五年級(jí)奧數(shù)第20講-多邊形的面積

1、 第20講 多邊形的面積我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三角形、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形、梯形以及圓、扇形等根本圖形的面積計(jì)算，圖形及計(jì)算公式如下：正方形面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=a2，長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬=ab，平行四邊形面積=底×高=ah，圓面積=半徑×半徑×=r2，扇形面積=半徑×半徑××圓心角的度數(shù)÷360°在實(shí)際問(wèn)題中，我們遇到的往往不是根本圖形，而是由根本圖形組合、拼湊成的組合圖形，它們的面積不能直接用公式計(jì)算。在本講和后面的兩講中，我們將學(xué)習(xí)如何計(jì)算它們的面積。例1 小兩個(gè)正方形組成下列圖所示的組

2、合圖形。組合圖形的周長(zhǎng)是52厘米，DG=4厘米，求陰影局部的面積。分析與解：組合圖形的周長(zhǎng)并不等于兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)之和，因?yàn)镃G局部重合了。用組合圖形的周長(zhǎng)減去DG，就得到大、小正方形邊長(zhǎng)之和的三倍，所以兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和等于52-4÷3=16厘米。又由兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之差是4厘米，可求出大正方形邊長(zhǎng)=16+4÷2=10厘米，小正方形邊長(zhǎng)=16-4÷2=6厘米。兩個(gè)正方形的面積之和減去三角形ABD與三角形BEF的面積，就得到陰影局部的面積。102+62-10×10÷2-10+6×6÷2=38厘米2。例2如左下列圖所示，四邊

3、形ABCD與DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等。分析與證明：這道題兩個(gè)平行四邊形的關(guān)系不太明了，似乎無(wú)從下手。我們添加一條輔助線，即連結(jié)CE見(jiàn)右上圖，這時(shí)通過(guò)三角形DCE，就把兩個(gè)平行四邊形聯(lián)系起來(lái)了。在平行四邊形ABCD中，三角形DCE的底是DC，高與平行四邊形ABCD邊DC上的高相等，所以平行四邊形ABCD的面積是三角形DCE的兩倍；同理，在平行四邊形DEFG中，三角形DCE的底是DE，高與平行四邊形DEFG邊DE上的高相等，所以平行四邊形DEFG的面積也是三角形DCE的兩倍。兩個(gè)平行四邊形的面積都是三角形DCE的兩倍，所以它們的面積相等。例3如左下列圖所示，一個(gè)腰長(zhǎng)是20厘米的等

4、腰三角形的面積是140厘米2，在底邊上任意取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到兩腰的垂線段的長(zhǎng)分別是a厘米和b厘米。求a+b的長(zhǎng)。分析與解：a，b與三角形面積的關(guān)系一下子不容易看出來(lái)。連結(jié)等腰三角形的頂點(diǎn)和底邊上所取的點(diǎn)，把等腰三角形分為兩個(gè)小三角形，它們的底都是20厘米，高分別為a厘米和b厘米見(jiàn)右上圖。大三角形的面積與a，b的關(guān)系就顯露出來(lái)了。根據(jù)三角形的面積公式，兩個(gè)小三角形的面積分別為20×a÷2和20×b÷2。因?yàn)檫@兩個(gè)小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以有20×a÷2+20×b÷2=140，10×a+b=

5、140，a+b=14厘米。在例2、例3中，通過(guò)添加輔助線，使圖形間的關(guān)系更清晰，從而使問(wèn)題得解。下面再看一例。例4如左下列圖所示，三角形ABC的面積是10厘米2，將AB，BC，CA分別延長(zhǎng)一倍到D，E，F(xiàn)，兩兩連結(jié)D，E，F(xiàn)，得到一個(gè)新的三角形DEF。求三角形DEF的面積。分析與解：想方法溝通三角形ABC與三角形DEF的聯(lián)系。連結(jié)FB見(jiàn)右上圖。因?yàn)镃A=AF，所以三角形ABC與三角ABF等底等高，面積相等。因?yàn)锳B=BD，所以三角形ABF與三角形BDF等底等高，面積相等。由此得出，三角形ADF的面積是10+10=20厘米2。同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米2。所以三角形

6、DEF的面積等于20×3+10=70厘米2。例5一個(gè)正方形，將它的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，剩下的長(zhǎng)方形比原來(lái)正方形的面積減少1725厘米2，求剩下的長(zhǎng)方形的面積。分析與解：根據(jù)條件畫出下頁(yè)左上圖，其中甲、乙、丙為截去的局部。由左上圖知，丙是長(zhǎng)15厘米、寬10厘米的矩形，面積為15×10=150厘米2。因?yàn)榧住⒈纬傻木匦蔚拈L(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，乙、丙形成的矩形的長(zhǎng)也等于原正方形的邊長(zhǎng)，所以可將兩者拼成右上圖的矩形。右上圖矩形的寬等于10+15=25厘米，長(zhǎng)等于原正方形的邊長(zhǎng)，面積等于甲+丙+乙+丙= 甲+乙+丙+丙= 1725+150= 1875厘米2。所以原

7、正方形的的邊長(zhǎng)等于1875÷25=75厘米。剩下的長(zhǎng)方形的面積等于75×75-1725=3900厘米2。例6有紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片，放在一個(gè)正方形盒的底部，它們之間互相疊合見(jiàn)右圖。露在外面的局部中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10，求正方形盒子底部的面積。分析與解：把黃色正方形紙片向左移動(dòng)并靠緊盒子的左邊。由于三個(gè)正方形紙片面積相等，所以原題圖可以轉(zhuǎn)化成下頁(yè)右上圖。此時(shí)露出的黃、綠兩局部的面積相等，都等于14+10÷2=12。因?yàn)榫G：紅=A黃，所以綠×黃=紅×A，A=綠×黃÷紅 =12×

8、12÷20=7.2。正方形盒子底部的面積是紅+黃+綠+A=20+12+12+7.2=51.2。   練習(xí)201.等腰直角三角形的面積是20厘米2，在其中做一個(gè)最大的正方形，求這個(gè)正方形的面積。2.如左下列圖所示，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是75厘米，以BC為底的高是14厘米，以CD為底的高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。3.如右上圖所示，在一個(gè)正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬2米的小路，小路的面積是80米2，正方形水池的面積是多少平方米？4.如右圖所示，一個(gè)長(zhǎng)方形被一線段分成三角形和梯形兩局部，它們的面積差是28厘米2，梯形的上底長(zhǎng)是多少厘米？5.如下列圖，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。假設(shè)三角形EDF的面積是1，那么三角形ABC的面積是多少？6.一個(gè)長(zhǎng)方形的周