)在所求圓形磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上。  在通過(guò)M、N兩點(diǎn)的不同的圓周中，最小的一個(gè)是以MN連線為直徑的圓周。所以本題所求的圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑為： ， 所求磁場(chǎng)區(qū)域如圖13所示中實(shí)線圓所示。 點(diǎn)評(píng)：本題給定帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的入射速度和出射速度的大小和方向，但由于有界磁場(chǎng)發(fā)生改變（磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，但磁場(chǎng)區(qū)域在改變），從而改變了該粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，導(dǎo)致粒子的出射點(diǎn)位置變化。在處理這類問(wèn)題時(shí)重點(diǎn)是畫出磁場(chǎng)發(fā)生改變后粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，確定臨界狀態(tài)的粒子運(yùn)

15、動(dòng)軌跡圖，再利用軌跡半徑與幾何關(guān)系確定對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)區(qū)域的位置。 綜上所述，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若僅受洛侖茲力作用時(shí)，它一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問(wèn)題雖然比較復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，并靈活運(yùn)用幾何知識(shí)和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間不太難。 【鞏固練習(xí)】 1（2005年理綜I）如圖14所示，在一水平放置的平板MN的上方有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里。許多質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以相同的速率v沿位于紙面內(nèi)的各個(gè)方向，由小孔O射入磁場(chǎng)區(qū)域。不計(jì)重力，不計(jì)粒

16、子間的相互影響。下列圖中陰影部分表示帶電粒子可能經(jīng)過(guò)的區(qū)域，其中。哪個(gè)圖是正確的？  A        B C         D 答案：A 2（1999年全國(guó)高考試題）如圖15所示中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L(zhǎng)不計(jì)重力及粒子間的相互作用。  （1）求所考察的粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑； （2）求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔。 答案：（1）R=mv/qB；（2）t=4marccos（LqB/2mv）/qB。 3（2007年武漢市理綜模擬試題）如圖1