排列組合方法技巧總匯

1、總結(jié)排列組合題型 一 直接法1 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個（1）數(shù)字1不排在個位和千位 （2）數(shù)字1不在個位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個位和千位有5個數(shù)字可供選擇，其余2位有四個可供選擇，由乘法原理：=2402特殊位置法（2）當1在千位時余下三位有=60，1不在千位時，千位有種選法，個位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252二 間接法當直接法求解類別比較大時，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252例2 有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴?/p>

2、放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三維書？ 分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較復(fù)雜，因而可使用間接計算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個，其中0在百位的有個，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432（個）三 插空法 當需排元素中有不能相鄰的元素時，宜用插空法。 例3 在一個含有8個節(jié)目的節(jié)目單中，臨時插入兩個歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8個節(jié)目中含有9個空檔，插入一個節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個，故有=100中插入方法。四 捆綁法 當需排元素中有必須相鄰的元素時，宜用捆綁法。例4 4名男生和3名女生共坐一排

3、，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：×=576練習1四個不同的小球全部放入三個不同的盒子中，若使每個盒子不空，則不同的放法有 種（）2 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學校的學生參觀，但每天只能安排一所學校，其中有一所學校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個整體來選有其余的就是19所學校選28天進行排列）五 閣板法 名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法例5 某校

4、準備組建一個由12人組成籃球隊，這12個人由8個班的學生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種 。分析：此例的實質(zhì)是12個名額分配給8個班，每班至少一個名額，可在12個名額種的11個空當中插入7塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有種練習1.(a+b+c+d)15有多少項？ 當項中只有一個字母時，有種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故。當項中有2個字母時，有而指數(shù)和為15，即將15分配給2個字母時，如何分，閘板法一分為2，即當項中有3個字母時指數(shù)15分給3個字母分三組即可當項種4個字母都在時 四者都相加即可練習2有20個不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個盒子里，要求每個盒子內(nèi)的球數(shù)

5、不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（）3不定方程X1+X2+X3+X50=100中不同的整數(shù)解有（）六 平均分堆問題 例6 6本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？ 分析：分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種練習：16本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2某年級6個班的數(shù)學課，分配給甲乙丙三名數(shù)學教師任教，每人教兩個班，則分派方法的種數(shù)。七 合并單元格解決染色問題例7 （全國卷（文、理）如圖1，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不 得使用同一顏色，

6、現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）。 分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5 下面分情況討論: ()當2、4顏色相同且3、5顏色不同時，將2、4合并成一個單元格，此時不同的著色方法相當于4個元素 的全排列數(shù) （）當2、4顏色不同且3、5顏色相同時，與情形()類似同理可得 種著色法（）當2、4與3、5分別同色時，將2、4；3、5分別合并，這樣僅有三個單元格 從4種顏色中選3種來著色這三個單元格，計有種方法 由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72（種）練習1（天津卷（文）將3種作物種植 12345 在如圖的5塊試驗田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗田不能種植

7、同一作物 ， 不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答） （72）2（江蘇、遼寧、天津卷（理）某城市中心廣場建造一個花圃，花圃6分為個部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種 同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答）（120）圖3 圖43如圖4，用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù)（540）4如圖5：四個區(qū)域坐定4個單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的

8、著色方法是 種（84）圖5 圖65將一四棱錐(圖6)的每個頂點染一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共 種（420） 八 遞推法例八 一樓梯共10級，如果規(guī)定每次只能跨上一級或兩級，要走上這10級樓梯，共有多少種不同的走法？分析：設(shè)上n級樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當n2時，上n級樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級，有an-1種走法，第二類是最后一步跨兩級，有an-2種走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,據(jù)此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=

9、55,a10=89.故走上10級樓梯共有89種不同的方法。九.幾何問題 1四面體的一個頂點位A,從其它頂點與各棱中點取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有 種（3+3=33）2.四面體的棱中點和頂點共10個點（1）從中任取3個點確定一個平面，共能確定多少個平面？(-4+4-3+3-6C+6+2×6=29) (2)以這10個點為頂點，共能確定多少格凸棱錐？ 三棱錐 C104-4C64-6C44-3C44=141 四棱錐 6×4×4=96 3×6=18 共有114十 先選后排法例9 有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔，乙丙各需1人承擔，從10人中選派4

10、人承擔這三項任務(wù)，不同的選派方法有（ ）A.1260種B.2025種C.2520種D.5054種分析：先從10人中選出2人十一用轉(zhuǎn)換法解排列組合問題例10某人連續(xù)射擊8次有四次命中，其中有三次連續(xù)命中，按“中”與“不中”報告結(jié)果，不同的結(jié)果有多少種解 把問題轉(zhuǎn)化為四個相同的黑球與四個相同白球，其中只有三個黑球相鄰的排列問題=20種例11 個人參加秋游帶10瓶飲料，每人至少帶1瓶，一共有多少鐘不同的帶法解 把問題轉(zhuǎn)化為5個相同的白球不相鄰地插入已經(jīng)排好的10個相同的黑球之間的9個空隙種的排列問題=126種例12 從1，2，3，1000個自然數(shù)中任取10個不連續(xù)的自然數(shù)，有多少種不同的去法解 把穩(wěn)

11、體轉(zhuǎn)化為10個相同的黑球與990個相同白球，其其中黑球不相鄰的排列問題。例13 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種解 無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個相同的白球與四個相同的黑球的排列問題=35（種）例14 一個樓梯共18個臺階12步登完，可一步登一個臺階也可一步登兩個臺階，一共有多少種不同的走法解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個一步登一個臺階，6個一步登兩個臺階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個相同的黑球與6個相同的白球的排列問題=924（種）例15 求（a+b+c）10的展開式的項數(shù)解 展開使的項為abc,且+=10，

12、因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個相同的黑球與10個相同的白球的排列問題=66（種）例16 亞、歐乒乓球?qū)官悾麝牼?名隊員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊員比賽，負者淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解 設(shè)亞洲隊隊員為a1,a2，,a5,歐洲隊隊員為b1，b2，b5，下標表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊員為順序比賽過程轉(zhuǎn)化為這10個字母互相穿插的一個排列，最后師勝隊種步被淘汰的隊員和可能未參加參賽的隊員，所以比賽過程可表示為5個相同的白球和5個相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為=252（種）十二

13、轉(zhuǎn)化命題法例17 圓周上共有15個不同的點，過其中任意兩點連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點，則該交點對應(yīng)于一個以兩弦的四端點為頂點的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個不同的點能構(gòu)成多少個圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點最多有=1365（個）十三概率法例18 一天的課程表要排入語文、數(shù)學、物理、化學、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學之前與數(shù)學課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即A=360種十四除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7

14、這七個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個？ 解（1）（2）十五錯位排列例20 同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的卡片，則不同的分配方法有 種（9）公式 1） n=4時a4=3(a3+a2)=9種 即三個人有兩種錯排，兩個人有一種錯排2）=n!(1-+-+練習 有五位客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（44）排列與組合的區(qū)別排列與組合的

15、共同點是從n個不同的元素中，任取m（mn）個元素，而不同點是排列是按照一定的順序排成一列，組合是無論怎樣的順序并成一組，因此“有序”與“無序”是區(qū)別排列與組合的重要標志下面通過實例來體會排列與組合的區(qū)別 【例題】 判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出種數(shù) （1） 高二年級學生會有11人：每兩人互通一封信，共通了多少封信？每兩人互握了一次手，共握了多少次手？ （2） 高二數(shù)學課外活動小組共10人：從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？從中選2名參加省數(shù)學競賽，有多少種不同的選法？ （3） 有2、3、5、7、11、13、17、19八個質(zhì)數(shù)：從中任取兩個數(shù)求它們的商，可以有多少個不同的商？從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？ （4） 有8盆花：從中選出2盆分別給甲、乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？ 【思考與分析】 （1） 由于每兩人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)，是排列；由于每兩人互握一次手，甲與乙握手、乙與甲握手是同一