從一個土豆大小談起 論文數學論文

1、從一個土豆大小談起 論文數學論文                 這是一堂數學復習課。同學們根據復習內容立體圖形的體積計算，早把學具一一作了準備。有的拿來 了長方體的鐵盒，有的拿來了正方體的紙盒，有的拿來了圓柱形的鐵桶，有的拿來了圓錐形的量杯誰知老 師卻提來半桶水和一包細砂土，還帶來一架稱重量的天平，弄得同學們“丈二和尚摸不頭腦”，紛紛議論“老 師要干什么呀？”“是不是換復習內容了？”這時，老師從兜里拿出一個土豆兒，高高舉起來，說：“今

2、 天咱們復習立體圖形的體積計算，看誰能用學過的知識，計算出土豆兒的體積？”說著，神秘地看了看大家。     頓時，教室里靜了下來。誰都知道，我們雖然學過正方體、長方體和圓柱體、圓錐體的體積計算，但是土 豆兒，方不方、圓不圓，凸凸凹凹，是個不規(guī)則的形體，那怎么計算它的體積呢？大家你看看我，我看看你， 一時，誰也不知怎么辦？     正當同學們困惑不解的時候，老師拿起土豆兒，“咚”的一聲，將它放入長方體的鐵罐內，然后微笑著， 用期待的目光看著同學們。     “老師，我想出辦法了！”小昆興沖沖地走上講臺，他先

3、用尺子從里面量出長方體鐵罐的長（a）、寬（b ）和高（h,1）， 然后將土豆兒放入罐內，并用細砂把鐵罐填滿。他怕砂子表面不平，還用尺子沿罐邊將砂 面刮平。     這時，有人插話：“要是知道砂子的體積，土豆兒的體積就等于鐵罐的容積減去砂子的體積?！?    小昆看了看插話的同學，繼續(xù)有條不紊地操作。他小心翼翼地將土豆兒從罐內取出，唯恐帶出砂子，接著 再用小三角板將罐內的砂面刮平，并測出砂面的高度（h,2）， 然后對大家說：“罐內砂面的高度由h,1降 到h,2，就是因為取出土豆兒的緣故，所以，土豆兒的體積可以這樣計算?！闭f著，就在黑板上

4、板書起來。     土豆兒體積長方體鐵罐容積鐵罐內砂子體積     V,1V,2abh,1abh,2     “其實，小昆的計算方法可以改進”。還是剛才插話的那位同學，指著小昆的板書說：“abh,1abh, 2，就是ab（h,1h,2），也就是說，土豆兒的體積只要用鐵罐的底面積乘以砂面的高度差就可以了?！?    “砂子面的高度差就是從罐內取出土豆兒后，砂面下降的高度，所以，計算土豆兒的體積，只要用長方體 鐵罐的底面積乘以砂面下降的高度就可以了。你們看”大為同學不僅進一步改進

5、了計算方法，而且還在黑 板上畫出示意圖。     附圖圖     土豆兒體積長方體鐵罐的底面積×砂面下降的高度     Vabh,3     這時，教室里的氣氛熱烈起來了。     “要是鐵罐不漏水的話，用水代替砂子，照小昆的方法，也可以計算出土豆兒的體積?！?    “用小昆的方法，如果用正方體的容器，也可以計算土豆兒的體積?！保ㄒ妶D）     附圖圖   

6、;  土豆兒的體積正方體容器的底面積×砂（水）面下降的的高度     Va2h     “只要容器的容積大于土豆兒的體積，都可以用上面的方法。你們看，我用這個鐵盒也照樣可以?！倍?說著，高高地舉起他帶來的口小底大的鐵皮盒。     這時，老師一邊在黑板上畫示意圖，一邊鼓勵二剛：“可以。請你具體講一講?！?    附圖圖     “雖然這個容器的底兒是長方形，但是計算容積時，應該用它的橫截面的面積，也就是梯形的面積乘以容 器的

7、長?！闭f著，他干凈利索地操作起來放入土豆兒，填滿砂子，刮平砂面，取出土豆兒，刮平盒內砂面 ，測量容器的橫截面上底（a），下底（即砂面的寬度）（b），砂面下降的寬度（h），及容器的長（f）。然 后，板書計算方法：     土豆兒體積橫截面面積×容器的長度     V12（ab）hf     “測量橫截面的面積，也可以用中位線乘以高。”又有人插話。     “當然可以！”二剛指著容器內，取出土豆兒后，橫截面上空出部分所呈現的梯形，胸有成竹地說，“只 要測出中位線（m）和

8、高（h）就可以?！?    土豆兒體積砂面下降橫截面面積×容器的長     Vmhf     “剛才，同學們都利用計算直棱柱體積的方法，巧妙地解決了土豆兒體積的計算。大家想一想，還有別的 方法嗎？”老師指著同學們帶來的其它學具，啟發(fā)大家。     這次，小剛同學搶先發(fā)了言：“我利用圓柱形的有機玻璃桶，照樣可以計算土豆兒體積。”     “那你試試看?！崩蠋熣f。     小剛自信地走上講臺，開始操作：他把圓柱

9、形的有機玻璃桶舉到圓柱形的玻璃缸上方，用水將桶注滿，然 后把土豆兒輕輕地、慢慢地放進桶里。這時，桶內的水沿著桶的邊沿流入缸內，直到水滴停止。接著他從里面 測量了玻璃缸的底面直徑和缸內的水面高度，然后，在黑板上板書：     土豆兒體積排出的水的體積     玻璃缸的底面積×流入缸內的水面高度     Vsh     r2h     （d2）2h     “這樣測量不準確！”   

10、0; “可不，桶的側面還粘有不少水呢！”不少同學提出了意見。     老師走上講臺，親切安慰了小剛幾句，然后對大家說：“誰能做得準確一些呢？”     話音剛落，小昆再次走上講臺。他先把土豆兒放進桶內，然后小心地將桶注滿水，接著用兩把小尺子輕輕 地插入桶內，去夾土豆兒。雖然動作很小心，但是桶內的水還是溢出一點兒，不過量很少，而且他不再測量流 出的水的體積，而是舉起取出土豆兒后的桶，對大家說：“剛才滿桶的水，現在桶內水面下降了。這下降部分 的體積，就是土豆兒的體積。”小昆見同學們都在認真聽講，接著說：“所以，只要從里面量出桶底的直徑和

11、取出土豆兒后水面下降的高度，就可以算出土豆兒的體積了?！?    正當小昆拿起尺子要測量時，大為高高地舉起右手發(fā)言：“我認為小昆的測量方法還是不夠準確?！?    “那你來”     大為大大方方地走上講臺，先往圓柱形的空桶內注進半桶左右的水，并用紅粉筆在桶的外側面做上水面高 度的記號，然后對大家說：“桶內注水的多少，得估計能沒過整個土豆兒?！苯又p輕地將土豆兒放地桶里 ，眼看著桶內的水面很快上升，直到土豆兒整個浸沒在水中。這時，他拿起尺子測量桶內水面上升的高度（h） ， 桶底的底面直徑（d）。最后，大

12、為轉過身去，在黑板上畫出示意圖，并寫出計算土豆兒體積的方法。     附圖圖     土豆兒體積桶內水上升的體積     桶的底面積×水上升的高度     Vsh     r2h     （d2）2h     同學們都一致認為：大為的計算方法既簡單又準確，不過也有人說：“用大為的辦法，必須在放進土豆兒 之前，預先估計到先注入桶內的水，能完全浸沒整個土豆兒，否則就更不準確了?！贝?/p>

13、為聽了，連連點頭說“ 是”。     “下面請二林同學發(fā)言。”隨著老師的話音，二林高高地舉著圓錐形的玻璃容器，神氣地問：“你們能用 它來測量土豆兒的體積嗎？”     “那你會嗎？”同學們反問。     “請大家看”二林先在黑板上畫了兩幅示意圖，然后指著左邊的圖對大家說：“這是照小昆方法，先 將土豆兒放入容器內，用砂子把容器填滿，刮平砂面，再取出土豆兒；然后從里面測量圓錐形容器的底面直徑 （d,1）、高（h,1），測量取出土豆兒后容器內砂面的直徑（d,2）、高（h,2）。這樣，就可以利用 圓錐體積計算公式

14、，求出土豆兒的體積?！?    附圖圖     土豆兒體積圓錐形容器的容積取出土豆兒后容器內砂子體積     V13s,1h,113s,2h,2     13r2,1h,113r2,2h,2     13（d,12）2h,113（d,22）2h,2     接著，二林指著右邊的示意圖，說：“這是照大為的方法，先在容器內注入一定量的水（能整個沒過土豆 兒），從里面量出水面高度（h,1）和水面的直徑（d,1），然后再放入土豆兒，待土豆兒完全被浸沒，再 從里面量出水面上升的高度h,2）和直徑（d,2）。這樣也可以計算出土豆兒的體積?！?    附圖圖     土豆兒體積放入土豆兒后容器內