《幾何概型》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、幾何概型教學(xué)設(shè)計(jì)文昌中學(xué)數(shù)學(xué)組 曾葉一、教材依據(jù)人民教育出版社全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)3第三章第二節(jié)幾何概型二、設(shè)計(jì)思路、教學(xué)內(nèi)容的分析“幾何概型”這一章節(jié)內(nèi)容是在安排“古典概型”之后的第二類概率模型，是對(duì)古典概型的內(nèi)容進(jìn)一步拓展，是等可能事件的概念從無限向無限的延伸。此節(jié)內(nèi)容也是新課本中增加的，這是與以往教材安排上的最大的不同之處。這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密關(guān)系，來源生活，而又高于生活。同時(shí)也暗示了它在概率論中的重要作用，在高考中的題型的轉(zhuǎn)變。本章主要學(xué)概率問題的基本概念、基本原理、基本方法，因此在教學(xué)中要求應(yīng)適當(dāng)，難度要控制，同時(shí)有接近生活，基本應(yīng)以貼近生活的例題與習(xí)題為

2、主。、教學(xué)目標(biāo)的確定根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、新課標(biāo)教學(xué)大綱對(duì)本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平，從三個(gè)不同的方面(知識(shí)與技能, 過程與方法, 情感態(tài)度與價(jià)值觀)確定了教學(xué)目標(biāo)重視幾何概型概念的形成過程和對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)；強(qiáng)調(diào)幾何概型的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)生活數(shù)學(xué)的抽象概括能力。、教學(xué)方法和教學(xué)手段的選擇“授之以魚，不如授之以漁”，注重發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)怎樣發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。結(jié)合本節(jié)課的特點(diǎn)，采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和歸納概括相結(jié)合的教學(xué)方法，通過提出問題、分析問題、解決問題等教學(xué)過程，觀察對(duì)比、概括歸納幾何概型的概念及其概率公式，再通過具體實(shí)際問題的提出和解決，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

3、調(diào)動(dòng)學(xué)生的主體能動(dòng)性，讓每一個(gè)學(xué)生充分地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中來。、教學(xué)過程的設(shè)計(jì)為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)上采取了以下的措施：  1 在探索概念階段, 讓學(xué)生經(jīng)歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認(rèn)知過程，完成對(duì)幾何概型認(rèn)識(shí),使得學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)不斷深入。2 在應(yīng)用概念階段, 通過對(duì)事實(shí)過程的分析，幫助學(xué)生掌握用幾何概率公式的計(jì)算概率3 考慮到我校的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)良好，思維活躍，具備一定的分析問題和自主探究能力。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生主體地位，教師的主導(dǎo)作用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與運(yùn)用。使學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的問題情景中，通過觀察、類比、思考、探究、概括、歸納和

4、動(dòng)手嘗試相結(jié)合，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，培養(yǎng)了學(xué)生由具體到抽象，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成了實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，增強(qiáng)了鍥而不舍的求學(xué)精神希望加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。 三、教學(xué)目標(biāo)1、 知識(shí)與技能：（1）通過本部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，理解幾何概型的意義、特點(diǎn);掌握幾何概型的概率公式：會(huì)用公式計(jì)算幾何概型。（2）會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型；（3）通過解決具體問題的實(shí)例感受理解幾何概型的概念，掌握基本事件等可能性的判斷方法，逐步學(xué)會(huì)依據(jù)具體問題的實(shí)際背景分析問題、解決問題的能力。感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數(shù)學(xué)思想與邏輯推理的數(shù)學(xué)方法。2、 過程與方

5、法：（1）發(fā)現(xiàn)法教學(xué)，通過師生共同對(duì)“問題鏈”的探究，運(yùn)用觀察、類比、思考、探究、概括、歸納的方法和動(dòng)手嘗試相結(jié)合體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成的過程，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)來解決問題，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，培養(yǎng)邏輯推理能力。（2）通過試驗(yàn)，感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動(dòng)手、動(dòng)腦的良好習(xí)慣。3、 情感態(tài)度與價(jià)值觀：本節(jié)課的主要特點(diǎn)是貼近生活，體會(huì)概率在生活中的重要作用，同時(shí)隨機(jī)試驗(yàn)多，學(xué)習(xí)時(shí)養(yǎng)成勤學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣。四、教學(xué)重點(diǎn)：（1）初步體會(huì)幾何概型的意義，幾何概型的概念和公式的應(yīng)用，注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別與聯(lián)系。（2）在幾何概型中把實(shí)驗(yàn)的基本事件組和隨機(jī)事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子

6、區(qū)域?qū)?yīng)并計(jì)算相關(guān)的概率。五、教學(xué)難點(diǎn)：在幾何概型中把實(shí)驗(yàn)的基本事件組和隨機(jī)事件與某一特定的幾何區(qū)域及其子區(qū)域?qū)?yīng)，并且從中理解如何利用幾何概型的知識(shí)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為各種幾何概率問題，進(jìn)而熟練應(yīng)用幾何概型的概率公式計(jì)算相關(guān)事件發(fā)生的概率。六、教學(xué)準(zhǔn)備實(shí)物投影儀，計(jì)算機(jī)及多媒體課件，轉(zhuǎn)盤一個(gè)。七、教學(xué)過程（整個(gè)教學(xué)過程是“以問題為載體，以學(xué)生活動(dòng)為主線”進(jìn)行的）師 生 活 動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)舊知（以舊帶新，提出新知）問題：將一枚骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)。（1）點(diǎn)數(shù)之和是質(zhì)數(shù)的概率是多少？（2）點(diǎn)數(shù)之和為幾時(shí)的概率最大？學(xué)生：點(diǎn)數(shù)之和是質(zhì)數(shù)的概率是;點(diǎn)數(shù)之和是7時(shí)的概率最大是.老師：此種概率求

7、解問題可歸結(jié)為哪種概率模型？學(xué)生：古典概型。老師：古典概型的特征是？學(xué)生：（1）試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果（基本事件）只有有限個(gè)基本事件具有有限性。（2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等基本事件發(fā)生具有等可能性。老師：生活中的一些概率問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的相應(yīng)的概率模型，可是并不是所有的概率模型的基本事件的總數(shù)都是有限個(gè)的，當(dāng)是這種情況時(shí)，就不再滿足古典概型的要求了。來看下面的例子。創(chuàng)設(shè)情境（初步探索，顯現(xiàn)新知內(nèi)涵）情境： 海濱城市連云港五一黃金周進(jìn)行有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，購物300元可進(jìn)行搖獎(jiǎng)一次，獎(jiǎng)品如下： 電冰箱一臺(tái)；可口可樂一箱；色拉油一桶500毫升；謝謝回顧；肥皂一塊；毛巾一條。老師：你希望抽到什么

8、？抽到每一種獎(jiǎng)品的概 率相同嗎? 學(xué)生：電冰箱，抽到每一種獎(jiǎng)品的概率不相同。老師：為什么？學(xué)生：各區(qū)域不一樣大。老師：這樣的話呢？學(xué)生：相同，。（每一個(gè)區(qū)域都一樣大）老師：此種概率能用古典概型的方法來計(jì)算 嗎？這種概率模型有什么特點(diǎn)？學(xué)生：這種概率模型不是古典概型，它的特點(diǎn)是：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個(gè)。 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。老師：根據(jù)上述這種概率模型的特點(diǎn).你能否給出比較理想的概率模型. （組織學(xué)生討論；然后老師給出結(jié)論，強(qiáng)調(diào)語言的準(zhǔn)確性、抽象性的概括）構(gòu)建數(shù)學(xué)（概括形成定義階段討論歸納給出定義）幾何概型：對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)

9、隨機(jī)的取一點(diǎn)，該區(qū)域中每個(gè)點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣;而一個(gè)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域（這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等）的點(diǎn)，用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型。幾何概型的特點(diǎn)： 試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個(gè)基本事件具有無限性。 每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等基本事件發(fā)生具有等可能性。古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系： 相同：兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的；不同：古典概型要求基本事件是有限個(gè)，幾何概型要求基本事件是無限多個(gè)。思考：幾何概型的概率應(yīng)該如何求解呢？公式有如何？分析：獲得某種獎(jiǎng)品的概率與所在扇形區(qū)域的圓弧的長(zhǎng)度有關(guān)（或與面積有關(guān)，因?yàn)榇藭r(shí)的面

10、積正比例于圓弧的長(zhǎng)度），而與區(qū)域的位置無關(guān)。因?yàn)檗D(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤時(shí)，指針指向圓弧上哪一點(diǎn)都是等可能的。獲得某種獎(jiǎng)品的概率與扇形區(qū)域所占比例大小有關(guān)，與圖形的大小無關(guān)。探究公式（一） ：例1：一個(gè)實(shí)驗(yàn)是這樣做的，將一條5米長(zhǎng)的繩子隨機(jī)地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，考慮事件T發(fā)生的概率。分析：（根據(jù)概率的特點(diǎn)可知此問題屬于幾何概型，我們希望先找到基本事件域，即找到其中每一個(gè)基本事件。注意到每一個(gè)基本事件都與唯一的一個(gè)斷點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，例1中的實(shí)驗(yàn)所對(duì)應(yīng)的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，若把離繩AB首尾兩端1的點(diǎn)記作M、N，則顯然事件T所對(duì)應(yīng)的基本事件所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在線段M

11、N上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個(gè)數(shù)/總的基本事件個(gè)數(shù)，但這兩個(gè)數(shù)字（T包含的基本事件個(gè)數(shù)、總的基本事件個(gè)數(shù)）都是無限個(gè)，在例1中是無法找到的，不過用線段MN的長(zhǎng)除以線段AB的長(zhǎng)的比來表示事件T的概率似乎也是合理的，所以可以用相應(yīng)區(qū)域長(zhǎng)度來刻畫總的基本事件個(gè)數(shù)和T包含的基本事件個(gè)數(shù)。）解：P（T）=3/5 （此結(jié)果用第一節(jié)的統(tǒng)計(jì)的方法來驗(yàn)證是正確的。）探究公式 （二）：例2 ：有一杯1升的水，其中含有1個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率。分析：細(xì)菌在這升水中的分布可以看作是隨機(jī)的，總的基本事件個(gè)數(shù)可以用1升水來刻畫，事件A包含的基本事件個(gè)

12、數(shù)可以用取得0.1升水來刻畫。即用區(qū)域體積刻畫基本事件解：取出0.1升中“含有這個(gè)細(xì)菌”這一事件記為A則探究公式 （三）：總結(jié)： 一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)”為事件，則事件發(fā)生的概率注：當(dāng)子區(qū)域和幾何區(qū)域是一維區(qū)域時(shí)，它們的大小用它們的長(zhǎng)度來表示；當(dāng)子區(qū)域 和幾何區(qū)域是二維區(qū)域時(shí)，它們的大小用它們的面積來表示，當(dāng)子區(qū)域和幾何區(qū)域是三維區(qū)域時(shí)，它們的大小用它們的體積來表示；定義統(tǒng)一，我們幾何區(qū)域的大小統(tǒng)稱為這個(gè)區(qū)域的“測(cè)度”，則；由于幾何區(qū)域是幾何區(qū)域的子集，于是我們有0的測(cè)度的測(cè)度，在不等式兩側(cè)同時(shí)除以的測(cè)度（一般假定其為正數(shù)），則有 ，即，這個(gè)不等式表

13、明幾何概率在和之間。注意到當(dāng)時(shí)的測(cè)度一定為（在相應(yīng)的維度中有：一個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度是，一個(gè)曲面的面積是，一個(gè)幾何體的體積為）；且當(dāng)時(shí)，的測(cè)度必須等于的測(cè)度。數(shù)學(xué)運(yùn)用（應(yīng)用強(qiáng)化階段，主動(dòng)參與合作交流，引用古典問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決問題的欲望）例1：(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設(shè)有一個(gè)投鏢靶 該靶為正方形板邊長(zhǎng)為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機(jī)會(huì)贏得一種意大利餡餅中的一個(gè)，投鏢靶中畫有三個(gè)同心圓，圓心在靶的中心，當(dāng)投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時(shí)可得到一個(gè)大餡餅；當(dāng)擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間

14、的環(huán)域時(shí)，可得到一個(gè)小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設(shè)每一個(gè)顧客都能投鏢中靶，并假設(shè)每個(gè)圓的周邊線沒有寬度，即每個(gè)投鏢不會(huì)擊中線上。試求一顧客將嬴得：（a）一張大餡餅，（b）一張中餡餅，（c）一張小餡餅，（d）沒得到餡餅的概率分析：概率的特點(diǎn)，基本事件域的尋找，公式的選擇 解：我們實(shí)驗(yàn)的樣本空間可由一個(gè)邊長(zhǎng)為18的正方形表示。右圖表明R和子區(qū)域r1、r2、r3和r,它們分別表示得大餡餅、中餡餅、小餡餅或沒得到餡餅的事件，所以有：(a)(b) (c) (d) 答：略。課堂練習(xí)：（磁帶問題）喬和摩進(jìn)行了一次關(guān)于他們前一天夜里進(jìn)行的活動(dòng)的談話。然而談話卻被監(jiān)聽錄音機(jī)記錄了下來，聯(lián)

15、邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯(cuò)了鍵，并從即刻起往后的所有內(nèi)容都被榛掉了試問如果這10秒鐘長(zhǎng)的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？解：將3O分鐘的磁帶表示為長(zhǎng)度為3O的線段R，則代表10秒鐘與犯罪活動(dòng)有關(guān)的談話的區(qū)間為 r,如右圖所示，10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時(shí)間位于該區(qū)間內(nèi)或始于該區(qū)間左邊的任何點(diǎn)。 因此事件r是始于R線段的左端點(diǎn)且長(zhǎng)度為的事件。因此有答：略。課后作業(yè)（C

16、B對(duì)講機(jī)問題）（CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫）兩個(gè)CB對(duì)講機(jī)持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運(yùn)公司工作，他們的對(duì)講機(jī)的接收范圍為25公里，在下午3:0O時(shí)莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時(shí)正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：0O時(shí)他們能夠通過對(duì)講機(jī)交談的概率有多大？解：設(shè)x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離，于是4030則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點(diǎn)對(duì)(x,y),這里x,y都在它們各自的限制范圍內(nèi),則所有這樣的有序數(shù)對(duì)構(gòu)成的集合即為基本事件組對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域,每一個(gè)幾何區(qū)域中的點(diǎn)都代表莉莉和霍伊的一個(gè)特定的位置

17、,他們可以通過對(duì)講機(jī)交談的事件僅當(dāng)他們之間的距離不超過25公里時(shí)發(fā)生（如右圖）因此構(gòu)成該事件的點(diǎn)由滿足不等式的數(shù)對(duì)組成，此不等式等價(jià)于 上圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方米公里，而事件的面積為 ，于是有 回顧小結(jié)（引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)）1.幾何概型適用于試驗(yàn)結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率類型。2.幾何概型在中學(xué)階段主要用于解決長(zhǎng)度、面積、體積有關(guān)的題目。 3.注意理解幾何概型與古典概型的聯(lián)系與區(qū)別。4.理解如何將實(shí)際概率問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求。板書設(shè)計(jì) 課題：幾何概型練習(xí)：（答案） 幾何概型定義： 例1古典概型的特征： 特

18、點(diǎn)： 兩種概型的聯(lián)系與區(qū)別： 例2 幾何概型的計(jì)算公式： 注意：小結(jié)： 作業(yè)： 作業(yè):：磁帶問題；CB對(duì)講機(jī)問題實(shí)物投影、實(shí)物演示引導(dǎo)類型問題解決的基本方法:借助圖表法枚舉培養(yǎng)學(xué)生對(duì)已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行準(zhǔn)確而抽象的概括能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用意識(shí)。放幻燈片，一面是把轉(zhuǎn)盤均勻6等分，一面是不均勻6等分 (出示實(shí)物轉(zhuǎn)盤不均勻6等分的一面)出示實(shí)物轉(zhuǎn)盤均勻6等分的一面。與所在扇形區(qū)域的圓弧的長(zhǎng)度有關(guān)，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤時(shí)，指針指向圓弧上哪一點(diǎn)都是等可能的。暗示基本事件的刻畫放映幻燈片提示學(xué)生采用類比思維進(jìn)行總結(jié)，在這里可培養(yǎng)學(xué)生的自信心學(xué)生討論自發(fā)完成分組討論,選代表回答,同時(shí)給予適當(dāng)?shù)奶崾?。從一維到二維到三維。老師和學(xué)生共同來完成，在中間運(yùn)用類比思想這樣有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何概型的本質(zhì)分析學(xué)生代表描述，老師加以補(bǔ)充，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)語言的精確性和抽象性采用計(jì)算機(jī)多媒體課件，演示不同類型實(shí)物，同時(shí)加深對(duì)定義的理解.數(shù)學(xué)語言的規(guī)范性和精確性和高度的抽象概括性。讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)美。應(yīng)用古典的生活問題激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣、和親身投入解決問題過程的欲望。同時(shí)使學(xué)生意識(shí)到生活中的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)來源于生活，而又高于