蝴蝶定理的證明及推廣(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上摘 要蝴蝶定理想象洵美，蘊(yùn)理深刻，近兩百年來(lái)，關(guān)于蝴蝶定理的研究成果不斷，引起了許多中外數(shù)學(xué)家的興趣。到目前為止，關(guān)于蝴蝶定理的證明就有60多種，其中初等證法就有綜合證法、面積證法、三角證法、解析證法等。而基于蝴蝶定理的推廣與演變，能得到很多有趣與漂亮的結(jié)果。關(guān)鍵詞：蝴蝶定理；證明；推廣；一 摘要蝴蝶定理最先是作為一個(gè)征求證明的問(wèn)題，刊載于1815年的一份通俗雜志男士日記上。由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理內(nèi)容：圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于E，F(xiàn)，則M為EF之中點(diǎn)。關(guān)于蝴蝶定理的證明，出現(xiàn)過(guò)許多優(yōu)美奇特的

2、解法，并且知道現(xiàn)在還有很大的研究?jī)r(jià)值。其中最早的，應(yīng)首推霍納在1815年所給出的證法。至于初等數(shù)學(xué)的證法，在國(guó)外資料中，一般都認(rèn)為是由一位中學(xué)教師斯特溫首先提出的，它使用的是面積證法。1985年，在河南省數(shù)學(xué)教師創(chuàng)刊號(hào)上，杜錫錄老師以平面幾何中的名題及其妙解為題，載文向國(guó)內(nèi)介紹蝴蝶定理，從此蝴蝶定理在神州大地到處傳開(kāi)。1作者簡(jiǎn)介：陳富，祖籍江蘇泰州，現(xiàn)就讀于湖南工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)械系。2指導(dǎo)老師簡(jiǎn)介：劉東南，祖籍湖南邵陽(yáng)，現(xiàn)任湖南工業(yè)大學(xué)講師。 在20世紀(jì)20年代時(shí)，蝴蝶定理作為一道幾何題傳到我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)界，嚴(yán)濟(jì)慈教授在幾何證題法中有構(gòu)思奇巧的證明。如可將蝴蝶定理中的圓“壓縮變換”為橢圓，

3、甚至變?yōu)殡p曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、箏形、凸四邊形、兩直線(xiàn)，都依然成立。另外，如果將蝴蝶定理中的條件一般化，即M點(diǎn)不再是中點(diǎn)，能得到坎迪定理、若M、N點(diǎn)是AB的三等分點(diǎn)，兩次應(yīng)用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。二 蝴蝶定理的證明（一）運(yùn)用簡(jiǎn)單的初中高中幾何知識(shí)的巧妙證明 蝴蝶定理經(jīng)常在初中和高中的試卷中出現(xiàn)，于是涌現(xiàn)了很多利用中學(xué)簡(jiǎn)單幾何方法完成蝴蝶定理的方法。 1 帶有輔助線(xiàn)的常見(jiàn)蝴蝶定理證明 在蝴蝶定理的證明中有各種奇妙的輔助線(xiàn)，同時(shí)誕生了各種美妙的思想，蝴蝶定理在這些輔助線(xiàn)的幫助下，翩翩起舞！ 證法1 如圖2，作，則垂足分別為的中點(diǎn)，且由于 得共圓；共圓。則又，為的中點(diǎn)，從而，則 ，于是。1證法2

4、 過(guò)作關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖3所示，則 聯(lián)結(jié)交圓于，則與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即。又故四點(diǎn)共圓，即而 由、知，故。證法3 如圖4，設(shè)直線(xiàn)與交于點(diǎn)。對(duì)及截線(xiàn)，及截線(xiàn)分別應(yīng)用梅涅勞斯定理，有 ，由上述兩式相乘，并注意到 得 化簡(jiǎn)上式后得。22 不使用輔助線(xiàn)的證明方法單純的利用三角函數(shù)也可以完成蝴蝶定理的證明。證法 4 （Steven給出）如圖5，并令由，即化簡(jiǎn)得 即 ，從而 。證法 5 令，以點(diǎn)為視點(diǎn)，對(duì)和分別應(yīng)用張角定理，有上述兩式相減，得設(shè)分別為的中點(diǎn)，由，有于是 ，而，知，故。 （二） 運(yùn)用解析幾何的知識(shí)完成蝴蝶定理的證明 在數(shù)學(xué)中用函數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題也是非常重要的方法，所以解析幾何上夜出現(xiàn)了許多漂

5、亮的證明蝴蝶定理的方法，以下列出幾個(gè)例子以供參考。證法 6 （單墫教授給出）如圖6，建立直角坐標(biāo)系，則圓的方程可設(shè)為。直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為。由于圓和兩相交直線(xiàn)組成了二次曲線(xiàn)系，其方程為令，知點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足二次方程，由于的系數(shù)為，則兩根和之和為，即，故。5證法 7 如圖7建立平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程可寫(xiě)為直線(xiàn)、的方程可寫(xiě)為,。又設(shè)的坐標(biāo)為，則分別是二次方程的一根。在軸上的截距為。同理，在軸上的截距為。注意到是方程的兩根，是方程的兩根，所以，從而易得 ，即。證法 8 如圖8，以為極點(diǎn)，為極軸建立極坐標(biāo)系。因三點(diǎn)共線(xiàn)，令，則即 作于，作于。注意到 由與可得 將代入可得，即。二 蝴蝶定理的

6、推廣和猜想（一） 猜想 1在蝴蝶定理中, P、 Q分別是 ED、 CF和AB的交點(diǎn). 如果 P、 Q分別是 CE、 DF和AB延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn),我們猜想, 仍可能會(huì)有 PM = QM . 推論 1過(guò)圓的弦 AB的中點(diǎn)M引任意兩條弦 CD與 EF, 連結(jié) CE、 DF并延長(zhǎng)交 AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于 P、 Q. 求證: PM = QM.證明;設(shè)AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;記 PM E, QM F,PMC, QMD的面積分別為 S1 , S2 , S3 , S4.則由恒等式S2

7、·S3·S4·S1= 1知M P·M Esin MQ·M Fsin · FQ·FM sin ( - )CP·CM sin ··MCsin (+)·MD sin (+)· DQ·DM sin EP·EM sin ( - )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. 又由割線(xiàn)定理知PC·PE = PA·PB = (

8、 x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.3（二）猜想 2在蝴蝶定理中, 顯然 OM是 AB的垂線(xiàn) (O是圓心) , 那么, 我們可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下將圓 O的弦 AB移至圓外, 仍可能會(huì)有 PM =QM .推論 2已知直線(xiàn) AB與 O相離. OM AB, M 為垂足. 過(guò) M作 O任

9、意兩條割線(xiàn) MC, M E分別交 O于 C, D和 E, F. 連結(jié)DE,FC并延長(zhǎng)分別交 AB 于 P, Q. 求證: PM = QM.證明：過(guò) F作 FKAB, 交直線(xiàn) OM于 N,交 O于 K .連結(jié) M K交 O于 G. 連結(jié) GQ, GC. 由于 ON FK,故有 FN = KN,從而M F =M K(因?yàn)镸在 FK的垂直平分線(xiàn)上) .又由割線(xiàn)定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 從 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180° , 從而 G

10、,M, Q, C四點(diǎn)共圓. 所以 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM.（三）猜想 3既然蝴蝶定理對(duì)于雙曲線(xiàn)是成立的, 而雙曲線(xiàn)是兩條不相交的曲線(xiàn), 那么, 我們可以猜想,如果把兩條不相交的曲線(xiàn)換成兩條不相交的直線(xiàn) (也即是兩條平行線(xiàn)) , 仍可能會(huì)有 PM = QM .推論 3 設(shè)點(diǎn) A、 B分別在兩條平行線(xiàn) l 1、 l 2上,過(guò)AB的中點(diǎn)M任意作兩條直線(xiàn) CD和 EF分別交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 連結(jié) ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求證: PM

11、=QM.證明：由于 l 1 l 2 ,M 平分AB, 從而利用 MACMBD知M平分 CD, 利用 MAEMBF知 M平分 EF.在四邊形 CEDF中, 由對(duì)角線(xiàn)相互平分知 CEDF是平行四邊形,從而 DE CF. 又由于 M平分 EF,故利用 M EP M FQ知 PM = QM。4 結(jié) 論從本質(zhì)上說(shuō)，蝴蝶定理實(shí)際上是射影幾何中一個(gè)定理的特殊情況，它具有多種形式的推廣：1. M，作為圓內(nèi)弦是不必要的，可以移到圓外。2 .圓可以改為任意二次曲線(xiàn)。3. 將圓變?yōu)橐粋€(gè)完全四角形，M為對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)。4. 去掉中點(diǎn)的條件，結(jié)論變?yōu)橐粋€(gè)一般關(guān)于有向線(xiàn)段的比例式，這對(duì)2，3均成立正是由于它證法的多樣性，蝴蝶定理至今仍然被數(shù)學(xué)熱愛(ài)者研究，時(shí)有出現(xiàn)各種變形的題目，不僅僅是在競(jìng)賽中，甚至出現(xiàn)在2003年的北京高考題中。但只要思想得當(dāng)，證明出來(lái)也是比較自然的事。參考文獻(xiàn)1 沈文選.走向國(guó)際數(shù)學(xué)奧