第10章作業(yè)答案(最新修改)

1、第10章振動(dòng)與波10-13 一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為，求圓頻率、頻率、周期T、振幅A和初相位分析：可采用比擬法求解。將題給運(yùn)動(dòng)方程與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的一般式x Acos( t )作比擬，即可求得各量。解：將x 0.02cos(8 t)與x4Acos( t)比擬，可得A0.02m，8rad / s，42 2111 ,Ts，一4Hz84T1410-14 一邊長(zhǎng)為a的正方形木塊浮于靜水中，其浸入水中局部的高度為a/2,用手輕輕地把木塊下壓，使之浸入水中的局部高度為a,然后放手，試證明，如不計(jì)水的粘滯阻力，木塊將作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求其振動(dòng)的周期和頻率。分析：要證明木塊作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，需要分析木塊在平衡位置附近上下運(yùn)

2、動(dòng)時(shí)，它所受的合外力F與位移x間的關(guān)系，如果滿足F kx，那么木塊作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。通過(guò)F kx即可求得振動(dòng)周期 T 22 . m k 和頻率1T 12,km。證：木塊處于平衡狀態(tài)時(shí)，mg F浮力 mgga2i 0。當(dāng)木塊上下作微小振0,豎直向下為 x軸正向。那么當(dāng)木動(dòng)時(shí)，取木塊處于力平衡時(shí)的質(zhì)心位置為坐標(biāo)原點(diǎn) 塊向下偏移x位移時(shí)，那么木塊所受合外力為2/ a.dd xF mgga (x -)mm -2dtdt132132d2xgaga xgaga xm -22dt2式中令 2 是一常數(shù)。m可得木塊運(yùn)動(dòng)的微分方程為d2x dt2這說(shuō)明木塊在其平衡位置上下所作的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。由于2ga(mm1

3、a3)，可得其振動(dòng)周期和頻率分別為22 養(yǎng)，%10-15簡(jiǎn)諧振動(dòng)圖線如下圖，求諧振動(dòng)方程及速度表達(dá)式。解 由振動(dòng)圖線知： A 0.02m當(dāng)t 0時(shí),Xo0.01m ；當(dāng)0.010，x0.02 coscos0.01m代入x0.5，那么0時(shí),U0A sin ，由圖知t 2s 時(shí),Acos( tU023sin 0所以:即:又因故:2s, xcos(20代入Asi n(223諧振動(dòng)方程為:速度表達(dá)式為:x A cos(，所以:20.02cos( t12)，得那么 sin(2勺(m)00.02 cos(0.005sin(t - )(m/ s)12310-16簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率為10rad /s，開(kāi)始時(shí)在位

4、移為7.5cm， 向與位移(1)一致；相反。分別求這兩種情況下的振動(dòng)方程。分析在角頻率速度為0.75m/s，速度方的條件下，確定振幅A和初相是求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的關(guān)鍵。解由題意知,110rads 。當(dāng) t 0 時(shí)，x07.5cm， u075 cm/s。振幅:x2 (u0)2(75)2 (掙2 10.6(cm)初相:arcta n() arcta n(7)x010 7.54(1) 速度方向與位移一致時(shí)u0 A sin 0得到初相：4振動(dòng)方程為：x 10.6cos(10t)(cm)4 速度方向與位移相反時(shí)：UoA sin 0得到初相:振動(dòng)方程為：x 10.6cos(10t)(cm)410-17 一質(zhì)

5、量m 0.02kg的小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，速度的最大值Umax 0.030m /s，振幅A=0.020m，當(dāng) t 0時(shí)，u =0.030m/s。試求：(1) 振動(dòng)的周期；(2) 諧振動(dòng)方程；(3) t=0.5s時(shí)，物體受力的大小和方向。解：(1)根據(jù)速度的最大值公式 UmaxA，得那么周期：T21.5UmaxA4.2(s)(2)由 t 0時(shí)，u00.03Asin0.030.021.5(叫)0.03sinsin 1，故一2諧振動(dòng)方程為：x 0.02cos(1.5t) (m)22將t 0.5s代入加速度公式a Acos( t )，得a(1.5)2 0.02cos(1.5 0.5 -)0.045si 門(mén)；

6、(%2)3 3物體受力的大小為：F ma 0.02 ( 0.045)sin 9 10 4sin (N)4 4方向與位移相反。210-18 一放置在水平桌面上的彈簧振子，振幅A 2 10 m，周期T=0.50s 當(dāng)t=0時(shí),(1) 物體在正方向端點(diǎn)；(2) 物體在平衡位置，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；(3) 物體在x 1.010 2m處，向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；2(4) 物體在x 1.010 m向正方向運(yùn)動(dòng)。求以上各種情況的運(yùn)動(dòng)方程。初相確實(shí)定通常有兩種方法。1解析法：由振動(dòng)方程出發(fā)，根據(jù)初始條件，即時(shí)t 0時(shí)，x Xo和v Vo來(lái)確定 值。2旋轉(zhuǎn)矢量法：將質(zhì)點(diǎn)P在Ox軸上振動(dòng)的。旋轉(zhuǎn)矢量法比擬直觀、初始位置Xo和速度

7、 o的方向與旋轉(zhuǎn)矢量圖相對(duì)應(yīng)來(lái)確定 方便，在分析中常采用。解：由題給條件知A 2.0 10 2m,4 rad/，而初相可采用分析解析法:根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程XU0Asin 。當(dāng)(1)X。A時(shí),cos1 1，那么1(2)X。0時(shí),cos2 0，那么 2取22(3)X。1.010 2 m時(shí)，cos 3sin0 ,取33(4)X。1.0210 m 時(shí)，cos 42sin0,取4。3中的兩種不同方法來(lái)求。Acos( t )，當(dāng)t 0 時(shí)有 x0 Acos ，0 ；，因UAsin0， sin0，2 01，那么3由 u0A sin0，231，那么42，由 u0A sin0，23振幅A、角頻率、初相均確定后，那

8、么各相應(yīng)狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)方程為旋轉(zhuǎn)矢量法：分別畫(huà)出四個(gè)不同初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，它們所對(duì)應(yīng)的初相分別2(1) x (2.0 10 )cos4 t(m) x 2.0 10 2cos(4 t 2)(m) x 2.0 10 2 cos(4 t 3)(m) x 2.0 10 cos(42t P(m)10-19簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程為xAA0.02cos( t )(m)，求物體由-運(yùn)動(dòng)到所用最少時(shí)2422t得:AA物體由- A運(yùn)動(dòng)到A所用最少時(shí)間為22 t23(s)10-20試證明：(1)在一個(gè)周期中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均值都等于kA24(2)在一個(gè)周期中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)位置的平均值分別等于和O證

9、 (1)因?yàn)楹?jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為Ek1 2 2 -kA sin ( t 212 2-kA cos ( t2所以在一個(gè)周期中，動(dòng)能與勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均值分別為1kA2 sin2( tT2EkEp(2)因簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的勢(shì)能 EPEp)dt)dtkA2 4kA2 4-kx2，那么勢(shì)能在一個(gè)周期中對(duì)位置的平均值為2Ep kx2dx kA22A a26所以動(dòng)能在一個(gè)周期中對(duì)位置的平均值為12Ek E Ep E Ep-kA2pp 310-21 一物體同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其表達(dá)式分別為nx1 = 4cos(2t +)(cm),65x2 = 3cos(2t -(cm)6試求合振動(dòng)的振幅和初相。

10、解 因?yàn)楣屎险駝?dòng)振幅為合振動(dòng)初相位為10-22兩個(gè)同a2 A2A| A2 cos()1(cm)arctan(A(sin 1A, sin 2)/(A( cos61 A2cos 2)向的諧振動(dòng)方程分別為nx1 = 0.12cos( nt +)(m)和3nx2 = 0.15cos( nt+ )(m)6。求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。解 因?yàn)楣屎险駝?dòng)振幅為:A . A12 A 2AA2cos() 0.261(m) 6合振動(dòng)初相位為:arctg(Asin 1 Az Sin 2)/(A cos 1A2COS 2)0.755(rad)合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：x 0.261 cos( t 0.755)(m)10-23 一平

11、面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為 y 0.25cos(125t0.37x)(SI),求它的振幅、角頻率、頻率、周期、波速與波長(zhǎng).分析采用比擬法。將題給的波動(dòng)方程改寫(xiě)成波動(dòng)方程的余弦函數(shù)形式，比擬可得振幅 A、角頻率 、波速u ,從而求出頻率、周期與波長(zhǎng)。X解將題給的波動(dòng)方程改寫(xiě)為y 0.25cos125(t)與平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程338y A cos (t -)比擬后可得振幅A 0.25m，角頻率125ra% ,波速338嘆，故有12522219.9Hz , T5.02 10 2s ,22125T 338 5.02 10 216.9m10-24平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式 y 0.2COS2 (t 0.25x)(m

12、)，求：(1)x=0處振動(dòng)的初相及x=4m , t=2s時(shí)的相位；X1=O處與X2=2m處的相位差。解(1)將題給方程寫(xiě)成波動(dòng)方程的一般形式y(tǒng) ACOS (t -)，得x y 0.20cos2 (t )4當(dāng)x 0時(shí)，有y 0.20cos2 t，與波動(dòng)方程的一般式比擬，得0將x 4s， t 2s代入相位2(tx)中，得此時(shí)的相位為4(t勻 2 (2 4)X1=0處與X2=2m處的相位差為x22 (t 匸)x-i2 (t 7) 2t10-25 平面簡(jiǎn)諧波的振幅為 5.0cm，頻率為100Hz，波速為400m/s，沿X軸正方向傳播, 以波源(設(shè)在坐標(biāo)原點(diǎn)O)處的質(zhì)點(diǎn)在乎衡位置且正向 y軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)

13、作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)求：(1) 波源的振動(dòng)方程；(2) 波動(dòng)方程。和初相 的解(1)在振幅、頻率、波速和初始條件的情況下，可以確定角頻率值。即:22100200 (rad s)又根據(jù)初始條件:t 0 時(shí)，0 y A cos , U00,得波源的振動(dòng)方程為：y 0.05cos(200 t -)(m)(2)簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為xY Acos (t)0.05cos200(t 400)21x0.05cos(200 t2)(m)10-26 一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，波速=5m/s .波源位于y軸原點(diǎn)處，波源的振動(dòng)曲線如圖中所示。求:(1) 波源的振動(dòng)方程;(2) 波動(dòng)方程.解由題給條件A 0.02m,T 4s

14、,=5m/s,可得0時(shí),習(xí)題10-26圖0 02m2 2 (rad /s)T 42波源質(zhì)點(diǎn)經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，因而由旋轉(zhuǎn)矢量法可得該質(zhì)點(diǎn)的初相為2。波源位于y軸原點(diǎn)處，那么波源的振動(dòng)方程為y 0.02cos( t )(m)2 2x將量代入簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程的一般形式Y(jié) Acos (t )，得Y 0.02cos(t x)(m)25210-27為了保持波源的振動(dòng)不變，需要消耗4.0W的功率。假設(shè)波源發(fā)出的是球面波(設(shè)介質(zhì)不吸收波的能量)。求距離波源5.0m和10.0m處的能流密度。分析波的傳播伴隨著能量的傳播。由于波源在單位時(shí)間內(nèi)提供的能量恒P。而在同一個(gè)球面上各處的能流密定，且介質(zhì)不吸收能量，

15、故對(duì)于球面波而言，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)任意半徑的球面的能 量(即平均能流)相同，都等于波源消耗的功率度相同，因此，可求出不同位置的能流密度解由分析可知，半徑r處的能流密度為P4 r2當(dāng) r15.0m、r210.0m 時(shí),分別有10-28 一平面簡(jiǎn)諧波的頻率為的速度傳播，到達(dá)人耳時(shí)振幅約為111.273.18500Hz，在密度2 210 W m3210 W.m1.3kg m 3空氣中以1340m s61.0 10 m。試求波在耳中的平均能量密度和聲強(qiáng)。解 波在耳中的平均能量密度2 A2 2 2 2 A2v26.42 10 6 J.m 2聲強(qiáng)就是聲波的能流密度，即I u 2.18 10 3W.m 210

16、-29兩相干波源S和S2相距為5m,其振幅相同，頻率都是100Hz，相位差為，二波S1 S2間因的傳播速度為400m/s。試以S1 S，連線為坐標(biāo)軸x，以S1 S，連線中點(diǎn)為原點(diǎn)，求干預(yù)而靜止的各點(diǎn)的坐標(biāo)。分析 在均勻介質(zhì)中，兩列波相遇時(shí)的相位差,一般由它們的初相差由它們的波程差而引起的相位差r兩局部組成，即-。因此,兩列振幅相同的相干波因干預(yù)而靜止的各點(diǎn)的位置，可根據(jù)相消條件(2k1)來(lái)確以S1 S2連線中點(diǎn)為原點(diǎn)，以S、s2連線為坐標(biāo)軸x。兩波的波長(zhǎng)均為400 1004.0m .S、S2兩點(diǎn)的連線間，設(shè)任意一點(diǎn)那么兩列波在點(diǎn) P的相位差為P距原點(diǎn)為x。因 r22.5 x , r12.5 x

17、,1)2 (2ri)(x 1)根據(jù)分析中所述，干預(yù)靜止的點(diǎn)應(yīng)滿足方程(x1)2k(2 k 1)k0, 1, 2,因 2.5 x 2.5，故 1 k 1 o即在3、S2之間的連線上共有3個(gè)靜止點(diǎn)即： 2m,0,2 m。10-30兩相干波波源位于同一介質(zhì)中的100Hz,B比A的相位超前 n假設(shè)A、B相距30.0 m , 止的各點(diǎn)的位置。B兩點(diǎn)，如下圖。其振幅相等、頻率均為 波速為400 m/s，試求AB連線上因干預(yù)而靜分析兩列相干波相遇時(shí)的相位為21)-。因此，兩列振幅相同的相干波因干預(yù)而靜止的點(diǎn)的位置，可根據(jù)相消條件(2k1)獲得。解 以A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn) O為原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖10 30(b)所示。兩波的波長(zhǎng)均為4.0m。在A、B連線上可分三個(gè)局部進(jìn)行討論。14(1 )位于點(diǎn)A左側(cè)局部(B A)因該范圍內(nèi)兩列波相位差