拋物線典型例題12例(含標(biāo)準(zhǔn)答案解析)

1、拋物線典型例題12例典型例題一例1指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.（1）x24y（2）xay2（a0）分析：（1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p,再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.（2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對a進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求p及焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.解：（1）p2,焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0,1）,準(zhǔn)線方程是：y1（2）原拋物線方程為：y2-x,2p1aa當(dāng)a0時，p。，拋物線開口向右，24a11焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，,0）,準(zhǔn)線方程是：x.4a4ap1當(dāng)a0時，上一，拋物線開口向左，24a11焦點(diǎn)坐標(biāo)是（工,0）,準(zhǔn)線方程是：x.4a4a1綜合上述，當(dāng)a0時，拋物線xay2的焦點(diǎn)坐

2、標(biāo)為（一,0）,準(zhǔn)線萬程是：4ax,4a典型例題二例2若直線ykx2與拋物線y28x交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,求此直線方程.分析：由直線與拋物線相交利用韋達(dá)定理列出k的方程求解.另由于已知與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故也可利用“作差法”求k.ykx2解法一：設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則由：2可得：kx(4k8)x40.y8x.直線與拋物線相交，k0且0,則k1.AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2xL_x2王才82,2k2解得：k2或k1(舍去).故所求直線方程為：y2x2.2_2一斛法-:墳A(xi,y1)、B(x2,y2),則有yi8xiy28x2-兩式作差解：(yiy2)(yi

3、y)8(xx2),即*一y2一8一.xix2yiy2xix24yiy2kxi2kx22k(xix2)44k4,8k故k2或ki(舍去).4k4則所求直線方程為：y2x2.典型例題三例3求證：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓心與拋物線的準(zhǔn)線相切.分析：可設(shè)拋物線方程為y22Px(p0).如圖所示，只須證明手|MMi,則以AB為直徑的圓，必與拋物線準(zhǔn)線相切.證明：作AAil于Ai,BBil于Bi.M為AB中點(diǎn)，作MMil于Mi,則由拋物線的定義可知：AAi|AF,BBi|BF在直角梯形BBiAiA中：iiiMMi2(AA|BBi)2(AFBF)2AB1MMi_AB,故以AB為直徑的圓，必與拋物線的準(zhǔn)線相

4、切.2說明：類似有：以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相對應(yīng)的準(zhǔn)線相離，以雙曲線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與相應(yīng)的準(zhǔn)線相交.典型例題四例4(1)設(shè)拋物線y24x被直線y2xk截得的弦長為3在,求k化(2)以(1)中的弦為底邊，以x軸上的點(diǎn)P為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為9時，求P點(diǎn)坐標(biāo).分析：(1)題可利用弦長公式求k,(2)題可利用面積求高，再用點(diǎn)到直線距離求P點(diǎn)坐標(biāo).解：(1)由y24x得：4x2(4k4)xk20y2xkk2設(shè)直線與拋物線父于A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點(diǎn).則有：x1x21k,x1x2一4ABv(122)(x1x2)2，5(x1x2)24取2,5(1k)2k245(12k)AB3J

5、5,15(12k)3君，即k4(2)S9,底邊長為3J5,.三角形高h(yuǎn)W曳53,55點(diǎn)P在x軸上，.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)是(,0)則點(diǎn)P到直線y2x4的距離就等于h,即2%04選,22125xo1或x05,即所求P點(diǎn)坐標(biāo)是(一1,0)或(5,0).典型例題五例5已知定直線l及定點(diǎn)A(A不在l上)，n為過A且垂直于l的直線，設(shè)N為l上任一點(diǎn)，AN的垂直平分線交n于B,點(diǎn)B關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為P,求證P的軌跡為拋物線.分析：要證P的軌跡為拋物線，有兩個途徑，一個證明P點(diǎn)的軌跡符合拋物線的定義，二是證明P的軌跡方程為拋物線的方程，可先用第一種方法，由A為定點(diǎn)，l為定直線，為我們提供了利用定義的信息，若能證明PA

6、PN且PNl即可.證明：如圖所示，連結(jié)PAPNNBB由已知條件可知：PB垂直平分NA且B關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為P.AN&垂直平分PB.則四邊形PABNfe菱形.即有PAPN.ABl.PN1.則P點(diǎn)符合拋物線上點(diǎn)的條件：到定點(diǎn)A的距離與到定直線的距離相等，所以P點(diǎn)的軌跡為拋物線.典型例題六例6若線段P1P2為拋物線C:y22Px(p0)的一條焦點(diǎn)弦，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，求證:分析：此題證的是距離問題，如果把它們用兩點(diǎn)問的距離表示出來，其計(jì)算量是很大的.我們可以用拋物線的定義，巧妙運(yùn)用韋達(dá)定理，也可以用拋物線的定義與平面幾何知識，把結(jié)論證明出來.證法一：F(1,0),若過F的直線即線段P1P2所在則

7、有 PiFP2FP,_i_ _i_ 1 1 2麗所i 8 g;直線斜率不存在時,若線段P1P2所在直線斜率存在時，設(shè)為k,則此直線為：yk(xf)(k0),且設(shè)P(xi,yi),P2(x2,y2).-P、yk(x).22由得：k2x2p(k22)x0p4yk(x)2P(k22)xiX2-k2X1x2-p-(24根據(jù)拋物線定義有：PiF|Xi去回Xi微，P1P2IXiX2p則11|pF|IP2FIXiX2pXiX2p'麗麗麗麗(T>TJXiX21(XiX2)4請將代入并化簡得:i i 2RF| 四一 P證法二：如圖所示，設(shè)Pi、P2、F點(diǎn)在C的準(zhǔn)線l上的射影分別是P、P2、F ,且

8、不妨設(shè)P2P2 n m |P|Pi ,又設(shè)P2點(diǎn)在FF、PPi上的射影分別是A、B點(diǎn)，由拋物線定義知,P2FI n, PF| m, FF| P又 P2AF s F2BR ,AF BFIBP| lP2Pl即 U _JL_ m n m np(m n) 2mni i 2m n p故原命題成立.典型例題七例7設(shè)拋物線方程為y2 2 Px(p 0),過焦點(diǎn)F的弦AB的傾斜角為，求證:焦點(diǎn)弦長為AB2P sin2分析：此題做法跟上題類似，也可采用韋達(dá)定理與拋物線定義解決問題.證法一：拋物線y22Px(p0)的焦點(diǎn)為暗,0),過焦點(diǎn)的弦AB所在的直線方程為：ytan(xp)2由方程組ytan(x?消去y得:

9、y22px4x2tan24P(tan2)p2tan20XiX2設(shè)A(xi,yj,B(X2,y2),則Xix2p(tan22)tan22P4_2p(i2cot)3-yy?tan(xx2)ABJ(itan2)(xix2)2(1tan2)(x1x2)24x1x2:2、(itan2)p2(icot2)4P4-2"2227；sec4pcot(1cot)214p4sin2Psin2即AB3p-sin2證法二：如圖所示，分別作AA1、AF|AA1|AFcospBF|BB1pBFcos于是可得出：|AF一p-BF1cosBB1垂直于準(zhǔn)線l.由拋物線定義有:p1cosABAFBFP1cosp1cos2

10、p21cos2p22sin故原命題成立.典型例題八例8已知圓錐曲線C經(jīng)過定點(diǎn)P(3,2j3),它的一個焦點(diǎn)為F(1,0),對應(yīng)于該焦點(diǎn)的準(zhǔn)線為x1,過焦點(diǎn)F任意作曲線C的弦AB,若弦AB的長度不超過8,且直線AB與橢圓3x22y22相交于不同的兩點(diǎn)，求(1)AB的傾斜角的取值范圍.(2)設(shè)直線AB與橢圓相交于GD兩點(diǎn)，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程.分析：由已知條件可確定出圓錐曲線C為拋物線，AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，設(shè)其斜率為k,弦AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，可求出k的取值范圍，從而可得的取值范圍，求CD中點(diǎn)M的軌跡方程時，可設(shè)出M的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理化簡即可.解：(1)由已知得|PF|4.故P到x1的

11、距離d4,從而|PF|d曲線C是拋物線，具方程為y24x.設(shè)直線AB的斜率為k,若k不存在，則直線AB與3x22y22無交點(diǎn).k存在.設(shè)AB的方程為yk(x1)24由yX可得：ky24y4k0yk(x1)4設(shè)A、B坐標(biāo)分別為(卬乂)、%,y?),則：YiV2Yi¥24kAB41J)(yy2)221k22/：(yiy2)4y1y2k4(1k2)k2、弦AB的長度不超過8,4(12k)8即k21k2由y2k(xJ得：(2k23)x24k2x2(k21)03x22y22:AB與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，k23由k21和k23可得：1kV3或V3k1故1tanV3或V3tan12又0，.二所求的

12、取值沱圍是：一一或一433(2)設(shè)CD中點(diǎn)M(x,y)、C(x3，y3)、Dd*)由y/(xJ)得：(2k23)x24k2x2(k21)0_22(k1)2k2 33x22y22x3x44k2,x3X2k232xx42kzz2r22k32k23k23一2一一52k392d1222則一12-即一x.52k233532k22k2 32y(XIT化簡得：3x221(y1 y2) Vi y2 2y1y2 2x - 222y23x0;所求軌跡方程為:典型例題九例9定長為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2x上移動，求AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的最小值，并求出此時AB中點(diǎn)的坐標(biāo).分析：線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最

13、小值，就是其橫坐標(biāo)的最小值.這是中點(diǎn)坐標(biāo)問題，因此只要研究A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和取什么最小值即可.解：如圖，設(shè)F是y2x的焦點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD,又M到準(zhǔn)線的垂線為MN,C、D和N是垂足，則11.113MN-(ACBD)(AFBF)-AB-.2222、一1315設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,縱坐標(biāo)為y,MNx一，則x-.4244等式成立的條件是AB過點(diǎn)F.521當(dāng)x一時，y1y2P-，故44Vi V222, y222所以M(5,馬,42.一、一一 ，一.5此時M到y(tǒng)軸的距離的最小值為4說明：本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)，把三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何中，解法較簡.典型例題十例10過拋物線2

14、Px的焦點(diǎn)F作傾斜角為 的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn),求AB的最小值.分析：本題可分兩種情況討論.當(dāng)2一時，先寫出AB的表達(dá)式,2再求范圍.解：(1)若-,止匕時AB2P.若-,因有兩交點(diǎn)，所以0.AB: ytan (x ),即 x y 2tan代入拋物線方程，有2 2pyi故(y2 yi)24p2tan2224 p 4 p csc(X2 X1)2(y2 y1)2tan22/ 2 csc4Ptan故AB224p csc(1124)4p csc tan2所以AB2P2 sin2P .因 一，所以這里不能取2綜合(1)(2),當(dāng)萬時，|AB最小值2P.說明:(1)此題須對分一和一兩種情況進(jìn)行討論;

15、22從解題過程可知，拋物線點(diǎn)弦長公式為l2p-;sin當(dāng)萬時，|AB|叫做拋物線的通徑.通徑是最短的焦點(diǎn)弦.典型例題十一例11過拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F作弦AB,l為準(zhǔn)線，過A、B作l的垂線，垂足分別為A'、B',則A'FB'為()，AF'B為().A.大于等于90B.小于等于90C.等于90D不確定分析：本題考查拋物線的定義、直線與圓的位置關(guān)系等方面的知識，關(guān)鍵是求角的大小以及判定直線與圓是否相切.解：點(diǎn)A在拋物線上，由拋物線定義，則AAAF12,又AA'x軸13.23,同理46,而2364180,.3690,AFB90.選C.過AB中點(diǎn)M作MM'l,垂中為M',1,.,11.則MM1(AA|BB)1(AFBF)1AB.以AB為直徑的圓與直線l相切，切點(diǎn)為M.又F'在圓的外部，AF'B90.特別地，當(dāng)ABx軸時，