高考中導(dǎo)數(shù)問題的常見類型及解法

1、高考中導(dǎo)數(shù)問題的常見類型及解法莫少勇近幾年導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)教學(xué)教材，給傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容注入了生機(jī)與活力，為中學(xué)數(shù)學(xué)問題（如函數(shù)問題、不等式問題、解析幾何問題等）的研究提供了新的視角、新的方法，拓寬了高考的命題空間。近幾年的高考，在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大。以下我將結(jié)合某些高考題或高考模擬題，談?wù)劯呖贾袑?dǎo)數(shù)問題的常見類型及解法。類型1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義處理曲線的公切線問題例1 （03年全國高考文科試題）已知拋物線C: y=x+2x和拋物線C:y=-x+,當(dāng)取什么值時(shí)，C 和C有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。解 ：設(shè)公切線L切C于P

2、(x,y),切C于P(x,y), 則L的方程有兩種表達(dá)方式：;.、變?yōu)楹陀谑窍?得，由題意知，此時(shí)，重合。故當(dāng)時(shí)，和有且僅有一條公切線，且公切線方程為.評注：本題主要考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義、公切線方程的兩種表示法以及二次方程的相關(guān)知識。注意“”與“”表示同一條直線的充要條件是“且”，在曲線的公切線問題中常常以此來構(gòu)建方程。類型2利用導(dǎo)數(shù)研究三次函數(shù)、簡單分式函數(shù)的性質(zhì)例2 （2003年安徽省春季高考題）已知在與x=1時(shí)都取得極值。（1）求b、c之值；（2）若對任意，恒成立。求d的取值范圍。解 由題意知,是方程的兩根,于是 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),有極大值 又時(shí), 的最大值為 對任意恒成立即

3、 或例3 (2004年合肥市高考模擬題)研究函數(shù)的單調(diào)性. 本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系,注意分類討論的思想方法. 解: 當(dāng)時(shí),由得 +-+從上表中的符號隨取值的變化規(guī)律發(fā)現(xiàn),此時(shí)的單調(diào)區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是和. 當(dāng)時(shí), 此時(shí)的定義域?yàn)橐虼嗽趦?nèi)單調(diào)遞增. 當(dāng)時(shí),定義域?yàn)榇藭r(shí)單調(diào)區(qū)間是和沒有單調(diào)減區(qū)間.評注:用傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教材中的知識與方法往往難以研究象例2、例3這種函數(shù)問題的單調(diào)性、極值與最值,導(dǎo)數(shù)無疑為這類問題的解決提供了方法.掌握可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值與最值的求解方法是解題的關(guān)鍵.類型3已知函數(shù)的單調(diào)性,反過來確定函數(shù)式中特定字母的值或范圍.例4 (2000年全國高考試題) 設(shè)函數(shù)=其

4、中求的取值范圍,使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).解:函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),即或在上恒成立. 由,得在上的最小值是0,所以此與題設(shè)矛盾. 由,得在上連續(xù)遞增,且所有值都小于1,所以綜合可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù). 評注:可導(dǎo)函數(shù)在(a,b)上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)函數(shù)的充要條件是:對于任意都有(或),且在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零.在高中階段.主要出現(xiàn)的是有一個(gè)或多個(gè)(有限個(gè))使的點(diǎn)的情況.像例4這種逆向設(shè)置問題,是今后高考命題的一種趨向,它充分體現(xiàn)了高考”能力立意”的思想.對此,復(fù)習(xí)中應(yīng)引起高度重視.類型4利用導(dǎo)數(shù)處理含參數(shù)的恒成立的不等式問題例5 (2003年安慶市高考模擬題) 已

5、知不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解: 令 當(dāng)時(shí),由得且當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí), 是的最小值. 在上恒成立即 當(dāng)時(shí),由得 x(-x,-)(-,0)(0,)(,+x)f(x)1+-+ 從上表可知f(x)=- a +2是極大值f()是極小值且為f(x)在(-,+)上的最小值因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0, 即-2<a<1. -2<a<0. 綜合、可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-2<a<0. 評注：本題是求一元四次恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍，在短時(shí)間內(nèi)往往難以很快尋得正確的解題思路若從導(dǎo)數(shù)知識入手，解題則十分順當(dāng)，令人耳目一新，體

6、現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)較高的思維價(jià)值類型5利用導(dǎo)數(shù)處理實(shí)際生活中的優(yōu)化問題例6 (2001 年全國高考試題)用總長14.8米的鋼條做一個(gè)長方體容器的框架如果所做容器的底面的一邊長比另一邊多.米，那么高是多少時(shí)容器的容積最大，并求出它的最大容積本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題中的最值解設(shè)該容器底面矩形邊長為x米，則另一邊長為(x+0.5)米，此容器的高為h=-x-(x+0.5)=3.2-2x.于是此容器的容積為：(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x+2.2x+1.6x,其中0<x<1.6.由=-6x+4.4x+1.6=-(15x-11x-4)=0,得x=1,x=-(不合題意，舍去)因?yàn)樵?在(0,1.6)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，而實(shí)際問題又必有最大容積，因此，當(dāng)x=1(米)時(shí)，時(shí)候V(x)有最大值V(1)=1*1.5*1.2=1.8(米)，此時(shí)h=1.2(米)答：當(dāng)高為1.2米時(shí)，長方體容器的容積最大，且最大容積為1.8米.評注：這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，建立的目標(biāo)函數(shù)是三次函數(shù)，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識，求三次目標(biāo)函數(shù)的最值就變得非常簡單，對于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題，如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)，簡單的分式函數(shù)，簡單的無理函數(shù)，簡單的指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，或他們的復(fù)合函數(shù)，均可用導(dǎo)數(shù)