專題__參數(shù)不等式(好)

1、含參數(shù)不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的確定1 分離參數(shù)法例 1：設(shè)，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n2，若 當(dāng) 時(shí)有意義, 求a的取值范圍。 a>例 2： 已知定義在R上函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，對(duì)于任意求實(shí)數(shù)m范圍，使 恒成立。 m?。?，）例 3： 設(shè)0<a,若滿足不等式的 一切實(shí)數(shù)x，亦滿足不等式求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。b取2 主參換位法例4：若對(duì)于任意a，函數(shù)的值恒大于0，求x的取值范圍?；蚧蚶?5： 對(duì)于（0，3）上的一切實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。3 構(gòu)建函數(shù)法（1） 構(gòu)造一次函數(shù)例6： 若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。x?。?）

2、造二次函數(shù)例7： 對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。 m取4 數(shù)形結(jié)合法 例8、已知對(duì)于一切x，yR，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解a 取例9：若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解： a 取5. 觀察.試探.猜想.證明法例10： 已知對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。含參數(shù)不等式恒成立問題中參數(shù)范圍的確定確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍需靈活應(yīng)用函數(shù)與不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，并時(shí)常要在兩者間進(jìn)行合理的交匯，因此此類問題屬學(xué)習(xí)的重點(diǎn)；然而，怎樣確定其取值范圍呢？課本中卻從未論及，但它已成為近年來命題測試中的常見題型，因此此類問題又屬學(xué)習(xí)的熱點(diǎn)；在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí)

3、，需要在函數(shù)思想的指引下，靈活地進(jìn)行代數(shù)變形、綜合地運(yùn)用多科知識(shí)，方可取得較好的效益，因此此類問題的求解當(dāng)屬學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn).基于此，下文試對(duì)此類問題的求解策略與方法作一提煉總結(jié).1 分離參數(shù)法例 1：設(shè)，其中a是實(shí)數(shù)，n是任意給定的自然數(shù)且n2，若當(dāng) 時(shí)有意義, 求a的取值范圍。該題題型新穎，許多學(xué)生對(duì)函參數(shù)的不等式如何確定參數(shù)取值范圍茫然不知所措。因?yàn)檫@類問題涉及到高中數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，在代數(shù)，三角，幾何，解析幾何等的知識(shí)，而且這類問題思維要求高，解法也較靈活，故學(xué)生難以掌握。但若我們能認(rèn)真觀察分析一下這類問題的特征，其實(shí)這類題目的規(guī)律性是較強(qiáng)的。下面就結(jié)合例子給出解決此類問題的幾種方法：例

4、如上面的這道高考題，我們根據(jù)其特征可以用分離參數(shù)法來解決。所謂分離參數(shù)法也就是將參數(shù)與未知量分離于表達(dá)式的兩邊，然后根據(jù)未知量的取值范圍情況決定參數(shù)的范圍。這種方法可避免分類討論的麻煩，使問題得到簡單明快的解決。我們來分析一下這道題的特征：因?yàn)榉帜竛是正數(shù)，要使得當(dāng)有意義，分子就必須也是正數(shù)。并容易看出，可以將a分離出來。分析： 當(dāng)時(shí)，有意義，故有令，只要對(duì)在上的最大值，此不等式成立即可。故我們可以利用函數(shù)的最值分離出參數(shù)a。解： 由時(shí)，有意義得：，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知上式右邊的函數(shù)的最大值是故 a>一般地，利用最值分離參數(shù)法來確定不等式 , （ 為實(shí)參數(shù)）恒成立中參數(shù)取值范圍的基本步驟:

5、（1） 將參數(shù)與變量分離，即化為的形式；（2） 求在D時(shí)的最大（或最?。┲?；（3） 解不等式 得的取值范圍。思想方法： 把不等式中恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。適用題型：（1） 參數(shù)與變量能分離；（2） 函數(shù)的最值易求出。利用這種方法可以順利解決許多含參數(shù)不等式中的取值問題，還可以用來證明一些不等式。例 2： 已知定義在R上函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，對(duì)于任意求實(shí)數(shù)m范圍，使 恒成立。解： f(x)在R上為奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)， f(x)在上為增函數(shù) 又 即 2， 2 m> 令2 m>4 即4m<在上恒成立即求在上的最小值 2等號(hào)成立條件t=,即成立 4m<

6、;即m>4 m的取值范圍為（4，）例 3： 設(shè)0<a,若滿足不等式的 一切實(shí)數(shù)x，亦滿足不等式求正實(shí)數(shù)b的取值范圍。簡析略解：此例看不出明顯的恒成立問題，我們可以設(shè)法轉(zhuǎn)化: 設(shè)集合A， B= 由題設(shè)知AB，則： () 于是得不等式組： 又 ，最小值為； 最小值為； , 即 ：b的取值范圍是2 主參換位法某些含參不等式恒成立問題，在分離參數(shù)會(huì)遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數(shù)與變量，但函數(shù)的最值卻難以求出時(shí)，可考慮變換思維角度。即把變?cè)c參數(shù)換個(gè)位置，再結(jié)合其它知識(shí)，往往會(huì)取得出奇制勝的效果。例4：若對(duì)于任意a，函數(shù)的值恒大于0，求x的取值范圍。分析：此題若把它看成x的二次函數(shù)，

7、由于a, x都要變，則函數(shù)的最小值很難求出，思路受阻。若視a為主元，則給解題帶來轉(zhuǎn)機(jī)。解： 設(shè) ，把它看成關(guān)于a的直線，由題意知，直線恒在橫軸下方。 所以 解得： 或或例 5： 對(duì)于（0，3）上的一切實(shí)數(shù)x,不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析： 一般的思路是求x的表達(dá)式，利用條件求m的取值范圍。但求x的表達(dá)式時(shí)，兩邊必須除以有關(guān)m的式子，涉及對(duì)m討論，顯得麻煩。解： 若設(shè)，把它看成是關(guān)于x的直線，由題意知直線恒在x的軸的下方。所以 解得： 3 構(gòu)建函數(shù)法當(dāng)參數(shù)難以分離而不等式是有關(guān)某個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí)，可以通過構(gòu)建函數(shù)來解決。我們知道，函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的概念，其思想和方

8、法已滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。在某些數(shù)學(xué)問題中，通過數(shù)式類比，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，然后利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)結(jié)論解題，往往收到意想不到的效果。這里，我們主要介紹如何通過構(gòu)造一次函數(shù)，二次函數(shù)模型，并利用它們的性質(zhì)來確定參數(shù)的取值范圍。（1） 構(gòu)造一次函數(shù)例6： 若對(duì)一切，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解： 原不等式變形為，現(xiàn)在考慮p的一次函數(shù)： 在上恒成立 解得： 或 x的取值范圍為注： 本題對(duì)于一切不等式恒成立，因此應(yīng)視p為主元，視x為參數(shù)，把不等式左邊變成關(guān)于p的一次函數(shù)型。（2） 造二次函數(shù)例7： 對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍。解： 原不等式變形為： 即 令 ， 令 題意為>0在上恒成

9、立。 或4×1×()<0或 >0解得 ： 或或 ，即 m的取值范圍為：4 數(shù)形結(jié)合法 某些含參不等式恒成立問題，既不能分離參數(shù)求解，又不能轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的一次或二次函數(shù)時(shí)，則可采用數(shù)形結(jié)合法。因?yàn)楸嬲ㄎ镏髁x認(rèn)為：萬物皆有形。所以從宏觀上講，抽象的數(shù)學(xué)問題必存在著形象的直觀模型，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)問題本身就是客觀世界事物的抽象。我們?cè)诮忸}時(shí)，可以有意識(shí)地去認(rèn)識(shí)，挖掘和創(chuàng)造抽象的直觀形象，變抽象為直觀，充分運(yùn)用直感，由數(shù)思形，以形輔數(shù)。數(shù)形結(jié)合往往能迅速而簡捷地找到解題途徑。對(duì)于解含參不等式恒成立問題，我們可以先把不等式（或經(jīng)過變形后的不等式）兩端的式子分別看成兩個(gè)函數(shù)

10、，且畫出兩函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，從而列出關(guān)于含參數(shù)的不等式。例8、已知對(duì)于一切x，yR，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：要使原不等式恒成立，又xOy=，考慮到點(diǎn)M（x,），N（y,-）則點(diǎn)M在曲線C1：xy=9上，點(diǎn)N在曲線C2：x2+y2=2(y0)上。顯然|MN|min=，此時(shí)a.故滿足條件的a 的取值范圍為評(píng)析：對(duì)一些不等式兩邊的式子，函數(shù)模型較明顯、函數(shù)圖象較容易作出的，可以考慮作出函數(shù)圖象，用函數(shù)圖像的直觀性解決不等式或方程的恒成立的問題，也非常容易得到意想不到的效果。例9：若不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解： 由題意知 ： 在內(nèi)恒成

11、立。在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出 和 的圖象因?yàn)闀r(shí)，的圖象位于函數(shù)的圖象上方， 當(dāng) a> 1時(shí)，顯見不成立。故 0<a<1 由圖可知：的圖象必須過點(diǎn) 或在這個(gè)點(diǎn)的上方，則： 由 ， 知 ： a 的取值范圍為5. 觀察.試探.猜想.證明法當(dāng)前面的方法都難以解決問題時(shí)，我們可以考慮從特殊到一般的思想，先考慮一些變量的特殊值，找出相應(yīng)的滿足題設(shè)的參數(shù)的取值，然后猜想出參數(shù)的取值范圍，并將問題轉(zhuǎn)化為：在已知參數(shù)取值范圍的情況下，證明所給問題恒成立。例10： 已知對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析： 取，則由解得： a>又取0，時(shí)均得： 由此猜想： 由于當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切 ， 恒成立故 為所求。數(shù)學(xué)的深?yuàn)W復(fù)雜性在于數(shù)學(xué)問題的千變?nèi)f化，參數(shù)問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強(qiáng)。這就