壓軸題中路徑最值問題

1、路徑最值問題11 21、如圖，已知直線 y= x+1與y軸父于點A,與X軸父于點D,拋物線y = x + bx + C與直線父于 A22E兩點，與X軸交于B、C兩點，且B點坐標為(1,0)。(1)求該拋物線的解析式；(2)動點P在軸上移動，當 PAE是直角三角形時，求點 P的坐標P。(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AM -MC |的值最大，求出點 M的坐標。72、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ c與y軸交于點A(0 , 3),與x軸分別交于B(1 , 0)、C(5 , 0)兩點.(1)求此拋物線的解析式；(2)若一個動點P自OA勺中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設為點 E),再到達拋

2、物線的對稱軸上某點 (設為點F),最后運動到點 A.求使點P運動的總路徑最短的點 E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長.3、已知，如圖11,二次函數(shù)y =ax2+2ax _3a (a #0)圖象的頂點為 H,與x軸交于A、B兩點(B在A點右 側)，點H、B關于直線l : y=43x十并對稱.31(1)求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點B作直線BK / AH交直線l于K點，M、N分別為直線 AH和直線l上的兩個動點，連接HN、 NM、MK ,求HN +NM +MK和的最小值.4、為(3,0(1),(圖 13,拋物線 y=ax2+bx + c(a0)的頂

3、點為(1,4 ),交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點的坐標y如為PQ上一動點，則3,總4/過點A的直線與拋物必于這叫肺及G H的坐標衣存下(3)如1歐拋物線上是否存在十點T，足雷普在一點H,使請說明理由x.T作x的垂線,F,其中E點的橫坐標為2,若直線PQ為拋物線的D G F、H四點圍成的四邊形周長最小 .若存在，垂足為 M,過點M作直線MM BD,交線段AD于點N,連接翻1口使 DNMhABMI若存在，落前蛾 T的坐標；若不存在，說明理由路徑最值問題11 21、如圖，已知直線 y= x+1與y軸父于點A,與X軸父于點D,拋物線y = x + bx + C與直線父于 A22E兩點，與X軸交于

4、B、C兩點，且B點坐標為(1,0)。(1)求該拋物線的解析式；(2)動點P在軸上移動，當 PAE是直角三角形時，求點 P的坐標P。解：(1)將A (0, 1)、B (1, 0)坐標代入尸二弓才+以右=13b 3/1得匕,解得NT；拋物線的解折式為L1 3 31(2)設點E的橫坐標為m則它的縱坐標為3濯2m即E點的坐標m+又二點E在直線¥1 2 3, 1,-m -m +1 = -m + l八.222 解得飛二° (舍去)，叫二%(I)當A為直角頂點時，過A作AP，D豉x軸于P1點，DO OA 2 11由 RtzXAO。RtzXPOA五=而 即=£ , a= , 11

5、(n)同理，當E為直角頂點時，左點坐標為(亍，0)；(m)當P為直角頂點時，過E作EF，x軸于F,設R (b、+ ctv個片Pl FN=Jt + 12上.E的坐標為（4, 3）;設P （a, 0）易知D點坐標為（-2, 0）1P1（3 , 0）；3）(3)在拋物線的對稱軸上找一點M,使|AM -MC |的值最大，求出點 M的坐標。1 , 由/OPA+FPE=90 ,得/OPA=FEP Rt/AO OP 1 _b由尸F(xiàn)即得43,解得4=3'幺=1綜上所述，滿足條件的點p的坐標為(3 , 0).3(m)拋物線的對稱軸為二3，: R c關于工 要使MC|最大，即是使aw-MS I最二 由三角

6、形兩邊之差小于第三邊得，工A、R M® 易知直線AB的解折式為y=-x+1,3x= ='3 _ 1 由得卜一一，/.M 丁，。AOD RtAPFE，此時的點P3的坐標為(1,0)或(3, 0)11或(1, 0)或(3, 0)或(7, 0);3=3 對稱， MC=MB1同一直線上時的值山1一最大，2、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ c與y軸交于點A(0 , 3),與x軸分別交于B(1 , 0)、C(5 , 0)兩點.(1)求此拋物線的解析式；(2)若一個動點P自OA勺中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設為點 E),再到達拋物線的對稱軸上某點(設為點F),最后運動到點 A.求使

7、點P運動的總路徑最短的點 E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長.解：(1)型據(jù)題修，c=3'川+ 3濃3 ? 18 2A所以y乂廠口/一u.解得所以拋物線解析式為55。(3如中:襁意工可得 M (0, 1)點M關于x軸的對稱點為 M' (0,-靖點A關于拋物線對稱軸 x=3的對稱點為A' (6, 3),連結A'M'根據(jù)軸對稱性及兩點間線段最短可知，A'M'的長就是所求點 P運動的最短總路徑的長所以A'M'與x軸的交點為所求 E點，與直線x=3的交點為所求F點33可求得直線A'M的解析式為y=4X- 23可得E點

8、坐標為(2, 0) , F點坐標為(3, 4)15由勾股定理可求出 A'M'= .15所以點P運動的最短總路徑(ME+EF+FA的長為工。3、已知，如圖11,二次函數(shù)y =ax2+2ax _3a (a #0)圖象的頂點為 H,與x軸交于A、B兩點(B在A點右 側)，點H、B關于直線l : y=W3x+*對稱.31(1)求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點B作直線BK / AH交直線l于K點，M、N分別為直線 AH和直線l上的兩個動點，連接HN、 NM、MK ,求HN +NM +MK和的最小值.x="Q上；y解：(B點H/y依題意，

9、得 ax2+2ax-3a=0 (aA點右側，J A點坐標為(-3(2)圈/1H B關于過A點的直線I:x +O一 .點A在直線I x,解得 x1=- 3, x2=1,B點坐標為(1,0),對稱，AH=AB=4,代入二次函數(shù)解析式，解得次函數(shù)解析式為上的+哼過頂點H作HCX AB交AB于C點,則 40 = ？4® = 2 HC = 2V3Vs(3)直線AH的解析式為yly = yx+6# + 3V5，直線bk的解析式為y =-落6,解得= 即* 3 2v3?則BK=4, .點H B關于直線AK對稱,. HN+MN勺最小值是MB KD = KE = 2Vq過點K作直線AH的對稱點Q,連接

10、 QK交直線AH于E,貝U QM=MkQE = EK = 2v'3, AE£ qkBM+MK勺最小值是 BQ 即 BQ的長是HN+NM+MK最小值，BK/ AH/ BKQh HEQ=90 ,由勾股定理得 QB=3. HN+NM+MK最小值為8,4、如圖13,拋物線y=ax2+bx + c(a W0)的頂點為(1,4),交x軸于A B,交 y軸于D,其中B點的坐標為(3,0)。(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點A的直線與拋物線交于點 E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標為2,若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點求出這個最小值及 G H的坐標

11、；若不存在，請說明理由H,使D G F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在,(3)如圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的垂線，垂足為 M,過點M作直線MM BD,交線段AD于點N,連接MD使 DNMhABMI若存在，求出點 T的坐標；若不存在，說明理由解：(1)設所求拋物線的解析式為：¥ =次¥-1得：a=- 1所求拋物線的解析式為：.'',(2)如圖6,在y軸的負半軸上取一點I ,使得點4 ,依題意，將點B (3, 0)代入，得： 或-尸4=0在x軸上取一點 H,連接 HR HI、HG GD GE則HE HI設過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y=k

12、x + b (kw0), 點E在拋物線上且點 E的橫坐標為2,將x = 2代入拋物線3 =山切+4 ,得y -T- 點E坐標為(2, 3)又拋物線y心切+4 圖像分別與x軸、y軸交于點A B、D.,.當 y= 0 時， -一如+4=0, .x一1 或 x= 3當 x=0 時，y= 1 + 4=3, 點 A ( 1, 0),點 B (3, 0),點 D (0, 3)又.拋物線的對稱軸為：直線 x=1, 點D與點E關于PQ對稱，GD= GE分別將點 A ( 1, 0)、點E (2, 3)代入y=kx+b,得：-:求+5 = 3解得：b = l1)過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y= x+ 1當x=

13、0時，y= 1 ，點F坐標為(0,.陽=2又.點F與點I關于x軸對稱，點I坐標為(0, 1)= DG G* HI最小即可又.要使四邊形 DFHG勺周長最小，由于 DF是一個定值，只要使 由圖形的對稱性和、，可知，DG GH+ HF= EG+ GH HI只有當EI為一條直線時，EG+ GM HI最小設過 E (2, 3)、I (0, 1)兩點的函數(shù)解析式為:分別將點E (2,3)、點I (0, 1)代入二松十，,得:ffc = 2解得：-過A、E兩點的一次函數(shù)解析式為：y = 2x 1當 x= 1 時，y=1;當 y=0 時，x=上； 點G坐標為(1, 1),點H坐標為(四邊形 DFHG勺周長最小為： DF+ DU GM HF= DF+ EI由和，可知：DF+EI=2 + 2收.,四邊形DFHG勺周長最小為2 + 2加(3)如圖7,由題意可知，/ NMD= / MDB_陽要