2019版一輪優(yōu)化探究文數(shù)練習(xí)：第十章第四節(jié)直接證明與間接證明含解析

1、卜知能提升、填空題1. 給出下列命題：b a<b<0? -<1；a a<-<0? a-2<b-2；a a>, c>d, abcdM0? 一>亍;c d a>b>0, c>d>0? 寸寸-.其中為真命題的是 .（填所有正確命題的代號(hào)）解析：利用不等式的性質(zhì)，根據(jù)條件利用綜合法可知正確，不正確.答案：2. 已知函數(shù) f（x） =（2）x, a, b 是正實(shí)數(shù)，A= f（an）, B= f（, ab）, C=彳（詈）, 則A、B、C的大小關(guān)系為.解析：>Ot,1又f（x）二（2）x在R上是減函數(shù)，“,a+ b 2ab

2、-f(亍)wf( ab)<f(a),即 AW B< C.答案：AW B< C3.設(shè)m, n為兩條線,a B為兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)命題:m?？m/Bm / nm/ Bm? a?n心n? B.a丄B? m, n異面；m/ a丄B其中真命題是.解析：對(duì)于命題，也可能n? B,故錯(cuò)誤；對(duì)于命題直線 m、n也可能平行 或相交，故錯(cuò)誤；對(duì)于命題，m與B也可能平行，故錯(cuò)誤；命題正確. 答案：4. 設(shè)a=念一込，b = 7675, c=/7 76,則a、b、c的大小順序是 .1解析：V a= 3- 23+飛，b= 6- 5=6+冷，* 7- 6= 7+理，若比較a, b, c的大小，只要比

3、較 3+ 2, 6+ 5, _7+.6的大小.V 7+ _6> 6+ _5> 3+ 2>0,._11 羽+ 謔<V6+ V5<V3+V2，二 c<b<a.答案：a>b>c1115. 設(shè) x, y, z (0, +x), a= x+ y, b = y+z, c= z+ -,貝U a, b, c三數(shù).y厶入 至少有一個(gè)不大于2 都小于2 至少有一個(gè)不小于2 都大于2111解析：a+ b+ c= x+_ + y+ z+-6,y 3 z x ，因此a, b, c至少有一個(gè)不小于2.答案：6. 某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下一個(gè)問題：函數(shù)f(x)在0,1

4、上有意義，且f(0) =1f(1),如果對(duì)于不同的 X1,X2 0,1，都有 |f(X1) f(X2)|<|X1 X2|,求證：f(X1) f(x2)|<.那么他的反設(shè)應(yīng)該是.解析：該命題為全稱命題，其否定為特稱命題.1 答案：“存在 X1 , X2 0,1，使得 |f(X1) f(X2)|<|X1 X2|且|f(X1) f(X2)|>2”7. 設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, X= £+ S2n, y= Sn(S2n+ S3n)，則x與y的大小關(guān)系為.解析：由條件知 Sn , Sbn Sn , S3n Sbn 成等比數(shù)列，所以 Sn(S3n S2n)= (S

5、2n Sn), 展開整理得 Sn+ S2n= Sn(S2n+ S3n)，所以 X= y.答案：x= y8. 如果aja+ bjb>apb+ b羽，貝U a、b應(yīng)滿足的條件是 .解析：a a+ b b>a b+ b a? ( a b)2( a+ b)>0? a>0, b>0且b.答案：a>0, b>0且 ab9. 如果 AiBiCi的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于厶 A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則下列說法正確的是. 厶AiBiCi和厶A2B2C2都是銳角三角形 厶AiBiCi和厶A2B2C2都是鈍角三角形 厶AiBiCi是鈍角三角形， A2B2C2是銳角三

6、角形 厶AiBiCi是銳角三角形， A2B2C2是鈍角三角形解析：由條件知， AiBiCi的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則厶AiBiCi是銳角三 角形，假設(shè) A2B2C2是銳角三角形._n_ n ""sin A2= cos Ai = sin(2 Ai)" A2 = 2Ain n由 sin B2= cos Bi = sin 2 Bi，得 B2 = 2 Bi. nnI sin C2= cos Ci = sin(2 Ci). C2 = 2 Ci那么，A2+ B2+ C2=n，這與三角形內(nèi)角和為i80o相矛盾.所以假設(shè)不成立，所以厶A2B2C2是鈍角三角形.答案：二、解答題

7、10. 設(shè) a， b 均為正數(shù)，且 a b，求證：a3 + b3>a2b+ ab2.證明：證法一(分析法)要證 a3 + b3>a2b+ ab2 成立，只需證(a+ b)(a2 ab+ b2)>ab(a+ b)成立.又因?yàn)閍+ b>0，只需證a2 ab+ b2>ab成立.只需證a2 2ab+ b2>0成立，即需證(a b)2>0成立.而依題設(shè)a b，則(a b)2>0顯然成立，由此命題得證.證法二(綜合法)2 2 2 2 2ab? a0? (a b)2>0? a2 2ab+ b2>0? a2 ab+ b2>ab.(*)而a, b

8、均為正數(shù)， a+ b>0,由(*)式即得(a+ b)(a? ab+ b?)>ab(a+ b),.3322-a + b >a b+ ab .11已知a, b, c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，用反證法證明三個(gè)方程ax2 + 2bx+ c=0, b + 2cx+ a= 0, c點(diǎn)+ 2ax+ b= 0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.證明：假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根，則 = 4b2 4ac< 0,2&= 4c 4ab< 0,2蟲=4a 4bc< 0.上述三個(gè)式子相加得：a2 2ab + b2 + b2 2bc+ c2 + c2 2ac+ a2 < 0.即(

9、a b) + (b c) + (c a) w 0.由已知a, b, c是互不相等的非零實(shí)數(shù)，上式“=”不能同時(shí)成立，即(a b+ (b c)2 + (c a<0，與事實(shí)不符,假設(shè)不成立，原結(jié)論成立.即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.12.已知數(shù)列an滿足：ai = 2, 3 ：+丁1 二2 1 + an , anan+i<0(n1),數(shù)列bn2 I anI an + 122滿足：bn &+1 an(n1).(1) 求數(shù)列an , bn的通項(xiàng)公式；(2) 證明：數(shù)列 bn中的任意三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列.2 2 2解析：(1)由題意可知，1 an+1 3(1 an).令 Cn 1 a2，貝U cn+1 |cn.又C1 1 a1 4，則數(shù)列cn是首項(xiàng)為C14，公比為3的等比數(shù)列，即cn (f)"2 3 2、n 12故 1 an 4 (3)? an又 a1 2>0, anan+1<0,故 an= ( 1)n13 2n 114(3)bn= a2 + 1 an= (1 3 (|)n) (1 3 (f)n-1)1 (3)n 1 (2)證明：仮證法)假設(shè)數(shù)列bn存在三項(xiàng)br, bs, bt(rvs<t)按某種順序成等差數(shù)列，1 2由于數(shù)列bn是首項(xiàng)為1,公比為|的等比數(shù)列，于是有br>bs>bt,則