2022年2022年高考數(shù)學(xué)二面角專(zhuān)題訓(xùn)練

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載高考數(shù)學(xué)二面角專(zhuān)題訓(xùn)練1. （ 06 安徽卷）如圖,P 是邊長(zhǎng)為1 的正六邊形ABCDEF所在平面外一點(diǎn),面 ABC內(nèi)的射影為BF 的中點(diǎn) O.（）證明PA BF .（）求面APB 與面 DPB 所成二面角的大小.PA1, P 在平可編輯資料 - - - 歡迎下載解：（）在正六邊形ABCDEF中,VABF 為等腰三角形,可編輯資料 - - - 歡迎下載 P 在平面 ABC內(nèi)的射影為O, PO平面 ABF, AO為 PA在平面 ABF內(nèi)的射影.O為BF 中點(diǎn), AO BF, PA BF.（） PO平面 ABF,平面 PBF平面 ABC.而 O為

2、 BF 中點(diǎn), ABCDEF是正六邊形,A，O，D 共線, 且直線 AD BF,就 AD平面 PBF.又正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為1, AO1 ,233DO, BO.22過(guò) O在平面 POB內(nèi)作 OH PB于 H,連 AH，DH,就 AH PB, DHPB,所以AHD 為所求二面角平面角.可編輯資料 - - - 歡迎下載在 VAHO 中, OH=21 ,7tanAOAHOOH3127=.212217可編輯資料 - - - 歡迎下載在 VDHO中, tanDHODO OH212.2127721可編輯資料 - - - 歡迎下載而 tanAHDtanAHODHO 2212428可編輯資料 - -

3、- 歡迎下編輯資料 - - - 歡迎下載（）以 O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,P0,0 ,1 ,A0 ,123,0 ,B2,0,0 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載uuur1uuur 3uuur可編輯資料 - - - 歡迎下載D0,2 , 0 , PA0,1, PB2,0,1 , PD 20, 2,11 y10可編輯資料 - - - 歡迎下載1ururuuururuuur 2可編輯資料 - - - 歡迎下載設(shè)平面 PAB的法向量為n1 x1 , y1,1 ,就 n1PA , n1PB ,得,x1310可編輯資料 - - - 歡迎下載n1ur 23 ,2,1 .3

4、uuruuruuuruuruuur22 y210可編輯資料 - - - 歡迎下載uur n2設(shè)平面 PDB的法向量為n2 23 , 1 ,1 .32 x2 , y2 ,1,就 n2PD , n2PB ,得3 x102,2可編輯資料 - - - 歡迎下載uruururuur優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載n1n2可編輯資料 - - - 歡迎下載cosn1 , n2uruur可編輯資料 - - - 歡迎下載| n1 | | n2 |2. （ 06 北京卷）如圖,在底面為平行四邊表的四棱錐PABCD 中, ABAC , PA平面 ABCD ,且 PAAB ,點(diǎn) E 是 PD 的中

5、點(diǎn) .（）求證：ACPB .可編輯資料 - - - 歡迎下載（）求證：PB / 平面 AEC .可編輯資料 - - - 歡迎下載（）求二面角EACB 的大小 .解法一：（） Q PA平面 ABCD,AB是 PB在平面 ABCD上得射影, 又 Q ABAC, AC平面 ABCD,ACPB.（）連接BD,與 AC相交與 O,連接 EO,Q ABCD是平行四邊形O是 BD的中點(diǎn)又 E 是 PD的中點(diǎn),EOPPB.又 PB平面 AEC, EO平面 AEC, PBP平面 AEC,可編輯資料 - - - 歡迎下載（）取BC中點(diǎn) G,連接 OG,就點(diǎn) G的坐標(biāo)為a , b ,022uuur, OC0, b

6、,02可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載uuurbbuuur可編輯資料 - - - 歡迎下載又 OE（ 0,） ,AC22uuur uuuruuur uuur a,0,0,可編輯資料 - - - 歡迎下載OEgAC0, OG gAC0,OEAC ,OGAC ,EOG 是二面角 EACB 的平面角.uuur uuur可編輯資料 - - - 歡迎下載Q cos EOGcosuuuruuur OE ,OGOE gOG2uuuruuur,可編輯資料 - - - 歡迎下載OG gOG2可編輯資料 - - - 歡迎下載EOG1350.可編輯資料 - - - 歡迎下載二面角 E

7、ACB 的大小為1350.可編輯資料 - - - 歡迎下載3. （ 06 廣東） 如圖 5 所示, AF ， DE 分別世e O ， e O1可編輯資料 - - - 歡迎下載的直徑, AD 與兩圓所在的平面均垂直,AD8 . BC 是O1e O 的DE可編輯資料 - - - 歡迎下載直徑,ABAC6 , OE /AD .可編輯資料 - - - 歡迎下載(I) 求二面角 BADF 的大小.(II) 求直線 BD 與 EF 所成的角 .CAFOB圖 5可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載解： AD與兩圓所在的平面均垂直,0 AD AB,AD AF, 故 BAD是二面角B AD F

8、的平面角,依題意可知,ABCD是正方形,所以BAD 45 .0即二面角B AD F 的大小為45 . 以 O為原點(diǎn), BC，AF，OE所在直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系（如以下圖）,就 O可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 0,0,0）, A（ 0,32 ,0）,B（ 32 , 0,0） ,D（ 0,32 , 8）,E（0, 0,8）,F（0,可編輯資料 - - - 歡迎下載32 , 0）可編輯資料 - - - 歡迎下載所以, BD32, 32 ,8, FE0,32,8可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載cosBD , EFBD . FE0186482可編輯資料

9、- - - 歡迎下載| BD | FE |1008210可編輯資料 - - - 歡迎下載設(shè)異面直線BD與EF所成角為,就可編輯資料 - - - 歡迎下載cos| cosBD , EF|82 10可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載直線 BD與 EF 所成的角為arccos8210可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載4. （ 06 湖北卷）如圖,已知正三棱柱ABCA1 B1C1 的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)為1, M 是底面可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載BC 邊上的中點(diǎn),N 是側(cè)棱CC1 上的點(diǎn),且CN 2C1N .

10、可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（）求二面角B1AMN 的平面角的余弦值.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（）求點(diǎn)B1 到平面 AMN 的距離.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載解法 1：（ ）由于 M是底面 BC邊上的中點(diǎn), 所以 AMBC,又 AMCC1 , 所以 AM面 BCC1B1 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載從 而AMB1 M,AMNM, 所 以B1 MN 為 二 面 角 ,B1 AM N 的 平 面 角 . 又可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料

11、 - - - 歡迎下載1B1 M=B B2BM 211542, MN=MC 2CN 2145 ,496可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載連 B N,得B NB C 2C N 21110 ,在B MN可編輯資料 - - - 歡迎下載11111193中,由余弦定理得可編輯資料 - - - 歡迎下載B M 2MN 2BN 2525105可編輯資料 - - - 歡迎下載11cosB1MN4369.故所求可編輯資料 - - - 歡迎下載2gB 1M gMN255526可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載二面角5B1 AM N的

12、平面角的余弦值為.5可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（）過(guò)B1 在面BCC1B1 內(nèi)作直線B1HMN , H 為垂足.又AM平面BCC1 B1 ,所可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載以 AMB1 H.于是B1 H平面 AMN,故B1H 即為B1 到平面 AMN的距離.在R1B1 HM 中,B1 H可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 B1 Msin B1MH5111 .故點(diǎn)25B1 到平面 AMN的距離為1.1可編輯資料 - - - 歡迎下載解法 2：（）建立如以下圖的空間直角坐標(biāo)系,就C0,1,0, N

13、 0,1,2 , A 3 , 1 ,0 ,所以,B1（ 0, 0, 1）, M（ 0,2, 0）,可編輯資料 - - - 歡迎下載uuuur AM3223,0,0,2可編輯資料 - - - 歡迎下載uuuur MB10,1 ,1 ,2uuuur MN0, 1 , 2 .23可編輯資料 - - - 歡迎下載由于uuuur uuuur MB1 gAMuuuuruuuur3001 010所以22uuuuruuuur可編輯資料 - - - 歡迎下載MB1AM , 同法可得 MNAM .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載uuuuruuuur故 MB1, MN為二面角B1 A

14、M N的平面角可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載uuuuruuuuruuuuruuuur5可編輯資料 - - - 歡迎下載 cos MB, MN MB1MN125 .可編輯資料 - - - 歡迎下載1uuuuruuuur555可編輯資料 - - - 歡迎下載MB1MN26可編輯資料 - - - 歡迎下載故所求二面角B AM N 的平面角的余弦值為5 .可編輯資料 - - - 歡迎下載15可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載uuuuruuuur可編輯資料 - - - 歡迎下載（）設(shè)n=x,y,z為平面 AMN的一個(gè)法向量,就由nAM , nMN 得可

15、編輯資料 - - - 歡迎下載3 x0x0可編輯資料 - - - 歡迎下載24故可取 n0,3 ,1可編輯資料 - - - 歡迎下載1 y2 z0y3 z423可編輯資料 - - - 歡迎下載uuuur設(shè)與 n 的夾角為 a,就uuuur MB1n5325可編輯資料 - - - 歡迎下載MB1cos auuuur.可編輯資料 - - - 歡迎下載MB1n55323可編輯資料 - - - 歡迎下載所以 B1到平面 AMN的距離為uuuur MB1cos a5251 .25可編輯資料 - - - 歡迎下載5. （ 06 江蘇卷）在正三角形ABC中, E，F(xiàn)，P 分別是 AB，AC，BC邊上的點(diǎn),中

16、意AE:EB可編輯資料 - - - 歡迎下載 CF:FA CP:PB 1:2 （如圖 1）.將 AEF沿 EF 折起到A1 EF的位置,使二面角A1 EF B 成可編輯資料 - - - 歡迎下載直二面角,連結(jié)A1B，A1P（如圖 2）（）求證：A1E平面 BEP.（）求直線A1E 與平面 A1BP所成角的大小.（）求二面角BA1P F 的大小（用反三角函數(shù)表示）AA1EEFF可編輯資料 - - - 歡迎下載BPC圖 1BPC圖 2可編輯資料 - - - 歡迎下載 考點(diǎn)分析 ：此題主要考查線面垂直，直線和平面所成的角，二面角等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn),以及空間線面位置關(guān)系的證明，角和距離的運(yùn)算等,考查空間想象才

17、能，規(guī)律推理才能和運(yùn)算才能 解 不妨設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為3,就（ I ）在圖 1 中,取 BE 的中點(diǎn) D,連結(jié) DF,o AE EB=CF FA=1 2, AF=AD=2,而 A=60 , ADF為正三角形.又 AE=DE=1, EFAD.在圖 2 中, A1E EF,BE EF, A1EB為二面角A1 EF B 的一個(gè)平面角,由題設(shè)條件知此二面角為直二面角,A1E BE.又 BEEF=E, A1E面 BEF,即 A1E面 BEP.（ II ）在圖 2 中, A1E 不垂直于A1B, A1E 是面 A1BP的斜線, 又 A1E面 BEP, A1E BP,可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)

18、資料歡迎下載 BP垂直于 A1E 在面 A1BP內(nèi)的射影（三垂線定理的逆定理） 設(shè) A1E 在面 A1BP 內(nèi)的射影為 A1Q,且 A1Q交 BP于 Q,就 EA1Q就是 A1E 與面 A1BP所成的角,且 BP A1Q.oo在 EBP中, BE=BP=2, EBP=60, EBP為正三角形,BE=EP.又 A1E面 BEP, A1B=A1P, Q為 BP的中點(diǎn),且EQ= 3 ,而 A1E=1,可編輯資料 - - - 歡迎下載在 Rt A1EQ中,tanA1 EQEQ A1 E3 ,即直線A1 E與面 A1BP所成角為60 .可編輯資料 - - - 歡迎下載（ III）在圖 3 中,過(guò) F 作

19、 FM于 M,連結(jié) QM，QF.o CF=CP=1, C=60, FCP為正三角形,故PF=1,1又 PQ=BP=1, PF=PQ2 A1E面 BEP, EQ=EF= 3 , A1F=A1Q, A1FP A1QP,故 A1PF= A1PQ由及MP 為公共邊知FMP QMP,故 QMP= FMP=90o,且MF=M,Q FMQ為二面角B A1P F 的一個(gè)平面角.在 Rt A1QP中, A1Q=A1F=2, PQ=1, A1P=5 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載MQ= MQ A1P,A1 QPQ2525,MF=.可編輯資料 - - - 歡迎下載A1 P55o在 FCQ中, FC=1,QC=2

20、, C=60 ,由余弦定理得QF=3 ,MF 2MQ 2QF 27可編輯資料 - - - 歡迎下載在 FMQ中, cosFMQ,可編輯資料 - - - 歡迎下載2MFMQ87可編輯資料 - - - 歡迎下載二面角B A1P F 的的大小為arccos.8可編輯資料 - - - 歡迎下載 注 此題仍可以用向量法來(lái)解.（略）6. （ 06 江西卷）如圖,在三棱錐A BCD中,側(cè)面ABD，ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜邊,且 AD3 , BD CD 1,另一個(gè)側(cè)面是正三角形(1) 求證： AD BC(2) 求二面角B AC D 的大小(3) 在直線 AC上是否存在一點(diǎn)E,使 ED與面 BC

21、D可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載成 30 角？如存在,確定E 的位置.如不存在,說(shuō)明理由.20，解法一：(1) 方法一：作AH 面 BCD于 H,連 DH.AAB BDHB BD,又 AD3 ,BD 1NAB2 BC ACBD DCED又BD CD, 就BHCD 是 正 方 形 , 就BMDH BCAD BCOC方法二：取BC的中點(diǎn) O,連 AO，DOF H就有 AO BC, DO BC,BC 面 AODBC AD(2) 作 BM AC于 M,作 MN AC交 AD于 N,就BMN就是二面角BAC D 的平面角,由于AB可編輯資料 - - - 歡迎下載 ACBC2M是 A

22、C 的中點(diǎn),且MNCD,就 BM6, MN 1CD 1,BN 1 AD3 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載由余弦定理可求得cosBMN6322222可編輯資料 - - - 歡迎下載6BMN arccos3(3) 設(shè) E 是所求的點(diǎn),作EF CH于 F,連 FD.就 EF AH,EF 面 BCD,EDF就是 ED與面可編輯資料 - - - 歡迎下載BCD所成的角, 就EDF 30 .設(shè) EF x ,易得 AH HC 1,就 CFx ,FD1 x2,tanEDF可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 EF FDx 1 x 23 解得 x232,就 CE2 x 1可編輯資

23、料 - - - 歡迎下載故線段 AC上存在 E 點(diǎn),且 CE 1 時(shí), ED與面 BCD成 30 角.解法二：此題也可用空間向量求解,解答略7. （ 06 江西文）如圖,在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1,中, AD=AA1=1, AB=2,點(diǎn) E 在棱 AB上移動(dòng).（ 1）證明： D1E A1D;（ 2）當(dāng) E 為 AB 的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E 到面 ACD1 的距離.（ 3） AE 等于何值時(shí),二面角D1 EC D的大小為.4解法（一）（ 1）證明： AE平面 AA1DD1 ,A1D AD1, D1E A1D（ 2）設(shè)點(diǎn) E 到面 ACD1 的距離為h,在 ACD1 中, AC=CD1=5 ,

24、AD1=2 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載故 S AD1C3 , 而S21.ACE2可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載11131可編輯資料 - - - 歡迎下載VDAECS AECDD1S AD Ch,1h,h.可編輯資料 - - - 歡迎下載1331223可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 3）過(guò) D作 DH CE于 H,連 D1H，DE,就 D1H CE, DHD1 為二面角D1EC D 的平面角 .設(shè) AE=x,就 BE=2 x可編輯資料 - - - 歡迎下載在RtD1 DH 中,QDHD1,DH1.4可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載

25、Q 在RtADE中, DE1x2 ,在RtDHE 中, EHx,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載在RtDHC中CH3, 在RtCBE中 CEx24x5.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載x3x24x5x23.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載AE23時(shí) ,二面角 D1ECD的大小為.4可編輯資料 - - - 歡迎下載解法（二） ：以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線DA, DC, DD1 分別為 x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè) AE=x,就 A1（ 1, 0, 1）, D1（ 0, 0, 1）, E（1, x

26、, 0）, A（ 1,0, 0） C（ 0, 2, 0）可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 1） 由于DA1, D1E1,0,1, 1, x,10,所以DA1D1 E.即 DA1 D1E.可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 2）由于 E 為 AB 的中點(diǎn),就E1,1,0, 從而 D1 E1,1,1, AC 1,2,0 .可編輯資料 - - - 歡迎下載uuuurrruuurnAC0a2b0可編輯資料 - - - 歡迎下載AD11,0,1.設(shè)平面 ACD1的法向量為 na,b, c, 就ruuuur也即nAD10,ac0可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料

27、- - - 歡迎下載a2b得,從而n ac2,1,2 ,所以點(diǎn) E 到平面 AD1C 的距離為可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載h| D1 En | n |2121 .33可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 3）設(shè)平面D1EC的法向量 na, b, c , CE1, x2,0, D1C0,2,1, DD 10,0,1,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載nD1C0,由n CE0,2bc0abx2令 b=1, c=2, a=2 x,0.可編輯資料 - - - 歡迎下載 n2x,1,2.可編輯資料 - - -

28、 歡迎下載依題意cos| n DD 1 |222 .可編輯資料 - - - 歡迎下載4| n | DD1 |2x2252可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 x123 （不合,舍去） , x223.可編輯資料 - - - 歡迎下載 AE=23 時(shí),二面角D1 EC D的大小為.4可編輯資料 - - - 歡迎下載8（ 06 全國(guó) II卷）如圖,在直三棱柱ABCA1 B1C1 中,ABBC, D ， E 分別為BB1 ，可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載AC1 的中點(diǎn).可編輯資料 - - - 歡迎下載（ I ）證明： ED為異面直線BB1 與AC1 的

29、公垂線.C 1B 1可編輯資料 - - - 歡迎下載（ II ）設(shè)AA1AC2AB, 求二面角A1A1ADC1 的大小.DE可編輯資料 - - - 歡迎下載CB可編輯資料 - - - 歡迎下載解法一：（）設(shè)O為 AC中點(diǎn),連接EO, BO,就 EO 1A1 ,又 C1C B1 B,所以 EO DB, EOBD為平可編輯資料 - - - 歡迎下載行四邊形, EDOB2 分 AB BC, BO AC,C C2C1B1A1可編輯資料 - - - 歡迎下載又平面 ABC平面 ACC1A1, BO 面 ABC,故 BO平面 ACC1A1,D ED平面 ACC1A1, BD AC1, EDCC1,EF E

30、D BB1,ED為異面直線AC1 與 BB1 的公垂線6 分CB（）連接A1E,由 AA1 AC2AB可知, A1ACC1 為正方形,O A1E AC1,又由 ED平面 ACC1A1 和 ED 平面 ADC1 知平面AADC1平面 A1ACC1, A1E平面 ADC1作 EF AD,垂足為 F,連接 A1F,就 A1F AD, A1FE為二面角A1 ADC1 的平面角可編輯資料 - - - 歡迎下載不妨設(shè) AA1 2,就 AC 2, AB2EDOB 1, EFAE ED2,AD3可編輯資料 - - - 歡迎下載tan A1FE3, A1FE 60所以二面角A1 ADC1 為 6012 分解法二

31、：（）如圖,建立直角坐標(biāo)系O xyz ,其中原點(diǎn)O為 AC的中點(diǎn)設(shè) A a, 0, 0 , B0 , b, 0 , B10 , b, 2c 就 C a,0, 0 , C1 a, 0, 2c , E0 , 0, c ,D0 , b, c 3 分 zED（ 0, b,0）, BB1 0 ,0, 2c C1B1A1 0, ED BBEDBB11DE又 AC1 2a,0, 2c ,yCB OED AC1 0, ED AC1,6 分A x所以 ED是異面直線BB1 與 AC1 的公垂線（）不妨設(shè)A1 ,0, 0 ,就 B0 ,1, 0 , C 1, 0, 0 , A11 ,0, 2 ,BC 1, 1,

32、0 , AB 1,1, 0 , AA1 0 , 0, 2 ,BC AB 0, BC AA1 0,即 BCAB, BCAA1,又 AB AA1 A, BC平面 A1AD可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載又E0 , 0, 1 ,D0 ,1, 1 , C 1, 0, 1 ,EC 1, 0, 1 , AE 1,0, 1 , ED0 , 1,0 ,EC AE 0, EC ED 0,即 EC AE,EC ED,又 AE ED E,EC面 C1AD10 分EC BC1可編輯資料 - - - 歡迎下載cos EC, BC ,即得 EC和 BC的夾角為602可編輯資料 - - - 歡迎下載|

33、EC| |BC|所以二面角A1 ADC1 為 6012 分可編輯資料 - - - 歡迎下載9（ 06 山東卷） 如圖, 已知平面A1 B1C1 平行于三棱錐VABC 的底面 ABC,等邊AB1C可編輯資料 - - - 歡迎下載所 在 的 平 面 與 底 面ABC 垂 直 , 且 ACB=90 , 設(shè)VAC2a, BCa可編輯資料 - - - 歡迎下載（ 1）求證直線B1C1 是異面直線AB1 與A1C1 的公垂線.AC可編輯資料 - - - 歡迎下載11（ 2）求點(diǎn) A 到平面 VBC的距離.B 1（ 3）求二面角AVBC 的大小.AC解法 1：可編輯資料 - - - 歡迎下載（）證明：平面A

34、1B1C1 平面 ABC ,B可編輯資料 - - - 歡迎下載B1C1 / BC , A1C1 / ACQ BCACB1C1A1C1可編輯資料 - - - 歡迎下載又平面AB1C 平面 ABC ,平面AB1C 平面 ABCAC ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 BC 平面AB1C ,可編輯資料 - - - 歡迎下載BCAB1B1C1AB1 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載又 Q A1C1B1C1C1 , B1C1AB1B1 .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載B1C1 為AB1 與A1C1 的公垂線 .可編輯資料 - - - 歡

35、迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（）解法1：過(guò) A作ADB1C 于 D,可編輯資料 - - - 歡迎下載 AB1C 為正三角形,可編輯資料 - - - 歡迎下載 D為B1C 的中點(diǎn) .可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載 BC平面AB1C可編輯資料 - - - 歡迎下載 BCAD ,又 B1CBCC , AD平面 VBC ,線段 AD的長(zhǎng)即為點(diǎn)A 到平面 VBC 的距離 .可編輯資料 - - - 歡迎下載在正AB1C 中, AD3AC32a3a .可編輯資料 - - - 歡迎下載22點(diǎn) A 到平面 VBC 的距離為3a .可編輯資料 - -

36、 - 歡迎下載解法 2：取 AC中點(diǎn) O連結(jié)B1O ,就B1O 平面 ABC ,且B1O =3a .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載由（）知BCB1C ,設(shè) A 到平面 VBC 的距離為 x ,可編輯資料 - - - 歡迎下載VBABCVA BB C ,可編輯資料 - - - 歡迎下載11即 11 BCACB O11 BCB Cx ,解得 x3a .可編輯資料 - - - 歡迎下載321321可編輯資料 - - - 歡迎下載即 A 到平面 VBC 的距離為3a .uuuruuur就uuuruuurAB1n可編輯資料 - - - 歡迎下載d| AB1| cosAB

37、1 , n| AB1 | cosuuur| AB1 | | n |可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載23a23a.可編輯資料 - - - 歡迎下載所以, A 到平面 VBC 的距離為3a .(III) 過(guò) D 點(diǎn)作 DHVB 于 H ,連 AH ,由三重線定理知AHVBAHD 是二面角 AVBC 的平面角.可編輯資料 - - - 歡迎下載在 RtVAHD 中, AD3a VB DHVB BCDHB1D .可編輯資料 - - - 歡迎下載DHB1DBC B1 B115 a.5BCB1B可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載tanAHDAD

38、DH15 .可編輯資料 - - - 歡迎下載AHDarctan15 .所以,二面角AVBC 的大小為arctan15 .解法二：可編輯資料 - - - 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載取 AC 中點(diǎn) O 連B1O , 易知 OB1底面 ABC ,過(guò) O 作直線OE / BC 交 AB于E .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載取 O 為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),OE,OC ,OB1 所在直線分別為x 軸, y 軸, z 軸建立如圖可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載所示的空間直角坐標(biāo)系.就A0,a,0, B a,

39、a,0, C0, a,0, B1 0,0,3a .可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載（ I ） Quuur BCa ,0,0uuur, AB10, a,3a ,可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載uuuruuur BCAB1uuuruuurBCAB1 .a,0,00,a,3a0 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載BCAB1可編輯資料 - - - 歡迎下載又Q B1C1 /BC, B1C1AB1可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載由已知BCAC , AC /A1C 1 .可編輯資料 - - - 歡迎下載BCA1C 1 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載而 BC /B1C1,B1C1A1C1 .可編輯資料 - - -