空間向量的坐標運算

1、3.1.5空間向量運算的坐標表示問題問題引航引航1.1.空間向量的和、差、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標運算空間向量的和、差、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標運算公式是什么公式是什么? ?2.2.利用向量坐標運算推導的空間兩向量的平行、利用向量坐標運算推導的空間兩向量的平行、垂直的關(guān)系式是什么垂直的關(guān)系式是什么? ?夾角與長度的坐標公式如何夾角與長度的坐標公式如何表示表示? ?空間向量運算的坐標表示空間向量運算的坐標表示設(shè)設(shè)a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),則則(1)(1)空間向量的坐標運算空間向量的坐標運算: :向量運算向量運算向量表示向量

2、表示坐標表示坐標表示加法加法a+ +b_減法減法a- -b_數(shù)乘數(shù)乘a_數(shù)量積數(shù)量積ab_(a(a1 1+b+b1 1,a,a2 2+b+b2 2,a,a3 3+b+b3 3) )(a(a1 1-b-b1 1,a,a2 2-b-b2 2,a,a3 3-b-b3 3) )(a(a1 1,a,a2 2,a,a3 3) )a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3(2)(2)空間向量平行和垂直的條件空間向量平行和垂直的條件: :平行平行: :ab( (b0) )a=b當當b的坐標的坐標b b1 1,b,b2 2,b,b3 3全不為全不為0 0時時, ,abab_._

3、._，a a1 1=b=b1 1 a a2 2= =b b2 2 a a3 3=b=b3 3 312123aaabbb；ab=0=0a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0=0(3)(3)兩個向量夾角與向量長度的坐標計算公式：兩個向量夾角與向量長度的坐標計算公式：模：模：| |a| |_，| |b| |_；夾角：夾角：coscosa，b_；向量的坐標及兩點間的距離公式：向量的坐標及兩點間的距離公式：設(shè)設(shè)A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),則則 _,_, | | |_._.222123

4、aaa112233222222123123a ba ba baaabbb222123bbbAB AB (x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1,z,z2 2-z-z1 1) )222212121xxyyzz1.1.判一判判一判( (正確的打正確的打“”,”,錯誤的打錯誤的打“”)”)(1)(1)對于空間任意兩個向量對于空間任意兩個向量a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),若若a與與b共線共線, ,則則 ( () )(2)(2)空間向量空間向量a=(1,1,1)=(1,1,1)為單位向量為單位向量.(.()

5、 )(3)(3)若向量若向量 =(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),則點則點B B的坐標為的坐標為(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1).().() )312123aaa.bbbAB 【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .當當b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3) )中的中的b b1 1,b,b2 2,b,b3 3中存在中存在0 0時時, ,式子式子 無意義無意義, ,故此種說法錯誤故此種說法錯誤. .(2)(2)錯誤錯誤. .空間向量空間向量a=(1,1,1)=(1,1,1)的長度為的長度為 故向量故向量a=(1,1,1)=(1,1,1)不是單位向量不是單

6、位向量. .(3)(3)錯誤錯誤. .由向量的坐標表示知由向量的坐標表示知, ,若向量若向量 的起點的起點A A與原點重合與原點重合, ,則則B B點的坐標為點的坐標為(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),若向量若向量 的起點的起點A A不與原點重合不與原點重合, ,則則B B點的坐標就不為點的坐標就不為(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1).).答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)312123aaabbb2221113，AB AB 2.2.做一做做一做( (請把正確的答案寫在橫線上請把正確的答案寫在橫線上) )(1)(1)已知已知a=(2,-1,-2),=(2

7、,-1,-2),b=(0,-1,4),=(0,-1,4),則則a+ +b= =,-2,-2b= =, ,ab= =. .(2)(2)在空間直角坐標系中在空間直角坐標系中, ,已知點已知點A A的坐標為的坐標為(1,2,3),(1,2,3),點點B B的坐的坐標為標為(4,5,6),(4,5,6),則則 = =. .(3)(3)若若a=(2x,1,3),=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),=(1,-2y,9),如果如果a與與b為共線向量為共線向量, ,則則x=x=,y=,y=. .AB 【解析【解析】(1)(1)利用向量坐標運算的公式分別計算得利用向量坐標運算的公式分別計算得ab= =(

8、2(2，-2-2，2)2)， 2 2b(0(0，2 2，8)8)，ab-7.-7.答案：答案：(2(2，2 2，2) (02) (0，2 2，8) 8) 7 7(2) (2) (4-1(4-1，5-25-2，6-3)=(36-3)=(3，3 3，3).3).答案：答案：(3(3，3 3，3)3)(3)(3)因為因為a與與b為共線向量，故為共線向量，故得得答案：答案：AB 2x1312y9，13xy.62，13 62【要點探究【要點探究】知識點知識點1 1 空間向量的坐標運算空間向量的坐標運算1.1.對空間向量的坐標的三點說明對空間向量的坐標的三點說明(1)(1)向量的坐標向量的坐標: :即終點

9、坐標減去起點對應(yīng)坐標即終點坐標減去起點對應(yīng)坐標. .(2)(2)點的坐標點的坐標: :求點的坐標時求點的坐標時, ,一定要注意向量的起點是否在原一定要注意向量的起點是否在原點點, ,在原點時向量的坐標與終點的坐標相同在原點時向量的坐標與終點的坐標相同; ;不在原點時不在原點時, ,向量向量的坐標加上起點的坐標才是終點的坐標的坐標加上起點的坐標才是終點的坐標. .(3)(3)正交基底表示坐標正交基底表示坐標: :在空間中選一點在空間中選一點O O和一個單位正交基底和一個單位正交基底 e1 1, ,e2 2, ,e3 3,若向量若向量a=x=xe1 1+y+ye2 2+z+ze3 3, ,則有序數(shù)

10、組則有序數(shù)組(x,y,z(x,y,z) )就叫向量就叫向量a的坐標的坐標. .2.2.對空間向量坐標運算的兩點說明對空間向量坐標運算的兩點說明(1)(1)類比平面向量坐標運算類比平面向量坐標運算: :空間向量的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)空間向量的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積與平面向量的類似量積與平面向量的類似, ,學習中可以類比推廣學習中可以類比推廣. .推廣時注意利用推廣時注意利用向量的坐標表示向量的坐標表示, ,即向量在平面上是用惟一確定的有序?qū)崝?shù)對即向量在平面上是用惟一確定的有序?qū)崝?shù)對表示表示, ,即即a=(x,y=(x,y).).而在空間中則表示為而在空間中則表示為a=(x,y,z=(x,y,z

11、).).(2)(2)運算結(jié)果運算結(jié)果: :空間向量的加法、減法、數(shù)乘坐標運算結(jié)果依然空間向量的加法、減法、數(shù)乘坐標運算結(jié)果依然是一個向量是一個向量; ;空間向量的數(shù)量積坐標運算的結(jié)果是一個實數(shù)空間向量的數(shù)量積坐標運算的結(jié)果是一個實數(shù). .【微思考【微思考】(1)(1)當當a0時時,a是否可以為是否可以為0?0?提示提示: :不可以不可以. .當當=0=0時時,a=(0,0,0)=(0,0,0)=0, ,并不是并不是0.0.(2)(2)空間向量的坐標運算和平面向量的坐標運算有什么不同空間向量的坐標運算和平面向量的坐標運算有什么不同? ?提示提示: :空間向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算空間

12、向量的坐標運算類似于平面向量的坐標運算, ,算法是算法是相同的相同的, ,但空間向量比平面向量多一豎坐標但空間向量比平面向量多一豎坐標, ,豎坐標的處理方式豎坐標的處理方式與橫坐標、縱坐標是一樣的與橫坐標、縱坐標是一樣的. .【即時練【即時練】已知已知a=(-3,2,5),=(-3,2,5),b=(1,5,-1),=(1,5,-1),求求: :(1)(1)a+ +b. .(2)6(2)6a. .(3)3(3)3a- -b. .(4)(4)ab. .【解析【解析】由坐標運算法則得由坐標運算法則得(1)(1)a+ +b=(-3+1,2+5,5-1)=(-2,7,4).=(-3+1,2+5,5-1)

13、=(-2,7,4).(2)6(2)6a=6(-3,2,5)=(-18,12,30).=6(-3,2,5)=(-18,12,30).(3)3(3)3a- -b=3(-3,2,5)-(1,5,-1)=(-10,1,16).=3(-3,2,5)-(1,5,-1)=(-10,1,16).(4)(4)ab=(-3,2,5)=(-3,2,5)(1,5,-1)=-3+10-5=2.(1,5,-1)=-3+10-5=2.知識點知識點2 2 空間向量的平行與垂直空間向量的平行與垂直對空間兩個向量平行與垂直的兩點說明對空間兩個向量平行與垂直的兩點說明(1)(1)類比平面向量平行、垂直類比平面向量平行、垂直: :空

14、間兩個向量平行、垂直與平面空間兩個向量平行、垂直與平面兩個向量平行、垂直的表達式不一樣兩個向量平行、垂直的表達式不一樣, ,但實質(zhì)是一致的但實質(zhì)是一致的. .(2)(2)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化: :判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應(yīng)的方判定空間兩直線平行或垂直只需判斷兩直線對應(yīng)的方向向量是否平行或垂直向向量是否平行或垂直. .【知識拓展【知識拓展】三個點共線的充要條件三個點共線的充要條件三個點三個點A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3,z,z3 3) )共線的充要條件是共線的充要條件是簡證：三個點

15、簡證：三個點A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),C(x),C(x3 3,y,y3 3,z,z3 3) )共線的充要共線的充要條件為條件為 即向量即向量 與向量與向量 共線，其坐標對應(yīng)成比共線，其坐標對應(yīng)成比例，從而有例，從而有212121313131xxyyzz.xxyyzzABAC ，AB AC 212121313131xxyyzz.xxyyzz【微思考【微思考】(1)(1)把向量把向量 =(x=(x，y y，z)z)平移后，其坐標有沒有變化？平移后，其坐標有沒有變化？提示：提示：向量平移后其坐標不發(fā)生變化，變化的是向量的起

16、點與向量平移后其坐標不發(fā)生變化，變化的是向量的起點與終點的坐標終點的坐標(2)(2)空間向量垂直的坐標運算結(jié)果對應(yīng)的值是否是一個實數(shù)空間向量垂直的坐標運算結(jié)果對應(yīng)的值是否是一個實數(shù)0 0？提示：提示：若兩向量垂直，由數(shù)量積的意義知數(shù)量積為若兩向量垂直，由數(shù)量積的意義知數(shù)量積為0.0.AB 【即時練【即時練】已知已知a=(2,-1,3),=(2,-1,3),b=(-4,2,x).=(-4,2,x).(1)(1)當當ab時時,x=,x=. .(2)(2)當當ab時時,x=,x=. .【解析【解析】(1)(1)由由ab= =8 82+3x=02+3x=0，得，得x= x= 答案：答案：(2)(2)由

17、由ab得得 即得即得x=x=6.6.答案：答案：-6-610.321342x，103知識點知識點3 3 空間向量的夾角與距離空間向量的夾角與距離對空間兩向量夾角與距離的四點說明對空間兩向量夾角與距離的四點說明(1)(1)范圍范圍: :空間兩條直線夾角的范圍與向量夾角的范圍不同空間兩條直線夾角的范圍與向量夾角的范圍不同, ,當當所求兩向量夾角為鈍角時所求兩向量夾角為鈍角時, ,兩直線夾角是與此鈍角互補的銳角兩直線夾角是與此鈍角互補的銳角. .(2)(2)夾角公式的一致性夾角公式的一致性: :無論在平面還是空間無論在平面還是空間, ,兩向量的夾角余兩向量的夾角余弦值都是弦值都是coscos = ,

18、= ,只是坐標運算時空間向量多了一個只是坐標運算時空間向量多了一個豎坐標豎坐標. .a ba b(3)(3)長度公式的類似性長度公式的類似性: :空間向量的長度與平面向量的長度公式空間向量的長度與平面向量的長度公式形式一致形式一致, ,坐標運算時空間向量多了一個豎坐標坐標運算時空間向量多了一個豎坐標. .(4)(4)空間兩點間的距離公式是長度公式的推廣空間兩點間的距離公式是長度公式的推廣, ,首先根據(jù)向量的首先根據(jù)向量的減法推出向量減法推出向量 的坐標表示的坐標表示, ,然后再用長度公式推出然后再用長度公式推出. .AB 【微思考【微思考】(1)(1)兩條異面直線的夾角與兩條異面直線的方向向量

19、的夾角何兩條異面直線的夾角與兩條異面直線的方向向量的夾角何時相等時相等? ?何時互補何時互補? ?提示提示: :當兩異面直線的方向向量的夾角是銳角或直角時當兩異面直線的方向向量的夾角是銳角或直角時, ,這兩個這兩個方向向量的夾角就是這兩條異面直線的夾角方向向量的夾角就是這兩條異面直線的夾角, ,否則互補否則互補. .(2)(2)空間中兩點間的距離公式中坐標的順序是否可以顛倒空間中兩點間的距離公式中坐標的順序是否可以顛倒? ?提示提示: :可以可以. .因為兩點間距離公式是相應(yīng)坐標差的平方和的平方因為兩點間距離公式是相應(yīng)坐標差的平方和的平方根根, ,故顛倒順序后不影響結(jié)果故顛倒順序后不影響結(jié)果.

20、 .【即時練【即時練】當當coscos 的值分別滿足下列條件時的值分別滿足下列條件時, ,求求a與與b所成的角所成的角. .(1)cos(1)cos=1.=1.(2)cos(2)cos=-1.=-1.(3)cos(3)cos=0.=0.【解析【解析】(1)(1)由由coscosa，b1 1得得coscosa，b= = =1=1，即有，即有ab=|=|a|b| |，所以，所以a與與b同向，故同向，故a與與b的夾角是的夾角是0.0.(2)(2)由由coscosa，b-1-1得得coscosa，b= = =1 1，即有，即有ab= =| |a|b| |，所以，所以a與與b反向，故反向，故a與與b的夾

21、角是的夾角是.(3)(3)由由coscosa，b0 0得得coscosa，b= =0= =0，即有，即有ab=0=0，所以所以a與與b垂直，故垂直，故a與與b的夾角是的夾角是a ba ba ba ba ba b.2【題型示范【題型示范】類型一類型一 用空間向量的坐標運算求點的坐標用空間向量的坐標運算求點的坐標【典例【典例1 1】(1)(1)已知已知A(3A(3，4 4，5)5)，B(0B(0，2 2，1)1)，O(0O(0，0 0，0)0)，若，若 則則C C的坐標是的坐標是( )( )2OCAB5 ，648648A.() B.()55555564 86 4 8C.() D.()55 55 5

22、 5，(2)(2)設(shè)設(shè)O O為坐標原點，向量為坐標原點，向量 (1(1，2 2，3)3)， (2(2，1 1，2)2)， (1(1，1 1，2)2)，點，點Q Q在直線在直線OPOP上運動，則當上運動，則當 取得最取得最小值時，求點小值時，求點Q Q的坐標的坐標OAOB OP QA QB 【解題探究【解題探究】1.1.題題(1)(1)中能建立與點中能建立與點C C坐標有關(guān)的等式嗎？是哪坐標有關(guān)的等式嗎？是哪一個？一個？ 向量的坐標是多少？向量的坐標是多少？2.2.題題(2)(2)中向量中向量 與與 的關(guān)系如何？可得到的向量關(guān)系式是的關(guān)系如何？可得到的向量關(guān)系式是什么？向量什么？向量 與向量與向

23、量 怎樣用向量怎樣用向量 來表示？來表示？AB OQ OP QAQB OA OBOP ， ，【探究提示【探究提示】1.1.能建立與點能建立與點C C坐標有關(guān)的等式，是坐標有關(guān)的等式，是 ( (3 3，2 2，4).4).2.2.向量向量 與與 共線，可設(shè)共線，可設(shè) 則則2OCAB5 ，AB OQ OP OQOP. QA OA OQ OAOP ，QB OB OQ OBOP. 【自主解答【自主解答】(1)(1)選選A.A.設(shè)點設(shè)點C C坐標為坐標為(x(x，y y，z)z)，則則 (x(x，y y，z)z)又又 ( (3 3，2 2，4)4)，所以所以 (2)(2)設(shè)設(shè) 所以所以(1(1，2 2，

24、3)3)(1(1，1 1，2)2)(1(1，2 2，3 32)2)，(2(2，1 1，2)2)(1(1，1 1，2)2)(2(2，1 1，2 22)2)，OC AB 2OCAB5 ，648xyz.555 ， ， OQOP ，QA OA OQ OAOP QB OB OQ OBOP 則則 (1(1，2 2，3 32)2)(2(2，1 1，2 22)2)(1(1)(2)(2)(2(2)(1)(1)(3(32)(22)(22)2)662 216161010，所以當所以當 時，時， 取得最小值取得最小值又又所以，所求點所以，所求點Q Q的坐標為的坐標為QA QB 43QA QB 44 4 8OQOP11

25、 2().33 3 3 ， ， ，4 4 8().3 3 3，【方法技巧【方法技巧】空間向量坐標的求法空間向量坐標的求法(1)(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定，可先求其兩端點的坐標的坐標確定，可先求其兩端點的坐標(2)(2)利用運算求坐標：通過空間向量間的坐標運算求得新向量利用運算求坐標：通過空間向量間的坐標運算求得新向量的坐標的坐標(3)(3)利用方程組求坐標：給出條件求空間向量坐標的問題，可利用方程組求坐標：給出條件求空間向量坐標的問題，可先設(shè)出向量的坐標，然后通過建立方程組，解方程組求其坐先設(shè)出向量的坐標

26、，然后通過建立方程組，解方程組求其坐標標【變式訓練【變式訓練】已知已知O O為原點，為原點，A A，B B，C C，D D四點的坐標分別為：四點的坐標分別為：A(2A(2，4 4，1)1)，B(3B(3，2 2，0)0)，C(C(2 2，1 1，4)4)，D(6D(6，3 3，2)2)求滿足下列條件的點求滿足下列條件的點P P的坐標的坐標 1 OP 2 AB AC .2 AP AB DC. 【解析【解析】(1) (1) (3(3，2 2，0)0)( (2 2，1 1，4)4)(5(5，1 1，4)4)，所以所以 2(52(5，1 1，4)4)(10(10，2 2，8)8)，所以點所以點P P的

27、坐標為的坐標為(10(10，2 2，8)8)AB AC CB OP (2)(2)設(shè)設(shè)P(xP(x，y y，z)z)，則，則 (x(x2 2，y y4 4，z z1)1)又又 (1(1，6 6，1)1)， ( (8 8，2 2，2)2)，所以所以 (9(9，8 8，3)3)，所以所以(x(x2 2，y y4 4，z z1)1)(9(9，8 8，3)3)，所以所以 解得解得所以點所以點P P的坐標為的坐標為(11(11，4 4，2)2)AP DC AB AB DC x29y48z13 ，x11y4z2 ，【誤區(qū)警示【誤區(qū)警示】本題給出了求點本題給出了求點P P坐標的兩種情況坐標的兩種情況, ,要注

28、意當向量要注意當向量的始點不為原點時的始點不為原點時, ,求終點坐標需將向量的坐標加上始點坐標求終點坐標需將向量的坐標加上始點坐標. .解答此類問題解答此類問題, ,要注意向量的起點是否在原點要注意向量的起點是否在原點, ,即即 =(x=(xB B,y,yB B,z,zB B) )-(x-(xA A,y,yA A,z,zA A).).AB 【補償訓練【補償訓練】已知已知ABCABC中，中，A(2A(2，5 5，3)3)， (4(4，1 1，2)2)， (3(3，2 2，5)5)，求頂點，求頂點B B，C C的坐標及的坐標及【解析【解析】設(shè)設(shè)B(xB(x，y y，z)z)，C(xC(x1 1，y

29、 y1 1，z z1 1) )，所以所以 (x(x2 2，y y5 5，z z3)3)， (x(x1 1x x，y y1 1y y，z z1 1z)z)因為因為 (4(4，1 1，2)2)，所以，所以 解得解得所以所以B B的坐標為的坐標為(6(6，4 4，5)5)AB BC CA. AB BC AB x24y51z32，x6y4z5 ，因為因為 (3(3，2 2，5)5)，所以所以 解得解得所以所以C C的坐標為的坐標為(9(9，6 6，10)10)， ( (7 7，1 1，7)7)BC 111x63y42z55 ，111x9y6z10 ，CA 類型二類型二 坐標形式下的平行與垂直坐標形式下

30、的平行與垂直【典例【典例2 2】(1)(1)若若a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3),),則則 是是ab的的( () )A.A.充分不必要條件充分不必要條件 B.B.必要不充分條件必要不充分條件C.C.充要條件充要條件 D.D.既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件312123aaabbb(2)(2)已知空間三點已知空間三點A(A(2 2，0 0，2)2)，B(B(1 1，1 1，2)2)，C(C(3 3，0 0，4)4)設(shè)設(shè)設(shè)設(shè)| |c| |3 3，c ，求，求c；若若k kab與與k ka2 2b互相垂直，求互相垂直，

31、求k.k.ABAC. ， abBC 【解題探究【解題探究】1.1.題題(1)(1)中根據(jù)充要條件的相關(guān)知識考慮此命題中根據(jù)充要條件的相關(guān)知識考慮此命題的條件是什么？的條件是什么？2.2.題題(2)(2)中由條件中由條件c ，能得到的向量，能得到的向量c與向量與向量 的關(guān)系式的關(guān)系式是什么？向量是什么？向量k kab與與k ka2 2b互相垂直，其數(shù)量積的值等于多互相垂直，其數(shù)量積的值等于多少？少？【探究提示【探究提示】1. 1. 是條件是條件. .2.2.由條件由條件c 能得到的向量能得到的向量c與向量與向量 的關(guān)系式是的關(guān)系式是c ，向量，向量k kab與與k ka2 2b互相垂直，其數(shù)量積

32、的值等于互相垂直，其數(shù)量積的值等于0.0.BC BC 312123aaabbbBC BC BC 【自主解答【自主解答】(1)(1)選選A.A.設(shè)設(shè) k k，易知，易知ab，即條件，即條件具有充分性又當具有充分性又當b0時，時，b(0(0，0 0，0)0)，雖有雖有ab，但條件，但條件 顯然不成立，所以條件不具有顯然不成立，所以條件不具有必要性，故選必要性，故選A.A.312123aaabbb312123aaabbb(2)(2)因為因為 ( (2 2，1 1，2)2)且且c ，所以設(shè)所以設(shè)c ( (22，2)(R)2)(R)所以所以| |c| | 3|3|3.3.解得解得1.1.所以所以c( (

33、2 2，1 1，2)2)或或c(2(2，1 1，2)2)BC BC BC 22222 因為因為a (1(1，1 1，0)0)，b ( (1 1，0 0，2)2)，所以所以k kab(k(k1 1，k k，2)2)，k ka2 2b(k(k2 2，k k，4)4)因為因為(k(kab)(k)(ka2 2b) )，所以，所以(k(kab) )(k(ka2 2b) )0.0.即即(k(k1 1，k k，2)2)(k(k2 2，k k，4)4)2k2k2 2k k10100.0.解得解得k k2 2或或k kAB AC 5.2【延伸探究【延伸探究】將本例將本例(2)(2)中中“若若k kab與與k k

34、a2 2b互相垂直互相垂直”改改為為“若若k kab與與ak kb互相平行互相平行”，其他條件不變，求，其他條件不變，求k k的值的值【解析【解析】a( (1 12 2，1 10 0，2 22)2)(1(1，1 1，0)0)，b( (3 32 2，0 00 0，4 42)2)( (1 1，0 0，2)2)，所以所以k kab(k(k，k k，0)0)( (1 1，0 0，2)2)(k(k1 1，k k，2)2)ak kb(1(1，1 1，0)0)( (k k，0 0，2k)2k)(1(1k k，1 1，2k)2k)，因為因為k kab與與ak kb平行，所以平行，所以k kab(ak kb)

35、)，即即(k(k1 1，k k，2)2)(1(1k k，1 1，2k)2k)，所以所以 則則 或或k11kk122k ，k11 ，k11. ，【方法技巧【方法技巧】向量平行與垂直問題的兩種類型向量平行與垂直問題的兩種類型(1)(1)平行與垂直的判斷平行與垂直的判斷. .應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向應(yīng)用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線；量是否共線；判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0.0.(2)(2)利用平行與垂直求參

36、數(shù)或其他問題，即平行與垂直的應(yīng)利用平行與垂直求參數(shù)或其他問題，即平行與垂直的應(yīng)用解題時要注意：用解題時要注意：適當引入?yún)?shù)適當引入?yún)?shù)( (比如向量比如向量a，b平行，可平行，可設(shè)設(shè)ab) )，建立關(guān)于參數(shù)的方程；，建立關(guān)于參數(shù)的方程；選擇坐標形式，以達到選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的簡化運算的目的【變式訓練【變式訓練】已知空間三個向量已知空間三個向量a=(1,-2,z),=(1,-2,z),b=(x,2,-4),=(x,2,-4),c=(-1,y,3),=(-1,y,3),若它們分別兩兩垂直若它們分別兩兩垂直, ,則則x=x=, ,y=y=,z=,z=. .【解析【解析】因為因為ab,

37、,所以所以x-4-4z=0.x-4-4z=0.因為因為ac, ,所以所以-1+(-2)y+3z=0.-1+(-2)y+3z=0.因為因為bc, ,所以所以-x+2y-12=0,-x+2y-12=0,所以所以x=-64,y=-26,z=-17.x=-64,y=-26,z=-17.答案答案: :-64-64-26-26-17-17【補償訓練【補償訓練】已知已知a=(1,5,-1),=(1,5,-1),b=(-2,3,5).=(-2,3,5).(1)(1)若若(k(ka+ +b)()(a-3-3b),),求求k k的值的值. .(2)(2)若若(k(ka+ +b)()(a-3-3b),),求求k k

38、的值的值. .【解題指南【解題指南】先對向量先對向量(k(ka+ +b) )與與( (a-3-3b) )進行化簡用坐標表示進行化簡用坐標表示, ,再利用平行與垂直的關(guān)系式求對應(yīng)再利用平行與垂直的關(guān)系式求對應(yīng)k k的值的值. .【解析【解析】k kab(k(k2 2，5k5k3 3，k k5)5)，a3 3b(1(13 32 2，5 53 33 3，1 13 35)5)(7(7，4 4，16)16)(1)(1)因為因為(k(kab)()(a3 3b) )，所以所以 解得解得k k(2)(2)因為因為(k(kab)()(a3 3b) )，所以所以(k(k2)2)7 7(5k(5k3)3)( (4)

39、4)( (k k5)5)( (16)16)0 0，解得解得k kk25k3k57416 ，1.3106.3類型三類型三 向量夾角與長度的計算向量夾角與長度的計算【典例【典例3 3】(1)(1)已知已知A A點的坐標是點的坐標是(-1(-1，-2-2，6)6)，B B點的坐標是點的坐標是(1(1，2 2，-6)-6)，O O為坐標原點，則向量為坐標原點，則向量 與與 的夾角是的夾角是( )( )(2)(2)已知正四棱錐已知正四棱錐S-ABCDS-ABCD的側(cè)棱長為的側(cè)棱長為 底面的邊長為底面的邊長為E E是是SASA的中點，求的中點，求 與與 的夾角的夾角OAOB 3A.0 B. C. D.22

40、2，3，BE SC【解題探究【解題探究】1.1.題題(1)(1)中如何求中如何求| | |，| | |的值？的值？2.2.題題(2)(2)中如何由正四棱錐的特點建立空間直角坐標系？中如何由正四棱錐的特點建立空間直角坐標系？ 與與 的夾角公式是什么？的夾角公式是什么？【探究提示【探究提示】1.1.利用向量利用向量 的坐標，求對應(yīng)向量的模的坐標，求對應(yīng)向量的模. .2.2.因正四棱錐的頂點在底面上的射影是底面的中心，故以正方因正四棱錐的頂點在底面上的射影是底面的中心，故以正方形形ABCDABCD的中心為坐標原點建立坐標系較好的中心為坐標原點建立坐標系較好.cos.cos OAOB OA OB ，B

41、ESC ，BE SC.BE SC BE SC【自主解答【自主解答】(1)(1)選選C.cosC.cos = = 所以所以 =.=.OA OB ，OA OBOA |OB| 14361.1436 1436 OA OB ，(2)(2)建立如圖所示的空間直角坐標系由于建立如圖所示的空間直角坐標系由于可以求得可以求得SOSO 則則由于由于E E為為SASA的中點，的中點，所以所以所以所以AB3SA2，2.2333333B(0)A(0)C(0)222222，2S(0 0).2， ，332E()444，33 32BE ()444 ，332SC ()222，因為因為 所以所以所以所以 120120. .BE

42、SC1 BE2 ，SC2，11cosBESC222 ， ，BESC ，【方法技巧【方法技巧】求兩直線夾角的步驟求兩直線夾角的步驟(1)(1)建系：結(jié)合圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系，建系原則是建系：結(jié)合圖形建立適當?shù)目臻g直角坐標系，建系原則是讓盡可能多的點落到坐標軸上讓盡可能多的點落到坐標軸上. .(2)(2)求方向向量：依據(jù)點的坐標求出直線方向向量的坐標求方向向量：依據(jù)點的坐標求出直線方向向量的坐標. .(3)(3)代入公式：利用兩向量的夾角公式計算兩直線方向向量的代入公式：利用兩向量的夾角公式計算兩直線方向向量的夾角夾角. .(4)(4)轉(zhuǎn)化：把兩向量的夾角轉(zhuǎn)化為異面直線的夾角時注意角的轉(zhuǎn)化

43、：把兩向量的夾角轉(zhuǎn)化為異面直線的夾角時注意角的范圍范圍. .【變式訓練【變式訓練】如圖如圖, ,在直棱柱在直棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,CA=CB=1,BCA=90,CA=CB=1,BCA=90, ,棱棱AAAA1 1=2,M,N=2,M,N分別分別是是A A1 1B B1 1,A,A1 1A A的中點的中點. .(1)(1)求求 的長的長. .(2)(2)求求coscos 的值的值BN 11BA CB ，【解析【解析】由于由于CA,CB,CCCA,CB,CC1 1兩兩互相垂直兩兩互相垂直, ,故以故以C C為坐標原點為坐標原點, ,分別分別以以CA,CB,CC

44、CA,CB,CC1 1所在的直線為所在的直線為x x軸軸,y,y軸軸,z,z軸軸, ,建立如圖所示的空間建立如圖所示的空間直角坐標系直角坐標系. .(1)(1)依題意知依題意知B(0B(0，1 1，0)0)，N(1N(1，0 0，1)1)，故故 (2)(2)由上易知由上易知A A1 1(1(1，0 0，2)2)，B(0B(0，1 1，0)0)，C(0C(0，0 0，0)0)，B B1 1(0(0，1 1，2)2)，于是于是 (1(1，1 1，2)2)， (0(0，1 1，2)2)， 3 3，| | | | | |故故coscos 222BN1 00 11 03. |1BA 1CB 11BA C

45、B 1CB 1BA 11BA CB ，1111BA CB30.10BA CB 6，5.【補償訓練【補償訓練】在棱長為在棱長為1 1的正方體的正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分別是分別是D D1 1D,BDD,BD的中點的中點,G,G在棱在棱CDCD上上, ,且且CG= CD,HCG= CD,H是是C C1 1G G的中點的中點. .利用空間利用空間向量解決下列問題向量解決下列問題: :(1)(1)求求EFEF與與B B1 1C C所成的角所成的角. .(2)(2)求求F,HF,H兩點間的距離兩點間的距離. .14【解析【解析】如圖所示，以如圖所示，以 為單位正交基底建立空間直為單位正交基底建立空間直角坐標系角坐標系D-xyzD-xyz，則，則D(0D(0，0 0，0)0)，E(0E(0，0 0， ) )，F(xiàn)( 0)F( 0)，C(0C(0，1 1，0)0