計算物理第三章

1、1。羅在計算中的應用一、一維平均值法bL y Mg( y)dy,a作變換： y = a + (b - a)x,g = L + (M - L)h1(b - a)L + (b - a)(M - L)h(a + (b - a)x)dx0f (x)2標準：1I =f (x)dx,0 f (x) 10（1）直接抽樣法：在x的定義域0, 1上均勻隨機取點，該均勻分布的隨量記為 x定義隨量為：= f ()則有：= 1nn= 1nni=1i=1I = E = lim I,hf (x )Inniin3因此，只要抽取足夠多的隨機點，即 n足夠大時，In 就是無偏估計值。I 的一個相應的方差為：1h = f (x)

2、 - I dx2V0可見，當f (x)在其定義域內(nèi)變化較大時，方差較大。（2）重要抽樣法：當f (x)在其定義域內(nèi)有顯著的起伏變化時，可采用重要抽樣法。411I = f (x) / g(x)g(x)dx =f *(x)g(x)dx00偏倚分布密度函數(shù)適當選取偏倚分布密度函數(shù)，使得f *(x)在定義域內(nèi)變化平坦。產(chǎn)生0, 1區(qū)間分布密度函數(shù)為 g(x)的隨量，定義：h =f *(x )則有：1nn1nnh = f (I = Eh = lim I I =x )*,niinni=i=115相應的方差：1Vh = f *(x) - I 2 g(x)dx01= f 2 (x) / g(x)dx - I

3、20羅計算結(jié)果的方差為：= V/ n直接抽樣重要抽樣s 2hV/ n6二、平均值法111 標準形式：I =0 f (x) 1s )f (x)dx1dx2 Ldxs ,L000x = (實際物理中，被積函數(shù)在超立方體的區(qū)域里可能強烈地變化。若在區(qū)域內(nèi)均勻抽樣，貢獻可能主要來自少數(shù)僅僅只有幾個蒙特卡羅投點的小區(qū)域，從而導致很大的統(tǒng)計誤差。故采用：重要抽樣法隨機點地投在f (x) 取值大的區(qū)間。7選取偏倚分布密度函數(shù)g(x) ，并定義r=f (rx)grx（) 要求：方差較?。?x *)f/(有：fx*(xr)gd(xr)111 I =dxLdxL12s000x 1i,( i =按照偏倚分布密度函數(shù)

4、g 0(x)在L1,s區(qū)域,抽)取N個子樣=i 1i,2 L)xis,L,2,N,則，N= 1 rx )*(If的近似值NiNi=18三、一維的擲點法1I =0 f (x) 1f x()d x,一維：0y 1,f (x)h( x,y =)定義：0 ,yf( x )11= x h(則I有：y ,)dxdy00M的有M個，則I/N在正方形內(nèi)投N個點，落在曲線f (x下)，y9證明：所以擲點法的誤差比平均值法的誤差大。102。事例產(chǎn)生器在核及粒子物理研究中，需要進行微分截面或全截面的理論 實驗結(jié)果對比。，并與? 實驗裝置復雜，相空間的?幾乎不可能? 考慮到探測器的效率，必須引入各種隨機統(tǒng)計的效應洛事

5、例產(chǎn)生器 一個隨機產(chǎn)生“非”事例的模擬程序 非11，指末態(tài)粒子的四動量是按照精確的微分截面來產(chǎn)生微分截面ds = ds (x)dxx 表示張開相空間的運動學變量dx洛理論，總截面s = ds根據(jù)的洛估計值為Ni=1dsdxs = 1x) (dxiN均勻分布的隨機矢量12 的特性n 當 N 很大時，收斂于 的期望值等于當 N 足夠大時，s 是服從正態(tài)分布的1nn 2dss 的標準誤差為nV dx (x)/ N增加 N減小 s 的標準誤差ds減小函數(shù)的方差 更為有效(x)dx13（1）分層抽樣法隨機地選取一個子空間在這個子空間內(nèi)隨機地抽取一個事例樣本，并計算該事例的權(quán)重 w 該事例參數(shù)的微分截面值

6、與該子空間內(nèi)的最大微分截面值的比值I.II.選擇事例：取0，1上均勻分布隨機數(shù)，如果 w，III.采用該事例被接受，反之，該事例被舍棄重復上面I. III. 直至獲得所需的事例數(shù)IV.14實際應用中的，2s = Tr dv空間過程矩陣元15，（2）重要抽樣法dsds找出一個與被積微分截面函數(shù)的近似表(x) ，(x)I.dxdsdx在相空間內(nèi)值結(jié)構(gòu)可積，且與的精確表有相同的峰(x)dx根據(jù)該近似表的分布，隨機抽取事例樣本重 w 該事例對應的精確截面值與對應的近II.III.對產(chǎn)生的事例似截面值的比值采用抽取非權(quán)重事例：取0，1區(qū)間上均勻分布隨機數(shù)，IV.若 w/wmax ，則接受該事例，反之，則

7、舍棄該事例重復II. IV. 過程，直至獲得所需數(shù)量的事例數(shù)V.16實際應用中的?不具有通用性?當矩陣元平方的峰值特性復雜時，難于得到精確結(jié)果疊加原理將精確微分截面 ds 分成 N 個ds i 的迭加。每個ds i 有它的峰值結(jié)構(gòu)特性。對每個 ds i 編寫按上述步驟產(chǎn)生事例的子產(chǎn)生器程序17一i= ds i權(quán)重wd ii總截面值NNi=1s= w ss =ds =ds i=wdsiiii=1s以近似微分截面分布的事例的權(quán)重因子 w 的平均值diiNi=1s =s, s =ds(i = 1,2L,N )其中iii18事例產(chǎn)生器的效率wE =wmax19w ：選擇在0，1區(qū)間上的均勻分布隨機數(shù)，

8、滿足不等式i-1 s jis js sj =1j =1的 i 值，然后按照 di 分布產(chǎn)生事例的權(quán)重因子 w 的平均值3。在粒子物理碰撞過程中的應用對撞過程：1.直線對撞機對撞機2.動力學部分：矩陣元運動學部分：相空間微擾計算羅產(chǎn)生過程： a + b 1+ 2 +L+ n相空間體積元：d 4 pnn(P - pi )i dFn (P, p1,L pn ) = (24(4)0( pi- m )22)( pi )(2p )3ii=1i=120因子化：1dF (P, p ,L, p ) =dQ2dF (Q, p ,L, p )dF(P, Q, p,L, p )n- j +1j +1n1nj1jn2j

9、Q = pii =1P p1 + p2 +L+ pn即：因子化P Q + p j +1 +L+ pn（相空間產(chǎn)生的理論基礎(chǔ)）p1 + p2 +L+ p j21反復利用因子化，有1F(=LdM 2F(nF(2n-1dP,p,L,p) dMd)2d)Ln1nn-2222(2)iqi = p jj =1其中：F2 (i) =Fd2 (qi , qi-1 , pi ),d=,2m+ (+L(M -2)2i2M2Mqm)mi +1i+ 1i1ii運動學上已知：在qi 的靜止系中，有M(l2, M22,m)12pF(q ,i-1i dj(qdcos=p)(idq ,)i-12iiii2 )8M 2i22其

10、中：l(x, y, z) = x2 + y2 + z 2 - 2xy - 2 yz - 2zx相空間產(chǎn)生步驟：（1）首先，取i = n, q = P, M=；q2iii（2） 做Lorentz變換到 qi 靜止系；（3） 產(chǎn)生0,1區(qū)間上的兩個均勻分布的隨機數(shù)xi1 ,xi 2 并取ji = 2pxi1,cosqi = xi 223（4）若 i 3 ，產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù) i3 ，取= (m1 +L+ mi-1 ) + xi3(Mi - m1 -L- mi )Mi-1（5）取 pi的球坐標為(M 2 , M 2 , m2 )r ii-1i,q ,j| p |=iii2Mi由此得到rrr+M 2

11、 , - pr)p = (q| p |+m , p ),= (222| p |i-1i-1iiiiii（6）做Lorentz逆變換，變換到原來的參考系；（7）將 i 置為i -1，重復上述步驟，至 i =1 。244。高能物理實驗中洛的應用一、實驗設(shè)計中的洛的應用研究的物理過程、本底、判選條件、探測器性能、裝置中各個探測器的設(shè)計安排（1）實驗裝置性能的研究、例如帶電粒子動量 p粒子電荷(GeV / c)BZ rp = 3 10 -2磁場強度徑跡曲率25終態(tài)粒子的物理參數(shù)（能量、動量、運動方向、粒子種類）l 利用洛的計算確定各種效應的數(shù)值產(chǎn)生粒子的動量 p 的數(shù)值和方向跟蹤該粒子穿過探測裝置的徑

12、跡每當粒子穿過探測器中的一小段薄層物質(zhì)時，根據(jù)隨機多重 散射的規(guī)律多次散射偏轉(zhuǎn)角的分布密度函數(shù) f (空間 )抽樣，對粒子的運動方向進行26q 21空間)dW exp-dWf ( 近似高斯分布空間pq 2q 200 L20GeV / cL1q0 =1+logZ10xp b9x00介質(zhì)的特征值（介質(zhì)輻射長度）速度根據(jù)以上公式可以抽樣得到該粒子穿過這一后的偏轉(zhuǎn)角空間再算出在下一個小薄層終點處的坐標參數(shù)xi，利用得到的一系列x， 算出粒子的動量估計值，同粒子入射的動量值比較，就可以得到探測裝置的動量分辨率27多次散射的角度均方根，x按方差為2 的高斯分布 N ( xi , 2) 作模糊處理提高磁場強

13、度重新安排探測器以測量的空間坐標參數(shù)如果模擬某個探測裝置的動量分辨率很大減小裝置中材料的密度在對實驗裝置進行設(shè)計的階段，需要對探測器做大量的模擬研究，以了解該裝置中各個探測器的響應，并進一步項指標的要求以及探測器的安排和設(shè)計是否合理該裝置是否滿足各28（2）實驗方案可行性研究實驗裝置能否實現(xiàn)對理論或假說的檢驗是很必要的！l 利用某實驗裝置一個振態(tài)的自旋0 粒子的衰變產(chǎn)物在靜止系中的角分布各向同性1 末態(tài)粒子在靜止系中的角分布正比于cos2spin采用100個“實驗”實現(xiàn)衰變過程，每個實驗30個事例模擬衰變過程時，按照自旋為1來模擬末態(tài)粒子的產(chǎn)生分析模擬實驗數(shù)值，如果有好幾個數(shù)值與自旋為0的數(shù)值

14、一致增加事例數(shù)裝置的角分辨率29共振態(tài)為0或1的能力。二、實驗數(shù)據(jù)分析中的洛模擬的應用在高能物理實驗中，常常用一些大型、復雜的分析實?？啃裕梢圆捎幂斎胍恍┮阎獢?shù)據(jù)格式的數(shù)據(jù)，以檢驗該程序能否總是地重建輸入數(shù)據(jù)l 粒子與固定靶相互作用試驗裝置通過產(chǎn)生次級粒子徑跡考慮到徑跡上粒子與各種物質(zhì)的多重散射估計出該實驗考慮計數(shù)器的探測效率而引起的丟失產(chǎn)生一些本底污染過程的事例徑跡將輸入的事例徑跡參數(shù)和模擬所得徑跡參數(shù)比較30 通過的實驗數(shù)據(jù)分析，還可以檢驗理論的正確與否l 膠子的與否，30GeV之一e+e- g qq ，夸克和反夸克碎裂后成為。TASSO Collaboration 的實驗數(shù)據(jù)與按此機制

15、繪制的算曲e+ e- g qqg線不相符。但是我們加上過程，得到的！算曲線則與實驗點符合的很好，證明了膠子的31在粒子物理實驗中，洛程序可以根據(jù)過程的理論規(guī)律，產(chǎn) 生出主過程和本底過程事例，由此給出末態(tài)粒子的所有徑跡參數(shù)， 由此計算出探測裝置的探測效率和本底對全截面測量的影響101TASSO CollaborationNe+e- g qq100e+e-e+e- qqg + qq10-110-20.40.81.2(GeV / c)2Tinl 尋找共振態(tài)的數(shù)據(jù)分析 尋找不變質(zhì)量譜上的明顯峰值共振態(tài)短，探測裝置的分辨率有限本底過程對主過程嚴重污染共振態(tài)衰變?yōu)槟硯讉€粒子的分支比很小主過程末態(tài)也有相同的

16、粒子利用洛模擬分析，產(chǎn)生出與實驗相同的事例數(shù)。這樣模擬100次，繪出不變質(zhì)量譜。在所有的不變質(zhì)量譜圖（真實實驗的不變質(zhì)量分布圖）中選出5張最有可能共振峰的圖。如果這5張中真實實驗的不變質(zhì)量譜，則：在95%的置信水平上，實驗數(shù)據(jù)包含了共振峰的，不變質(zhì)量譜上模糊的峰形不是由于統(tǒng)計漲落引起的！33實驗的不變質(zhì)量分布圖上往往峰的形狀并不明顯345。在量子力學中的應用一、量子力學HY( xr, t ) = ih Y( x, t ) 方程t定義： rirrrDF (x, t; x0 , t0 ) =exp-H (t - t0 ) x0xh量子力學的基本理論告訴我們，系統(tǒng)的所有信息，基態(tài)、激發(fā)態(tài)的能量、波函

17、數(shù)等均可由以很方便的得到。子給出。特別是和基態(tài)有關(guān)的信息，可35例如，基態(tài)波函數(shù)的模方可以表示為r-1 rrrrr +|y 0 (x) | = limD (x,-it ; x,0)it ; x,0)d x D (x,-23FFt+-子可以表達為路徑的形式，對于簡單系統(tǒng)，即pr 2rH=T+V=V ( + x)2m有： ix , rt )x rrD)rt = (x exStpt(D,;x()F00 h其中，1SxrL(d)t =rrtt&t d=t( x) -2mt( )V)xt作用量 2tt0036二、路徑量子羅， iN -1N(rr3 redxp x m)=ND(x, F t;x,0t)0l

18、imAj0n=1 j =1= (t - t0 ) / N常數(shù)時N+，N。 1r&rtt -2dtm (x)(V( )x)t 2t037?。簍 = -i= 0 ，有,t0(xr - xrN -1)2N1hrr3 rr d x jDF (x,-it ; x0 ,0) = lim A+ eexp-N- nn21mV (x )n0n=1 j =1e = t / NN + 時eE(xr , xr ,L,)01+ V (x(t)1&2dtmx(t) 2038由此得到基態(tài)波函數(shù)：N -1 r3 r0 (x) | = Z d x j- 12|j =1其中N -1 3rrx=d3Zdjxj =1d函數(shù)，得到：r

19、 ehN -1rrrr0 dd) =| xx |y 0(- 1dZ(-233xjx)x0j =139采用Metropolis計算基態(tài)波函數(shù)：xN = x0，N一，相應的能E量(,。x)然后，再接著選一系列路徑，每條N路徑與前一條路徑最多只有一個時刻（例如 t j）有不同的空間點。采用來確定滿足上述要求的新路徑。其中，將隨機定下的坐Metropolis標 x j 改變到 xj 的過渡概率為miwnjj-eexDpE(=1,。其中，D)E 為兩x( - 0x)條路徑的能量差。對于每一條路徑，利用前述公式計算被積函數(shù)的估計值，并累加到中。最終該求和所得的值與抽樣路徑的總數(shù)相除得到平均值，就得到 |y

20、 (xr) |2的數(shù)值結(jié)果。按上述，游走足夠0y ( xr )2的|多的步數(shù)后，我們就得到|值。040三、變分量子羅對于任意的試探函數(shù)y ，其能量期望值滿足(yx ) y|r2yx - 1(rH )r x( 3 r d)yyH |x=H= y= E0Etryr )23ry| yx(d|x基態(tài)能量“局域能量”對于Etry產(chǎn)生|，的計算，采用重要抽樣法。當給定試探函數(shù)后，由Metropolisy( xr )2分|布的 N 個位形。對于每一個位形，計算出相應的局41N i=1則：Etry/ Ni（1）選擇一個物理上相對合理的基態(tài)試探波函數(shù)y i ；（2）利用前述計算與之相應的能量期望值 E (i )

21、 ；try（3）改變試探函數(shù)中的變分參數(shù)值，使得試探函數(shù)改變一小量，記改變(i+后的試探函數(shù)為，并計算相應的能量期望值1)；Ei+1try= E (i+1) - E (i )（4）計算能量改變值 DE，若改變量小于0，則接受試i+1trytry探函數(shù)的改變，否則拒絕，并回到第三步；（5）反復循環(huán)，直至能量期望值不再有明顯變化為止。42若上述循環(huán)至第 M 次終止，則y My 0E ( M )Etry0四、函數(shù)量子羅r (x, t) = a 2r (x, t)一維擴散方程：tt 2y) /(4at)/4pat相應的函數(shù)：G (x, y;t) = exp- (x -2043函數(shù)歸一，且與 x, t

22、無關(guān)。dyG (x, y;t) = 10擴散方程過程G0 (x, y; Dt)TDt ( y x)（函數(shù)）（單步游走的概率分布）x(t + Dt) = x(t) +hDtN (0,2a ) 分布44r (x, t) = 1 )- Fx(Fokker-Planck方程：( x, t)t 2 x x力相應的函數(shù)：expF ( y)Dt / 2)2 /(2Dt)1G (x, y; Dt) =(xy02pDt（ Dt 的一階近似）構(gòu)造鏈x(t + Dt) = x(t) + DtF (x(t) / 2 +DtN (0,1)453N體定態(tài)方程的基態(tài)解擴散方程的定態(tài)解方程（取 h = m = 1）：虛時)

23、= T + V (R) - E Y(R,- Y(R, ) = H - ErrrY(R,)tTT（具有勢函數(shù)的擴散方程）括散項分支項函數(shù)：r tR exp-(H - E )t RG(R, R ; ) =T（借用Dirac記號）46上述的元，即函數(shù)正是量子力學中的時間演化算符在坐標表象下的矩陣 子。tf)nexp- H(- En當+，或者說足夠大時，上式右邊的求和中只有基態(tài)才有貢獻，這個算符（時間演化算符）行為就如同作用在基態(tài)波函數(shù)上。計算函數(shù)，得到expV-R=t(-T E)t, G ;DR )D)(R(rr1D/( t2 +t O-( R- )R) D22 exp()(2p Dt3N)/247

24、上面給出的是函數(shù)的短時間近似結(jié)果。根據(jù)此結(jié)果，我們在函數(shù)羅模擬中，就必須進行大量的短時間間隔的游走，最終使其分擴散步分支步由 R 游走到 R 的權(quán)重需ex乘p因子模擬效率不高。-) T /Dt2E，)+ V( RV( - R(Reynolds486。在統(tǒng)計力學中的應用物理量的觀測值微觀粒子的某物理量在相空間的分布的平均值相空間態(tài)矢= Z -1 A(xr) f (H (xr)dxrA(T )熱力學平衡狀態(tài)下（恒溫T）：W觀測量Hamilton量分布密度函數(shù)=f ( H ( r x )r 配d 分x函數(shù)WZ49上述公式涉及的是型等極少數(shù)類型的。只氣體、諧振子系統(tǒng)、Ising?？梢郧蠼狻４蠖鄶?shù)情況下

25、，只能借助近似方羅Nr+mF(r正則系綜H，=2p/2)xiii=1除掉動量以外的其它的相空間坐標當粒子間的相互作用與動量無關(guān)時，動能項的貢獻是可以被掉的，這相當于將Hamilton量中的動能項去掉。則，平衡態(tài)下的概率分布為Boltzmann分布。50Boltzmann分布密度函數(shù)為：=dexxpr(Frx )-Z/k(T)B可見，所有對應于大能量值的狀態(tài) x 對觀測量隨機選擇（均勻抽樣）n 個狀態(tài) xi ，則有的貢獻都很小。nA(rx ) f (F(xr)iiA (T) i=1nr(fi=1F(xi)51由于上式中大部分狀態(tài)對求和的貢獻是很小的，故抽樣的效率是比較低 下的。為有效的進行計算，應采用重要抽樣法。用Metropolis產(chǎn)生Boltzmann分布的 n個狀態(tài) xi，則nA (T) 1 A (r x)ini=1527。在粒子輸運中的應用一、直接模擬法s = (x, E, cos中子的狀態(tài)位形：中子在物質(zhì)層中的運動歷史：)s0 s1 s2 L sM?= (xi-1,Ei-1, cosqi-1 )si = (xi ,Ei , cosqi )si-10, 1區(qū)間上均（1）確定坐標參數(shù) x 。