2019年重慶高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案解析

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(重慶卷)數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)(答案解析)、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題5分，滿分50分.(1).2.3.4復(fù)數(shù)1 -i(A)(C)11 .-i2 211 .-i2 2(B)(D)-1 1i解析：選B.234i i i _ -1 -i 11-i - 1 -i-i 1 i 1 -iJ 1 i(2) “x<1” 是 “ x21 A0” 的(A)充分而不必要條件(B)(C)充要條件(D)必要而不充分條件既不充分也不必要條解析：選 A. X2 -1 A0U x>1或，x < -1 ,故 " x <-1 ” 是 “X2-

2、1A0” 的充分而不必要條件(3) 已知 lim 1 2 + ax 7 =2，貝U a =x： l x -13x(A) -6 (B) 2(C) 3(D)6解析：選D.lim2 十空 1 lim -ax-x，1 = 1而"飛一5)"1T°lx-13x J3x(x-1) f 3x -3x二2(4) (1+3xf (其中nWN且a6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n =(A) 6(B)7(C) 8(D)9解析：選Bo (1+3乂加勺通項為十=比(3乂1故x5與x6的系數(shù)分別為C；35和C636,令他們相等，得:35n!5! n -5 !6! n -6 !36 ,解得

3、n =7(5)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x) = lg(2 x),在其上為增函數(shù)的是(A)(一二,1(B) -1,4一 3-3(C) 0, 2)(D) 1,2)解析：選Do用圖像法解決，將y = lgx的圖像關(guān)于y軸對稱得到y(tǒng) = lg(x),再向右平移兩個單位，得到y(tǒng) =lg(-(x-2),將得到的圖像在x軸下方的部分翻折上來，即得到f(x) = lg(2-x)的圖像。由圖像，選項中f(x)是增函數(shù)的顯然只有D(6)若AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊a,b,c滿足(a+ b)2 c2 = 4 ,且C = 600,則 ab的值為(A) 4(B) 8-4、.33(C)1(D) |解析：選 Ao 由(a

4、+b)2 c2 =4 得 a2+b2+2ab c2 =4 ,由 C = 60° 得，解得ab=4 23222_a b -c4 -2abcosC =2ab 2ab1 4 .(7)已知a>0, b>0, a+b=2,則y =+4的最小值是 a b(B) 4(D) 5因 為 a+b=2(A) 729(C) 92解 析： 選 C 。1 4a1b4y1y ab.02b 2(8)在圓x2 +y2 -2x-6y=0內(nèi)，過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別為 AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(A) 5.2(B) 10.2(C) 15立(D) 2072解析：選B ,由題意，AC為直徑，

5、設(shè)圓心為 F,則FE_L BD,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2- 23 1 -(x-1 ) +(y-3) =10,故 F (1,3),由止匕，易得：AC =2歷，又 kEF =2 ,1+1-325-2= 75,由此得,1-01所以直線BD的萬程為y = _1x+1, F至IJBD的距離為 21 .1-BD -2 5 所以四邊形 ABCD 的面積為ACBD = 2,5 2 10 =10.2 222(9)圖為注的四棱錐S-ABCD勺底面是邊長為1的正萬形，點S、A、B、C、D 4(A)(C)解析:均在半徑為1的同一球面上，則底面 ABCD的中心與頂點S之間的距離為(B)(D) -、2 22選C.設(shè)底面中心為G,

6、球心為O,則易得AG=,于是OG= J ,用22.、2 .一個與ABCD所在平面距離等于 注的平面去截球，S便為其中一個父點，此平4面的中心設(shè)為 H,貝tj OH =也C = C ,故SH2=12-Y2 =7,故 244、4 ,8SG= JSH2 +HG2 =+整=1V8。(10)設(shè)m, k為整數(shù)，方程mx2 -kx+2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個不同的根，貝U m+k的最小值為(A) -8(B) 8(C) 12(D) 13解析：選D.設(shè)f (x)=mx2-kx + 2,則方程mx2-kx+2 = 0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩f (0)f (1 )A0, . .k,.一一.個不同的根等價于0 0&

7、lt;<1 ,因為"0)=2,所以f(1)=m-k + 2>0 ,故 2mk2 -8m 0拋物線開口向上，于是 m>0, 0<k<2m,令m = 1,則由k2-8mA0,得k之3,- k 3k 5則m> 之一，所以 m至少為2,但k -8m > 0 ,故k至少為5,又m a 之一，2 22 2所以m至少為3,又由m：>k-2 = 5-2,所以m至少為4,依次類推，發(fā)現(xiàn)當(dāng)m=6,k=7時，m,k首次滿足所有條件，故m + k的最小值為13二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案寫在答題卡相應(yīng) 位置上。(11)在等差數(shù)列an

8、中，a3+a7=37,則 a2+a4+ a6+a8 = 解析:（12）74. a? + a8 = a4 + a6 = a3 + a7 = 37 ,故 a2 + a4+ a6 + a8 = 2 父 37 = 74-CjT TT已知單位向量ci,Cj的夾角為60s ,則2c解析:2Ci - Cjcj -4cUcj =4 1-4 cos6O -3(13)將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為人一 11解析：一 0硬幣投擲6次，有三類情況，正面次數(shù)比反面次數(shù)多；反面次32數(shù)比正面次數(shù)多；正面次數(shù)而后反面次數(shù)一樣多；，概率為唱125,的概率顯然相同，故的概率為161-156

9、 11232（14）已知sin a =- +cosa ,且a匚，0,一，則的值為22sin（：-）4解析：-義一o 由題設(shè)條件易得：sin a +cosa =-,故 22.,二、2 .2sin（二-）=sin ”-cos = 二 424cos2- - sin，口 cos：工 Jsin： -cos：=7了，所以cos2：jisin（二-）4(15)設(shè)圓C位于拋物線y2=2x與直線x = 3所組成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi), 則圓C的半徑能取到的最大值為 解析：圾-1。 為使圓C的半徑取到最大值，顯然圓心應(yīng)該在 x軸上且與直線 x=3相切，設(shè)圓C的半徑為r,則圓C的方程為(x + r-3)2 + y

10、2 = r2,將其與y2=2x聯(lián)立得：x2 +2(r -2)x+9-6r =0 ,令4 = 2(.2)|2 _4(9 6r )=0 ,并由 r a 0,得：r = V6 1三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和清 算步驟(16)(本小題滿分13分)設(shè) a w R, f (x )=cosx(asinx -cosx )+cos2 ix| 滿足 f(_1)=f ( 0)求函數(shù)|熏 11二f(x)在 I, i_4 24上的最大值和最小值2. 2 a .斛析： f x = asinxcosxcos x sin x = sin2x-cos2x二.3. a 1由行一學(xué)萬十萬二一

11、1,解行:a = 2x3因此 f x =、. 3sin2x cos2x =2sin i2x-一 6當(dāng)小弟時,2x -一 一, 一6 13 2,f(x )為增函數(shù),三 一 3二2x,612 4,f(x)為減函數(shù),所以f(x施& 24JI2又因為f(土)=73, f4生= .224所以f(x )在五號上的最小值為f924(17)(本小題滿分13分。(I)小問5分(H)小問8分.)某市公租房房屋位于 A.B.C三個地區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房屋，且申請其中任一個片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任4位申請人中：(I )若有2人申請A片區(qū)房屋的概率；(n)申請的房屋在片區(qū)的個數(shù)的 之分

12、布列與期望。解析：(I)所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區(qū)房源的申請C2 228萬式有C"22種，從而恰有2人申請A片區(qū)房源的概率為4-7(H)亡的所有可能值為1,2,3.又31 .一p =1 =矛=27，p =2 =32 7C32 24 -214_ 2 3C4A34342734 一 9綜上知，七的分布列為：12p 工1427271144 65從而有E =123 -27279 27(18)(本小題滿分13分。(I)小題6分(H)小題7分。)設(shè) f (x) = x3 +ax2 +bx+1 的導(dǎo)數(shù) f'(x)滿足 f'(1 > 2 f H) bM 中常數(shù)

13、a,b R.(I)求曲線y = f (x)在點(1, f(1)處的切線方程。(H)設(shè)g(x )= f'(x)e«.求函數(shù)g(x )的極值。解析：(I)因 f (x )=x3+ax2+bx + 1 ,故 f'(x )=3x2+2ax+b ,令 x=1 ,得 f'(1 )=3 + 2a + b,由已知 f'(1 )=2a ,解得 b = 33又令 x=2,得 f (2)=12+4a+b ,由已知 f (2)=-b,解得 a =、23 o 5因止匕 f (x )=x3 -x2 -3x+1 ,從而 f (1)=-又因為f'(1 )= 2a = -3,故

14、曲線y = f (x).在點(1,f (1)處的切線方程為5)y . j= 3(x1 ),即 6x+2y 1 = 0I 2)'(H)由(I)知，g(x)=(3x2 3x3足f ,從而有 g'(x)=(3x2+9x)eT , 令 g '(x )= 0 ,解得 Xi =0, x2 = 3。當(dāng)x(f0)時,gx)<0,故g(x )在(血,0 )為減函數(shù)，當(dāng) XW(0,3)時，gx)A0,故 g(x)在(0,3)為增函數(shù)，當(dāng)xw(3,2)時，gx)<0,故g(x詐(3,收)為減函數(shù)，從而函數(shù)g(x)在xi = 0處取得極小值g(0)=_3 ,在x2 =3出取得極大值

15、g 3 = iM(19)本小題滿分12分，(I)小問5分，(H)小問7分。如圖，在四面體 ABCD 中，平面 ABC ± ACD, AB，BC AD =CD ,/ CAD =300(I)若AD=2, AB =2 BC ,求四邊形ABCD的體積。(H)若二面角C-AB-D為60°,求異面直線AD與BCT成角的余弦值。解析：(I)如圖所示，設(shè)F為AC的中點，由于AD=CDW以DU AC.故 由平面 ABC ± ACD ,知 DFL 平面 ABC ,即 DF = ADsin30 =1,AF =ADcos30，=向。在 RtAABC 中，因 AC =2AF = 2« ,AB=2BC,有勾股定理易得 bc= ",ab= 4故四面體ABCD勺體積VSabcLDF.3從而GH BC =EF =a 6 "”3 A3 2555(n)如圖所示設(shè) G、H分別為變CD, BD的中點，則FG/AD,GH/BC,從而 /FGH是異面直線AD與BCf成角或其補角。設(shè)E為邊AB的中點，WJ EFBC由ABLBC知EFLAB,又由(I)有 DF ，平面ABC ,故由三垂線定理知DE ± A