第20講_基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用

1、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的問題是新課標(biāo)高考的命題熱點(diǎn)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與不等式的問題是新課標(biāo)高考的命題熱點(diǎn)之一，出現(xiàn)頻率較高的題型是極值、最值、范圍問題，之一，出現(xiàn)頻率較高的題型是極值、最值、范圍問題，單調(diào)性的討論與不等式的證明等綜合問題單調(diào)性的討論與不等式的證明等綜合問題從考查題型來看，往年高考中既有從考查題型來看，往年高考中既有13道小題，又有道小題，又有12道解答題如道解答題如2011年全國新課標(biāo)、年全國新課標(biāo)、2011遼寧卷、遼寧卷、2011安徽卷就命制了安徽卷就命制了2道解答題，其它省市各命制道解答題，其它省市各命制1道道解答題，且絕大多數(shù)試題處在把關(guān)題，壓軸題的位解答題，且絕大多數(shù)試題處在把關(guān)題

2、，壓軸題的位置涉及的內(nèi)容大多是函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)知識(shí)交匯，置涉及的內(nèi)容大多是函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)知識(shí)交匯，主要考查求函數(shù)的最值和值域，函數(shù)單調(diào)性的討論，主要考查求函數(shù)的最值和值域，函數(shù)單調(diào)性的討論，解不等式，求參數(shù)取值范圍及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)探討等解不等式，求參數(shù)取值范圍及函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)探討等 從考查的知識(shí)點(diǎn)來看，函數(shù)的單調(diào)性是考查重點(diǎn)之一，且從考查的知識(shí)點(diǎn)來看，函數(shù)的單調(diào)性是考查重點(diǎn)之一，且單調(diào)性和奇偶性有向抽象函數(shù)拓展的趨勢(shì)函數(shù)的圖象注單調(diào)性和奇偶性有向抽象函數(shù)拓展的趨勢(shì)函數(shù)的圖象注重考查圖象變換重考查圖象變換(平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換)及基本及基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用

3、對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，大初等函數(shù)圖象的應(yīng)用對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，大多是以函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理來解決，要求能多是以函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理來解決，要求能比較熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)數(shù)式的大小比較，方程解的比較熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)數(shù)式的大小比較，方程解的討論等由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，因此，對(duì)于三討論等由于三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，因此，對(duì)于三次函數(shù)的問題應(yīng)特別引起重視不等式重點(diǎn)考查的有四種次函數(shù)的問題應(yīng)特別引起重視不等式重點(diǎn)考查的有四種題型，即解不等式，特別是解含絕對(duì)值的不等式，證明不題型，即解不等式，特別是解含絕對(duì)值的不等式，證明不等式，不等式的應(yīng)用，不等式的綜

4、合性問題，突出不等式等式，不等式的應(yīng)用，不等式的綜合性問題，突出不等式的知識(shí)在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值不等式的知識(shí)在解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值不等式證明常與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)綜合在一起，證明過程中的構(gòu)證明常與函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)綜合在一起，證明過程中的構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，造函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、放縮法是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，其中放縮的其中放縮的“度度”的把握更能顯出解題的真功夫此外關(guān)的把握更能顯出解題的真功夫此外關(guān)于連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值定理及有高等數(shù)學(xué)背景的函于連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值定理及有高等數(shù)學(xué)背景的函數(shù)的凸性問題也值得關(guān)注數(shù)的凸性問題也值得關(guān)

5、注 第第20講講基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用 1考題展望考題展望基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，多以基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，多以小題形式出現(xiàn)，有時(shí)也在實(shí)際應(yīng)用問題或與導(dǎo)數(shù)、方小題形式出現(xiàn)，有時(shí)也在實(shí)際應(yīng)用問題或與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等知識(shí)綜合出現(xiàn)在解答題中進(jìn)行考程、不等式、數(shù)列等知識(shí)綜合出現(xiàn)在解答題中進(jìn)行考查，側(cè)重考查函數(shù)單調(diào)性及綜合應(yīng)用查，側(cè)重考查函數(shù)單調(diào)性及綜合應(yīng)用 【命題立意【命題立意】本小題主要考查分段函數(shù)與周期函數(shù)等知本小題主要考查分段函數(shù)與周期函數(shù)等知識(shí)及運(yùn)算求解能力識(shí)及運(yùn)算求解能力1函數(shù)的有關(guān)概念，函數(shù)的三要素函數(shù)的

6、有關(guān)概念，函數(shù)的三要素2函數(shù)的圖象、圖象變換及應(yīng)用函數(shù)的圖象、圖象變換及應(yīng)用三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換(1)平移變換平移變換函數(shù)函數(shù)yf(xa)(a0)的圖象可以通過把函數(shù)的圖象可以通過把函數(shù)yf(x)的圖的圖象向左象向左(a0)或向右或向右(a0)平移平移|a|個(gè)單位而得到；個(gè)單位而得到；函數(shù)函數(shù)yf(x)b(b0)的圖象可以通過把函數(shù)的圖象可以通過把函數(shù)yf(x)的圖的圖象向上象向上(b0)或向下或向下(b0)平移平移|b|個(gè)單位而得到個(gè)單位而得到(2)伸縮變換伸縮變換函數(shù)函數(shù)yAf(x)(A0，A1)的圖象可以通過把函數(shù)的圖象可以

7、通過把函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A1)或縮短或縮短(0A1)成原成原來的來的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到倍，橫坐標(biāo)不變而得到函數(shù)函數(shù)yf(x)(0，1)的圖象可以通過把函數(shù)的圖象可以通過把函數(shù)yf(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(01)成原來的，成原來的，縱坐標(biāo)不變而得到縱坐標(biāo)不變而得到 (3)對(duì)稱變換對(duì)稱變換函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象可以通過作函數(shù)的圖象可以通過作函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)的圖象關(guān)于于x軸對(duì)稱的圖形而得到軸對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象可以通過作函數(shù)的圖象可以通過作函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)的圖象關(guān)于于y軸對(duì)稱的圖形而得到

8、軸對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)函數(shù)yf(x)的圖象可以通過作函數(shù)的圖象可以通過作函數(shù)yf(x)的圖象的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形而得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)函數(shù)yf(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)的圖象可以通過作函數(shù)yf(x)在在y軸右方的軸右方的圖象及其與圖象及其與y軸對(duì)稱的圖形而得到軸對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)函數(shù)y|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)的圖象可以通過作函數(shù)yf(x)的圖象，然的圖象，然后把在后把在x軸下方的圖象以軸下方的圖象以x軸為對(duì)稱軸翻折到軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方，軸上方，其余部分保持不變而得到其余部分保持不變而得到(3)冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)對(duì)于冪函數(shù)對(duì)于冪函數(shù)yx(R)

9、，當(dāng)，當(dāng)1時(shí)，時(shí)，yx的圖象是直的圖象是直線；當(dāng)線；當(dāng)0時(shí)，時(shí)，yx01(x0)的圖象是直線的圖象是直線(不包括點(diǎn)不包括點(diǎn)(0，1)其他一般情況的圖象如下表：其他一般情況的圖象如下表： 冪函數(shù)的性質(zhì)冪函數(shù)的性質(zhì)()當(dāng)當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)時(shí)，冪函數(shù)yx有下列性質(zhì)：有下列性質(zhì)：圖象都通過點(diǎn)圖象都通過點(diǎn)(0，0)、(1，1)在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大的增大而增大 在第一象限內(nèi)，在第一象限內(nèi)，1時(shí)，圖象是向下凸的；時(shí)，圖象是向下凸的；01時(shí)，圖象是向上凸的時(shí)，圖象是向上凸的 ()當(dāng)當(dāng)0時(shí)，冪函數(shù)時(shí)，冪函數(shù)yx有下列性質(zhì)：有下列性質(zhì)：圖象都通過點(diǎn)圖象都通過點(diǎn)(1，1)；在第一象

10、限內(nèi)，函數(shù)值隨在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象是向的增大而減小，圖象是向下凸的；下凸的；在第一象限內(nèi)，圖象向上與在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無限地接近，向右與軸無限地接近，向右與x軸無限地接近；軸無限地接近；4函數(shù)的周期性的定義及常用結(jié)論函數(shù)的周期性的定義及常用結(jié)論一般地，對(duì)于函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于定義域中的任意一個(gè)，如果對(duì)于定義域中的任意一個(gè)x的值：的值：若若f(xT)f(x)(T0)，則，則f(x)是周期函數(shù)，是周期函數(shù)，T是它的一個(gè)是它的一個(gè)周期周期6對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系對(duì)稱性與周期性之間的關(guān)系周期性與對(duì)稱性是相互聯(lián)系、緊密相關(guān)的一般地，若周期性與對(duì)稱性是相

11、互聯(lián)系、緊密相關(guān)的一般地，若f(x)的圖象有兩條對(duì)稱軸的圖象有兩條對(duì)稱軸xa和和xb(ab)，則，則f(x)必為必為周期函數(shù)，且周期函數(shù)，且2|ba|是它的一個(gè)周期；若是它的一個(gè)周期；若f(x)的圖象有的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心兩個(gè)對(duì)稱中心(a，0)和和(b，0)(ab)，則，則f(x)必為周期函數(shù)，必為周期函數(shù)，且且2|ba|為它的一個(gè)周期；若為它的一個(gè)周期；若f(x)的圖象有一對(duì)稱軸的圖象有一對(duì)稱軸xa和一個(gè)對(duì)稱中心和一個(gè)對(duì)稱中心(b，0)(ab)，則，則f(x)為周期函數(shù)，且為周期函數(shù)，且4|ba|是它的一個(gè)周期是它的一個(gè)周期 B B 4，6 【點(diǎn)評(píng)【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的概念涉及的基本問題一般是定義域

12、、值函數(shù)的概念涉及的基本問題一般是定義域、值域、解析式等，命題形式有兩種，一種是以基本初等函域、解析式等，命題形式有兩種，一種是以基本初等函數(shù)為載體構(gòu)造試題，另一種是以某新定義構(gòu)建函數(shù)數(shù)為載體構(gòu)造試題，另一種是以某新定義構(gòu)建函數(shù)4b A C 【點(diǎn)評(píng)【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)的性質(zhì)指奇偶性，單調(diào)性和周期性；函函數(shù)的性質(zhì)指奇偶性，單調(diào)性和周期性；函數(shù)的奇偶性可以進(jìn)行函數(shù)在其定義域內(nèi)圖象，函數(shù)值、數(shù)的奇偶性可以進(jìn)行函數(shù)在其定義域內(nèi)圖象，函數(shù)值、解析式和單調(diào)性的轉(zhuǎn)化，函數(shù)單調(diào)性可以比較大小，解析式和單調(diào)性的轉(zhuǎn)化，函數(shù)單調(diào)性可以比較大小，求函數(shù)最值，解不等式；周期性考綱要求是了解，應(yīng)求函數(shù)最值，解不等式；周期性考綱要

13、求是了解，應(yīng)用時(shí)關(guān)鍵是利用周期性轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性用時(shí)關(guān)鍵是利用周期性轉(zhuǎn)化函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)，同時(shí)應(yīng)注意函數(shù)性質(zhì)的質(zhì)，同時(shí)應(yīng)注意函數(shù)性質(zhì)的“逆用逆用” C A (e，e1) 【點(diǎn)評(píng)【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于函數(shù)圖象問題一般有兩類，第一類是作關(guān)于函數(shù)圖象問題一般有兩類，第一類是作圖和識(shí)圖圖和識(shí)圖如本例如本例(1)(2)；本例；本例(1)其求解方法可以通過其求解方法可以通過求得解析式后作圖，也可利用基本初等函數(shù)的圖象通求得解析式后作圖，也可利用基本初等函數(shù)的圖象通過圖象變換而求解，還可以利用特殊點(diǎn)和函數(shù)圖象的過圖象變換而求解，還可以利用特殊點(diǎn)和函數(shù)圖象的增減性與對(duì)稱性，應(yīng)用淘汰法求解本例增減性與對(duì)

14、稱性，應(yīng)用淘汰法求解本例(2)的求解方的求解方法有先求解析式后判定和根據(jù)函數(shù)的定義域和值域的法有先求解析式后判定和根據(jù)函數(shù)的定義域和值域的取值范圍，并觀察函數(shù)的增減進(jìn)行分析推理；第二類取值范圍，并觀察函數(shù)的增減進(jìn)行分析推理；第二類是用圖，是用圖，如本例如本例(3)，即利用函數(shù)的圖象分析研究函，即利用函數(shù)的圖象分析研究函數(shù)的相關(guān)問題數(shù)的相關(guān)問題 【點(diǎn)評(píng)【點(diǎn)評(píng)】本例系新定義創(chuàng)新問題，題設(shè)中定義兩函數(shù)單本例系新定義創(chuàng)新問題，題設(shè)中定義兩函數(shù)單調(diào)性一致的概念，問題求解的策略是將單調(diào)性一致轉(zhuǎn)化調(diào)性一致的概念，問題求解的策略是將單調(diào)性一致轉(zhuǎn)化為恒成立問題，然后推理探究而解決問題為恒成立問題，然后推理探究而

15、解決問題 1深刻理解函數(shù)的概念的內(nèi)涵，不僅包括準(zhǔn)確理解函深刻理解函數(shù)的概念的內(nèi)涵，不僅包括準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，而且包含了函數(shù)的靈活應(yīng)用數(shù)的概念，而且包含了函數(shù)的靈活應(yīng)用2函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀反映，是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，函數(shù)圖象是函數(shù)的直觀反映，是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，因此必須熟練掌握函數(shù)圖象的作法，并能靈活運(yùn)用圖因此必須熟練掌握函數(shù)圖象的作法，并能靈活運(yùn)用圖象來分析解決問題常用的作圖方法有描點(diǎn)法和變換象來分析解決問題常用的作圖方法有描點(diǎn)法和變換法解決函數(shù)圖象問題常用的方法有：函數(shù)模型法、法解決函數(shù)圖象問題常用的方法有：函數(shù)模型法、定量分析法和定性分析法定量分析法和定性分析法 3討論函數(shù)的性質(zhì)必須堅(jiān)持定義

16、域優(yōu)先原則，對(duì)于函討論函數(shù)的性質(zhì)必須堅(jiān)持定義域優(yōu)先原則，對(duì)于函數(shù)實(shí)際問題，注意挖掘隱含實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)數(shù)實(shí)際問題，注意挖掘隱含實(shí)際中的條件，避免忽略實(shí)際意義對(duì)定義域的影響際意義對(duì)定義域的影響4對(duì)稱性與周期性結(jié)論要分清，即對(duì)稱性與周期性結(jié)論要分清，即“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱性內(nèi)反表示對(duì)稱性”；中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的結(jié)論不要混淆，；中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的結(jié)論不要混淆，“內(nèi)反外同軸對(duì)稱，內(nèi)外都反中心對(duì)稱內(nèi)反外同軸對(duì)稱，內(nèi)外都反中心對(duì)稱”5若函數(shù)圖象同時(shí)具備兩種對(duì)稱性，兩條對(duì)稱軸，或若函數(shù)圖象同時(shí)具備兩種對(duì)稱性，兩條對(duì)稱軸，或兩個(gè)對(duì)稱中心，或一條對(duì)稱軸一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)一兩個(gè)對(duì)稱中心，或一條對(duì)稱軸一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)一定是周期函數(shù)定是周期函數(shù)6運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)，應(yīng)注意：運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)，應(yīng)注意：數(shù)形結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)數(shù)形結(jié)合，揚(yáng)長(zhǎng)避短；避短；等價(jià)轉(zhuǎn)化，迅速破解；等價(jià)轉(zhuǎn)化，迅速破解；含參變量，分類討論，含參變量，分類討論，全面考慮全面考慮 B B D C D 【解析【解析】yf(x1)的圖象是由的圖象是由yf(x)向右平移向右