數(shù)學(xué)建模汽車剎車距離

1、題目：汽車剎車距離問題（楊彬 201100301007 卓越自111）摘要：隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，人民生活得到了改善，私家汽車成了普通家庭的生活必需品。為了避免不必要的交通事故，我們將應(yīng)用初等方法，揭示在公路上駕駛司機(jī)應(yīng)該選擇剎車的最佳時(shí)間和最佳距離?？刂栖嚲嗟挠绊懸蛩兀悍磻?yīng)時(shí)間，車速，車身重，路面狀況等。此模型將回答2S法則適不適用的問題，提供了司機(jī)在行駛中應(yīng)注意的各種事項(xiàng)，有利于交通的安全與便捷。司機(jī)在駕駛過程中遇到突發(fā)事件會(huì)緊急剎車，從司機(jī)決定剎車到汽車完全停止住汽車行駛的離稱為剎車距離，車速越快，剎車距離越長。就要對(duì)剎車距離與車速進(jìn)行分析，它們之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題重述： 美國的

2、某些司機(jī)培訓(xùn)課程中有這樣的規(guī)則:在正常駕駛條件下車速每增加10英里/小時(shí),后面與前面一輛車的距離應(yīng)增加一個(gè)車身長度。又云，實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的一種簡(jiǎn)便方法是所謂“2秒規(guī)則”，即后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何。試判斷“2秒規(guī)則”與上述規(guī)則是否一致？是否有更好的規(guī)則？并建立剎車距離的模型。 汽車在10英里/小時(shí)（約16千米/小時(shí)）的車速下2秒鐘下行駛多大距離。容易計(jì)算這個(gè)距離為：10英里/小時(shí)*5280英尺/英里*1小時(shí)/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一個(gè)車身的平均長度15英尺（=4.6米），所以“2秒準(zhǔn)則”與上述規(guī)則并不一樣。所以我們

3、還要對(duì)剎車距離與速度做更仔細(xì)的分析，通過各種分析（主要通過數(shù)據(jù)分析）以及各種假設(shè)，我們提出了更加合理的準(zhǔn)則，即“t秒準(zhǔn)則”。 在道路上行駛的汽車保持足夠安全的前后車距是非常重要的，人們?yōu)榇颂岢龈鞣N五花八門的建議，就上面的“一車長度準(zhǔn)則”，“2秒準(zhǔn)則”以及我們提出的t秒準(zhǔn)則。這些準(zhǔn)則的提出都是為了怎樣的剎車距離與車速的關(guān)系來保證行駛的安全。所以為了足夠安全要做仔細(xì)的分析。問題分析：?jiǎn)栴}要求建立剎車距離與車速之間的數(shù)量關(guān)系。制定這樣的規(guī)定是為了在后車急剎車情況下不致撞到前面的車，即要確定汽車的剎車距離。剎車距離顯然與車速有關(guān)，先看看汽車在10英里/小時(shí)（約16千米/小時(shí)）的車速下2秒鐘下行駛多大距

4、離。容易計(jì)算這個(gè)距離為：10英里/小時(shí)*5280英尺/英里*1小時(shí)/3600秒*2秒=29.33英尺（=8.94米），遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一個(gè)車身的平均長度15英尺（=4.6米），所以“2秒準(zhǔn)則”與上述規(guī)則并不一樣。為了判斷規(guī)則的合理性，需要對(duì)剎車距離做教仔細(xì)的分析。一方面，車速是剎車距離的主要影響因素，車速越快，剎車距離越長；另一方面，還有其他很多因素會(huì)影響剎車距離，包括車型.車重，剎車系統(tǒng)的機(jī)械狀況，輪胎類型和狀況，路面類型和狀況，天氣狀況，駕駛員的操作技術(shù)和身體狀況等。為了建立剎車距離與車速之間的函數(shù)關(guān)系，需要提出哪幾條合理的簡(jiǎn)化假設(shè)呢？可以假設(shè)車型，輪胎類型，路面條件都相同；假設(shè)汽車沒有超載；假設(shè)

5、剎車系統(tǒng)的機(jī)械狀況，輪胎狀況，天氣狀況以及駕駛員狀況都良好；假設(shè)汽車在平直道路上行駛，駕駛員緊急剎車，一腳把剎車踏板踩到底，汽車在剎車過程沒有轉(zhuǎn)方向。這些假設(shè)都是為了使我們可以僅僅考慮車速對(duì)剎車距離的影響。這些假設(shè)是初步的和粗糙的，在建模過程中，還可能提出新假設(shè)，或者修改原有假設(shè)。首先，我們仔細(xì)分析剎車的過程，發(fā)現(xiàn)剎車經(jīng)歷兩個(gè)階段：在第一階段，死機(jī)意識(shí)到危險(xiǎn)，做出剎車決定，并踩下剎車系統(tǒng)開始起作用，汽車在反應(yīng)時(shí)間行駛的距離稱為“反應(yīng)距離”；在第二階段，從剎車踏板被踩下，剎車系統(tǒng)開始起作用，到汽車完全停止，汽車在制動(dòng)過程“行駛”（輪胎滑動(dòng)摩擦地面）的距離稱為“制動(dòng)距離”。 在第三階段，由于汽車的

6、慣性，使汽車再往前行駛一段路程。模型假設(shè)：基于上述分析，做以下假設(shè)：剎車距離等于反應(yīng)距離和制動(dòng)距離及慣性距離d3之和。反應(yīng)距離與車速成正比，比例關(guān)系為反應(yīng)時(shí)間剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作的功等于汽車動(dòng)能的改變，且F與車質(zhì)量m成正比。（該模型來自）分析與建立模型并求解：由假設(shè)2） （1）（該公式來自）由假設(shè)3，在F作用下行駛距離做的功，使使車速從v變到0，而F=ma，則= ，按照牛二定律可知，剎車時(shí)的減速度a為常數(shù)，于是 （2）（該公式來自）（）其中k為比例系數(shù)，實(shí)際上k=a/2。由假設(shè)1，剎車距離為 （）為了將這個(gè)模型用于實(shí)際，需要知道其中的參數(shù)、k和。通常有經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和數(shù)據(jù)擬合兩種方法，這里采

7、用反應(yīng)時(shí)間的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值（按多數(shù)人平均計(jì)算）0.75秒，而利用交通部門提供的一組剎車距離的實(shí)際數(shù)據(jù)（下表）來擬合k和。車 速(英里/小時(shí))車速(英尺/秒)實(shí)際剎車距離(英尺)剎車時(shí)間(秒)2029.3 41.53044.0.1.84058.72.15073.32.56088.03.070102.7 3.680117.34.3（該表來自）表（1） 車速和實(shí)際剎車距離根據(jù)第二列和第三列數(shù)據(jù)由表（1）車速和距離數(shù)據(jù)，用軟件畫出其圖，畫出d和v的曲線圖。代碼：x=29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3;y=44 73.5 116 173 248 343 464;plot

8、(x,y)圖1 實(shí)際剎車距離和速度的關(guān)系曲線圖利用上圖和=0.75秒，可以得到模型（3）中k=0.0213 b=10.122，于是d=0.75v+0.0213v2+3.83（）模型驗(yàn)證 由所得公式代入速度值，求出計(jì)算剎車距離車 速(英里/小時(shí))車速(英尺/秒)計(jì)算剎車距離(英尺)剎車時(shí)間(秒)2029.343.981.53044.082.451.84058.7131.922.15073.3192.372.56088.0263.823.070102.7346.253.680117.3439.684.3（該表來自）表（2）車速和計(jì)算距離由表（1）和表（2）車速和距離數(shù)據(jù)，用軟件畫出其圖。代碼：x=

9、29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3;y1=44 73.5 116 173 248 343 464;y2=44.04 77.87 120.904 173.25 240.95 325.5 434.9;plot(x,y1,x,y2)結(jié)果分析：按照上述模型可以將所謂“2秒準(zhǔn)則”修改為“t秒準(zhǔn)則”，即后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)t秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，t由表3給出。車速(英里/小時(shí))010010010010t (秒)1234表3 修正后的“t秒準(zhǔn)則”模型評(píng)價(jià)： 考察誤差，發(fā)現(xiàn)當(dāng)車速不超過108.43千米/小時(shí)，實(shí)際值都微小于理論值，但是當(dāng)車速更快時(shí)，實(shí)際值就會(huì)大于理論值，而且隨