常微分方程含解答

1、第八章 常微分方程【教學(xué)要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的階、解、特解、通解、初始條件和初值問(wèn)題，線(xiàn)性微分方程。二、熟練掌握一階可分離變量微分方程的解法。三、熟練掌握一階線(xiàn)性非齊次微分方程的解法常數(shù)變易法和公式法。 四、理解線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)。五、熟練掌握二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程的解法特征根法。會(huì)根據(jù)特征根的三種情況，熟練地寫(xiě)出方程的通解，并根據(jù)定解的條件寫(xiě)出方程特解。六、熟練掌握二階線(xiàn)性常系數(shù)非齊次微分方程，當(dāng)自由項(xiàng)f (x)為某些特殊情況時(shí)的解法待定系數(shù)法。所謂f (x)為某些特殊情況是指f (x)為多項(xiàng)式函數(shù)，指數(shù)函數(shù)。關(guān)鍵是依據(jù)f (x)的形式及特征根

2、的情況，設(shè)出特解y*,代入原方程，定出y*的系數(shù)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】 一階可分離變量微分方程、一階線(xiàn)性微分方程、二階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的解法。【典型例題】 解：B解：C解：B 特征根為 考試題型 試題分為填空題、單項(xiàng)選擇題和計(jì)算題(包括應(yīng)用題)，其中填空題和單項(xiàng)選擇題的分?jǐn)?shù)占總分?jǐn)?shù)的30%左右，此類(lèi)題目主要考查課程中所學(xué)的概念、公式、性質(zhì)等知識(shí)，并配有一些經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算就能得出結(jié)果的小計(jì)算題；試卷中計(jì)算題(包括應(yīng)用題)的分?jǐn)?shù)占總分?jǐn)?shù)的70%左右，主要考查學(xué)生對(duì)課程中所學(xué)過(guò)的基本計(jì)算方法和技能的掌握情況。 總之，同學(xué)們要在認(rèn)真完成平時(shí)作業(yè)的基礎(chǔ)上，對(duì)照考核說(shuō)明有的放矢地重點(diǎn)復(fù)習(xí)。另外，考慮到成人和開(kāi)放教

3、育的特點(diǎn)，本課程是半開(kāi)卷考試，同學(xué)們要認(rèn)真整理和利用好A4備考紙，最后祝同學(xué)們考出好成績(jī)。第二部分 綜合練習(xí)一、填空題（每小題2分，共12分）1.若 。2. 。3.函數(shù)f (x)=在點(diǎn)_處取得極小值。4.若= 。5. 。二、單選題（每小題2分，共12分）1.在（ ）時(shí)為無(wú)窮小量。2.若f (x)在x=處連續(xù)，則有（ ）。 3.曲線(xiàn)A.單調(diào)增加且凸的 B.單調(diào)增加且凹的C.單調(diào)減少且凸的 D.單調(diào)減少且凹的4.設(shè)5.以下命題正確的是（ ）。收斂B. 收斂級(jí)數(shù)部分和有極限C.p級(jí)數(shù)當(dāng)p<1時(shí)收斂D.級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散6.下列微分方程中，（ ）是可分離變量的微分方程。三、計(jì)算題（本題6

4、分）求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間。 四、計(jì)算題（每小題6分，共18分）。3.由方程。五、計(jì)算題（每小題6分，共18分）1.2.3.六、計(jì)算題（每小題8分，共16分）1.求滿(mǎn)足的特解。2.求的通解。七、應(yīng)用題（每小題9分，共18分）1.求內(nèi)接于拋物線(xiàn)與X軸所圍區(qū)域內(nèi)的矩形的最大面積。2.求由曲線(xiàn)所圍成平面圖形的面積。 【參考答案】一、填空題（每小題2分，共12分）1. 2. 0 3. 4.5.1 6.二、單選題（每小題2分，共12分）1.B 2. C 3. B 4. A 5. B 6. A三、計(jì)算題（每小題6分，共18分）1. 2. 3. 四、計(jì)算題（每小題6分，共18分）1. 2. 3. 五、計(jì)算題（每小題8分，共16分）1. 2.對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為： 設(shè)原方程的一個(gè)特解為 故原方程的一個(gè)特解為因此原方程的通解為：六、計(jì)算題（本題6分）七、