41數(shù)學(xué)歸納法（一）教案（人教A版選修4-5）

1、金太陽新課標(biāo)資源網(wǎng) 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式數(shù)學(xué)歸納法（一）教學(xué)目標(biāo)：1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；2. 進(jìn)一步發(fā)展猜想歸納能力和創(chuàng)新能力，經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析和對數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟的掌握。教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法中遞推思想的理解。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題（1）不完全歸納法：今天早上，我曾疑惑，怎么一中（永昌一中）只招男生嗎？因?yàn)榍宄课以趯W(xué)校門口看到第一個進(jìn)校園的是男同學(xué)，第二個進(jìn)校園的也是男同學(xué)，第三個進(jìn)校園的還是男同學(xué)。于是得出結(jié)論：學(xué)校里全部都是男同學(xué)，同學(xué)們說我的結(jié)論對嗎？（這顯然

2、是一個錯誤的結(jié)論，說明不完全歸納的結(jié)論是不可靠的，進(jìn)而引出第二個問題）（2）完全歸納法：一個火柴盒，里面共有五根火柴，抽出一根是紅色的，抽出第二根也是紅色的，請問怎樣驗(yàn)證五根火柴都是紅色的呢？（將火柴盒打開，取出剩下的火柴，逐一進(jìn)行驗(yàn)證。）注：對于以上二例的結(jié)果是非常明顯的，教學(xué)中主要用以上二題引出數(shù)學(xué)歸納法。結(jié)論：不完全歸納法結(jié)論不可靠； 完全歸納法結(jié)論可靠。問題：以上問題都是與正整數(shù)有關(guān)的問題，從上例可以看出，要想正確的解決一個與此有關(guān)的問題，就可靠性而言，應(yīng)該選用第幾種方法？（完全歸納法）情境一：（播放多米諾骨牌視頻）問：怎樣才能讓多米諾骨牌全部倒下？二、講授新課：探究一：讓所有的多米諾

3、骨牌全部倒下，必須具備什么條件？條件一：第一張骨牌倒下；條件二：任意相鄰的兩張骨牌，前一張倒下一定導(dǎo)致后一張倒下。探究二：同學(xué)們在看完多米諾骨牌視頻后，是否對怎樣證明有些啟發(fā)？ 得出結(jié)論：證明的兩個步驟：（1）證明當(dāng)時，命題成立；（2）假設(shè)當(dāng)時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立。一般地，證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個值時命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)時命題成立，證明當(dāng)時，命題也成立。只要完成以上兩個步驟，就可以判定命題對從開始的所有正整數(shù)都成立。上述方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。三、應(yīng)用舉例：例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：（1）當(dāng)時，左邊，右邊，等式成立；（2）

4、假設(shè)當(dāng)（k1,kN*）時，那么：，則當(dāng)時也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立。注：對例1，首先說明在利用數(shù)學(xué)歸納法證題時，當(dāng)時的證明必須利用的歸納假設(shè)， 例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明求證：能被6 整除.證明：. 當(dāng)時，13+5×1=6能被6整除，命題正確；. 假設(shè)時命題正確，即能被6整除，當(dāng)時，兩個連續(xù)的整數(shù)的乘積是偶數(shù)，能被6整除，能被6整除，即當(dāng)時命題也正確，由知命題時都正確.即：當(dāng)時，等式成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何都成立。注：上例可讓學(xué)生獨(dú)立完成，教師板書寫現(xiàn)完整過程，以突出數(shù)學(xué)歸納法證題的一般步驟。四、鞏固練習(xí)：P50練習(xí)題 第1、2題五、課堂小結(jié)：問：今天我們學(xué)習(xí)了一種很重要的數(shù)學(xué)證明方法，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？（學(xué)生總結(jié)，教師整理）1、數(shù)學(xué)來源于生活，生活中有許多形如“數(shù)學(xué)歸納法”這樣的方法等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。2、數(shù)學(xué)歸納法中蘊(yùn)含著一種很重要的數(shù)學(xué)思想：遞推思想；3、數(shù)學(xué)歸納法一般步驟：驗(yàn)證時命題成立若時命題成立，證明當(dāng)時命題也成立 歸納奠基 歸納遞推 命題對從開始所有的正整數(shù)都成立4、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法要注意以下幾點(diǎn)：（1） 第一步是基礎(chǔ)，沒有第一步，只有第二步就如空中樓閣，是不可靠的；（2） 第二步是證明傳遞性，只有第一步，沒有第二步，只能是不完全歸納法；（3） n0是使命題成立的最小正整數(shù)，n0不一定取1，也可取其它一些