12極坐標(biāo)系 (2)

1、從這向北從這向北2000米。米。請問：去請問：去?中學(xué)怎么走？中學(xué)怎么走？請分析上面這句話，他告訴了問路人請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？什么？從 這 向 北 走從 這 向 北 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出發(fā)點出發(fā)點方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用表示一點的位置。這種用方向方向和和距離距離表表示平面上一點的位置的思想，就是極坐示平面上一點的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。標(biāo)的基本思想。一、極坐標(biāo)系的建立：一、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點在平面內(nèi)取一個定點O，叫做，叫做極點極點。引一條射線引一條射線OX，叫做

2、，叫做極軸極軸。再選定一個長度單位再選定一個長度單位和和角度單位角度單位及及它的正它的正方向方向（通常取逆時針（通常取逆時針方向）。方向）。這樣就建立了一個這樣就建立了一個極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系。XO二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)的規(guī)定XOM 對于平面上任意一點對于平面上任意一點MM，用，用 表示線段表示線段OMOM的的長度，用長度，用 表示從表示從OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做點叫做點MM的的極徑極徑， 叫做點叫做點MM的的極極角角，有序數(shù)對，有序數(shù)對（ ， ）就就叫做叫做MM的極坐標(biāo)。的極坐標(biāo)。特別強調(diào)：特別強調(diào)： 表示線段表示線段OM的長度，即點的長

3、度，即點M到到極點極點O的距離；的距離； 表示從表示從OX到到OM的角度，即的角度，即以以O(shè)X（極軸）為始邊，（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。為終邊的角。題組一題組一：說出下圖中各點的極坐標(biāo)：說出下圖中各點的極坐標(biāo)ABCDEFGOX46535342 平面上一點的極坐標(biāo)是否唯一？平面上一點的極坐標(biāo)是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達式？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達式？ 特別規(guī)定：特別規(guī)定： 當(dāng)當(dāng)M在極點時，它的在極點時，它的極坐標(biāo)極坐標(biāo) =0， 可以取任意值?？梢匀∪我庵?。想一

4、想？想一想？三、點的極坐標(biāo)的表達式的研究三、點的極坐標(biāo)的表達式的研究XOM 如圖：如圖：OM的長度為的長度為4，4請說出點請說出點M的極坐標(biāo)的其的極坐標(biāo)的其他表達式。他表達式。思：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思考：這些極角有何關(guān)系？思考：這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。就是說它們是終邊相同的角。本題點本題點M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達式：的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達式：4 2k+4 ，極徑相同，不同的是極角極徑相同，不同的是極角(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6,)3ABCD

5、EFG 題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列各點題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列各點46535342 ABCDEFGOX四、極坐標(biāo)系下點與它的極坐標(biāo)的四、極坐標(biāo)系下點與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況對應(yīng)情況1給定（給定（ , ）,就可以在就可以在極坐標(biāo)極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的平面內(nèi)確定唯一的一點一點M。2給定平面上一點給定平面上一點M，但，但卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對應(yīng)。應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(,)如果如果限定限定0,02那么除極點外那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就平面內(nèi)的點和極坐標(biāo)就可以可以一一對應(yīng)一一對應(yīng)了了.3一點的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達式？一點的極坐標(biāo)有

6、否統(tǒng)一的表達式？小結(jié)小結(jié)1建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素極點；極軸；長度單位；角度單位和極點；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。它的正方向。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種極坐標(biāo)系內(nèi)一點的極坐標(biāo)有多少種表達式？表達式？無數(shù)，極角有無數(shù)個。無數(shù)，極角有無數(shù)個。有。（有。（，2k+）極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化平面內(nèi)的一個點的直角坐標(biāo)是平面內(nèi)的一個點的直角坐標(biāo)是(1, )3這個點如何用極坐標(biāo)表示這個點如何用極坐標(biāo)表示?Oxy在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 以原點作為極點以原點作為極點,x軸的正半軸作為極軸軸的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標(biāo)系中取相并且兩

7、種坐標(biāo)系中取相同的長度單位同的長度單位點點M的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為(1, 3)(1, 3)M設(shè)點設(shè)點M的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(,)23122 ）（ 313tan M ( 2, / 3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:設(shè)點設(shè)點M的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 (x, y) 極坐標(biāo)是極坐標(biāo)是 (,)x=cos, y=sin ) 0(tan,222 xxyyx 互化公式的三個前提條件：互化公式的三個前提條件：1. 極點與直角坐標(biāo)系的原點重合極點與直角坐標(biāo)系的原點重合;2. 極軸與直角坐標(biāo)系的極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸的正半 軸重合軸重合;3. 兩種坐標(biāo)系的單位長度相同兩種坐標(biāo)

8、系的單位長度相同.例例1. 將點將點M的極坐標(biāo)的極坐標(biāo) 化成直角坐標(biāo)化成直角坐標(biāo).2(5,)3解解: 2532cos5 x23532sin5 y所以所以, 點點M的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為)235,25( 已知下列點的極坐標(biāo)，求它們的直已知下列點的極坐標(biāo)，求它們的直角坐標(biāo)。角坐標(biāo)。)6, 3( A)2, 2( B)2, 1( C)4,23( D)43, 2( E)6, 3( A)2, 1( C)4,23( D例例2. 將點將點M的直角坐標(biāo)的直角坐標(biāo) 化成極坐標(biāo)化成極坐標(biāo).(3, 1)解解: 21)3(22 ）（ 3331tan 因為點在第三象限因為點在第三象限, 所以所以67 因此因此, 點點M的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為)67, 2( 練習(xí)練習(xí): 已知點的直角坐標(biāo)已知點的直角坐標(biāo), 求它們求它們的極