方程和不等式總結(jié)與例題

1、方程和不等式一、重點、難點提示：1.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a、b、c是常數(shù)，a0)。在解一元二次方程，應(yīng)按方程特點選擇方法，各方法依次為：（1）直接開平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法。一元二次方程的求根公式是：x= (b2-4ac0)。（注意符號問題）2.解分式方程的基本思想是：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，轉(zhuǎn)化的方法有兩種：（1）去分母法；（2）換元法。3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式=b2-4ac。當(dāng)>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根x1= ,x2= ；當(dāng)=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=- ；當(dāng)<0時，方程

2、沒有實數(shù)根。4.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個實數(shù)根為x1,x2,則x1+x2=- , x1x2= 。（注意兩根的和是 的相反數(shù)）。以x1,x2為根的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。5. 不等式的解法： 解一元一次不等式和解一元一次方程類似。不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以（或除以）同一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向必須改變。6.由兩個一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種情況見下表：不等式組 (a<b) 圖 示解 集口 訣xb 大大取大xa 小小取小axb 大小、小大中間找空集小小、大大找不到二、例題分析：例1.解不等式組 ，并把它的解集在數(shù)軸

3、上表示出來。說明：不等式組的解集是不等式組中各個不等式解集的公共部分，通常借助數(shù)軸來確定其解集，這樣既直觀又不易錯。注意除以負(fù)數(shù)時，改變不等號的方向。解：解不等式3(x-2)+8>2x，得x>-2 解不等式 x- , 得 x-1。所以不等式組的解集是 -2<x-1。它在數(shù)軸上表示如右圖所示。例2.解不等式組 ，并寫出不等式組的整數(shù)解。說明：求一元一次不等式組的整數(shù)解時，先求出不等式組的解集，再按要求取特殊解。解：解不等式3(x+1)>4x+2, 得x<1。解不等式 ， 得x-2。所以不等式組的解集是：-2x<1。所以不等式組的整數(shù)解是：-2，-1，0。例3.

4、已知方程(m-2) +(m+2)x+4=0是關(guān)于x的一元二次方程。求m的值，并求此方程的兩根。分析：根據(jù)一元二次方程的定義，未知數(shù)x的最高次數(shù)是2，而且二次項的系數(shù)不能為0，所以m2-2=2，且m-20。于是可求m的值,進(jìn)而求得方程的解。解：（1）依題意，得m2-2=2,且m-20。 m=±2, 且m2。 m=-2。（2）把m=-2代入原方程，整理得(x-5)2=1 x-5=±1, x1=4, x2=6。例4.已知x是實數(shù)，且 -(x2+3x)=2，那么x2+3x的值為（） A、1 B、-3或1 C、3 D、-1或3 誤解：設(shè)x2+3x=y, 則原方程可變?yōu)?-y=2, 即

5、y2+2y-3=0。y1=-3, y2=1。 x2+3x=-3或1。故選B。剖析：因為x為實數(shù)，所以要求x2+3x=-3和x2+3x=1有實數(shù)解。當(dāng)x2+3x=-3時，即是x2+3x+3=0，此時=32-4×1×3<0，方程無實數(shù)解，即 x不是實數(shù)，與題設(shè)不符，應(yīng)舍去；當(dāng)x2+3x=1時，即是x2+3x-1=0，此時=32-4×1×(-1)>0，方程有實數(shù)解，即x是實數(shù)，符合題設(shè)，故x2+3x=1。正確答案：選A。說明：此題由解分式方程衍變而來，大大增加了錯誤機會，解題時，若忽視“實數(shù)”這個題設(shè)條件，將求得的值不加檢驗直接寫出，則前功盡棄。例

6、5.解下列方程：（1） =1，（2）x2+x- +1=0。分析（1）宜用去分母法解；（2）宜用換元法，可設(shè)x2+x=y，將原方程變?yōu)閥- +1=0，先求出y，再求出x。解（1）原方程即為 + - =1 去分母，得x-2+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)。整理，得x2-3x+2=0。 x1=1, x2=2。經(jīng)檢驗x=1是原方程的根，x=2是增根， 原方程的根是x=1。（2）設(shè)x2+x=y,則原方程可變?yōu)閥- +1=0。 y2+y-6=0, y1=-3, y2=2 當(dāng)y=-3時，x2+x=-3, x2+x+3=0, 此方程無實數(shù)根，當(dāng)y=2時，x2+x=2, x2+x-2=0, x1=-2

7、, x2=1。經(jīng)檢驗,x1=-2, x2=1都是原方程的根。 原方程的根是x1=-2, x2=1。例6.若方程組 的解x與y相等，則a的值等于（）。A、4 B、10 C、11 D、12 分析：先解方程組 再將求得的解代入方程ax+(a-1)y=3中，便可求得a的值。解：解方程組 ，得 把 代入ax+(a-1)y=3,得a· +(a-1)· =3，解之，得a=11。 故選C。例7.已知關(guān)于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+(k+1)=0，且k3。 (1)求證：此方程總有實數(shù)根；(2)當(dāng)方程有兩實數(shù)根，且兩實數(shù)根的平方和等于4時，k的值等于多少？分析：本題沒有指明關(guān)于x的

8、方程的類型，要分一元一次方程和一元二次方程兩種情況討論。(1)證明 當(dāng)k=2，方程為一元一次方程-2x+3=0，顯然有實根；當(dāng)k2時，方程為一元二次方程，且=-2(k-1)2-4(k-2)(k+1)=4(3-k),k3, 3-k0。 即0，此時一元二次方程有實數(shù)根。綜合、知，原方程總有實數(shù)根。(2)設(shè)方程的兩實根為x1,x2，則x1+x2= ，x1x2= 。由題設(shè)，x12+x22=4, 即(x1+x2)2-2x1x2=4。 2-2· =4。整理，得k2-5k+4=0, k1=1, k2=4。 k3, k=1。例8.商場出售的A型冰箱每臺售價2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱

9、每臺售價雖比A型冰箱高出10%，但每日耗電費卻為0.55度?，F(xiàn)將A型冰箱打折出售（打一折后的售價為原價的 ），問商場至少打幾折，消費者購買才合算（按使用期為10年，每年365天，每度電0.40元計算）？說明：不等式應(yīng)用題，是近年來應(yīng)用題的發(fā)展新動向，去年有多處地區(qū)中考題目中有不等式的應(yīng)用題，它和方程應(yīng)用題目一樣，先認(rèn)真審題，并能利用所設(shè)的未知數(shù)表示各種關(guān)系；不同的就是關(guān)系不是相等，而要根據(jù)題目表述為相應(yīng)的不等關(guān)系。本題的關(guān)鍵在于對“合算”一詞的理解，以及如何將“合算”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)“式子”。實際上,所謂合算是指兩種冰箱十年后的總耗資小,對于本題目就是A型冰箱十年的總耗資小于B型冰箱。得到不等關(guān)系。

10、解:設(shè)商場將A型冰箱打x折出售，則消費者購買A型冰箱需耗資2190× +365×10×1×0.4(元)，購買B型冰箱需耗資2190(1+10%)+365×10×0.55×0.4(元)。依題意，得2190× +365×10×1×0.42190×(1+10%)+365×10×0.55×0.4。解不等式，得x8。因此，商場應(yīng)將A型冰箱至少打八折出售，消費者購買才合算。例9.某園林的門票每張10元，一次使用?？紤]到人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該

11、園林除保留原來的售票方法外，還推出了一種“購買個人年票”的售票方法（個人年票從購買日起，可供持票者使用一年）。年票分A、B、C、三類：A類年票每張120元，持票者進(jìn)入園林時，無需再用門票；B類年票每張60元，持票者進(jìn)入該園林時，需再購買門票，每次2元；C類年票每張40元，持票者進(jìn)入該園林時，需要購買門票，每次3元。（1）如果你只選擇一種購買門票的方式，并且你計劃在一年中用80元花在該園林的門票上，試通過計算，找出可使進(jìn)入該園林的次數(shù)最多的購票方式。（2）求一年中進(jìn)入該園林至少超過多少次時，購買A類年票比較合算。析解：本考題仍為“合算”問題，只是形式略有不同，涉及到列不等式組解實際應(yīng)用問題。（1

12、）因為80<120, 所以不可能選A類年票。若選B類年票，則 =10(次)；若選C類年票，則 =13 (次)，取整數(shù)為13次若不購買年票：則 =8(次)。所以計劃用80元花在該園林的門票上時，選擇購買C類年票的方法進(jìn)入園林的次數(shù)最多，為13次。（2）設(shè)至少超過x次時，購買A類年票比較合算，則有不等式組 解得 其公共解集為x>30。所以，一年中進(jìn)入該園林至少超過30次時，購買A類年票比較合算。例10.某工程由甲、乙兩隊合做6天完成，廠家需付甲、乙兩隊共8700元；乙、丙兩隊合作10天完成，廠家需付乙、丙兩隊共9500元；甲、丙兩隊合做5天完成全部工程的 ，廠家需付甲、丙兩隊共5500

13、元。（1）求甲、乙、丙各隊單獨完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超過15天完成全部工程，問可由哪隊單獨完成此項工程花錢最少？請說明理由。分析：本例屬工作量為1的工程問題，要注意下列三個關(guān)系式：（1）工作效率×工作時間=1；（2）工作效率= ；（3）工作時間= 。這類問題的等量關(guān)系是：部分工作量之和=1。解：（1）設(shè)甲隊單獨做x天完成，乙隊單獨做y天完成，丙隊單獨做z天完成，則 解之，得 （2）設(shè)甲隊做一天應(yīng)付給a元，乙隊做一天應(yīng)付b元，丙隊做一天應(yīng)付給c元，則有 解方程組，得 10a=8000(元),15b=9750(元) 由甲隊單獨完成此工程花錢最少。答：（1）甲隊單獨做1

14、0天完成，乙隊單獨做15天完成，丙隊單獨做30天完成；（2）由甲隊單獨完成此項工程花錢最少。測試選擇題1若一元二次方程x2+4x+k=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（ ）。   A、4  B、5  C、8  D、6 2不解方程，判斷方程2x2+3x-4=0的根的情況是（ ）。   A、有兩個相等的實數(shù)根  B、有兩個不相等的實數(shù)根   C、只有一個實數(shù)根  D、沒有實數(shù)根3下列方程中有兩個不相等的實數(shù)根的是（ ）。   A、2x2+4x+35=0 B、x2+1=2x  C、(x-1)2=-1&

15、#160; D、5x2+4x=1 4一元二次方程x2-2x+m=0的兩個實數(shù)根的條件是（ ）。   A、m<1  B、m1  C、m>1  D、m1 5若關(guān)于x的方程2x(mx-4)=x2-6沒有實數(shù)根，則m所取的最小整數(shù)是（ ）。   A、2  B、1  C、-1  D、不存在6已知方程x2+3x+m=0的兩個根的差的平方是25，則m的值（ ）。   A、4  B、-4  C、13  D、8 7以5和-3為根的一元二次方程是（ ）。   A、x2-2x

16、-15=0  B、x2+2x-15=0  C、x2+2x+15=0  D、x2-2x+15=0   8以方程x2+2x-3=0的兩個根的和與積為兩個根的一元二次方程是（ ）。   A、y2+5y-6=0  B、y2+5y+6=0  C、y2-5y+6=0  D、y2-5y-6=0  參考答案  答案：1、A 2、B 3、D 4、D 5、A 6、B 7、A 8、B解析：1.分析：已知方程有兩個相等的實數(shù)根，由一元二次方程根的判別式可得：=42-4×1×k=0， k=4。2.分析

17、：對于方程2x2+3x-4=0來說，=32-4×2×(-4)=9+32>0。 3.分析：題目要求有兩個不相等的實數(shù)根，>0。 A. 2x2+4x+35=0，=42-4×2×35<0。 B. x2+1=2x，注意：利用根的判別式判斷方程根的情況，應(yīng)先將方程化為一元二次方程的一般形式，再用判別式判斷。原方程可變形為：x2-2x+1=0，=(-2)2-4×1×1=0。C. (x-1)2=-1，完全平方式等于負(fù)數(shù)方程無解，也可以將方程化成一般形式再用判別式判斷。D.5x2+4x=1，原方程可變形為：5x2+4x-1=0，=42-4×5×(-1)>0。 4.分析：根據(jù)題意，得=(-2)2-4×1×m0， m1。5.分析：原方程可變形為：(2m-1)x2-8x+6=0根據(jù)題意，得=(-8)2-4(2m-1)×6<0，m> ， m的最小整數(shù)為2。 6.分析：本題的解題關(guān)鍵是利用根與系數(shù)關(guān)系建立關(guān)于m的方程，設(shè)方程的兩根分別為x1， x2，根據(jù)題意，得x1+x2=-3， x1·x2=m， (x1-x2)2=x12+x22-2x1x2 =x12+x22+2x1x2-2x1x2