直線和橢圓?？嫉念}目型

1、直線和圓錐曲線?？碱}型運(yùn)用的知識：1、兩條直線11 : y k1x b1,l2: y k2x b2垂直：如此k1k21 ；兩條直線垂直，如此直線所在的向量2、韋達(dá)定理：假如一元二次方程2ax bx c 0(a0)有兩個(gè)不同的根 x1, x2，如此bcX-| X2, X| x? oaa3、 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：x 勺 x2,y 上 ，其中x, y是點(diǎn)A(x1, y1), B(x2, y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)。2 24、 弦長公式：假如點(diǎn) A(X1,yJ, B(X2, y2)在直線y kx b(k 0)上，如此 y1 kx1 b, y2kx2 b，這是同點(diǎn)縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一,AB 的 x2)2

2、 (% y2)2(n x2)2 (kx! kx2)2(1 心區(qū) )2'.(1k2)(X1X2)2 4X1X2或者 I AB 認(rèn)x X)2 (y y)2 &X *X)2 (y y ¥(1訥 y)y2)2 4y2 o題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系2 2例題1、直線l : y kx 1與橢圓C : 乞 1始終有交點(diǎn)，求 m的取值X圍4 m解：1 m且 m 4 o題型二：弦的垂直平分線問題例題2、過點(diǎn)T(-1,0)作直線l與曲線N :寸x交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn) E(x°,0)，使得 ABE是等邊三角形，假如存在，求出X);假如不存在，請說

3、明理由。解：依題意知,直線的斜率存在，且不等于設(shè)直線l : yk(x1)，k 0，A(X1,yJ , B(X2,y2)。由k(X 1消y整理，得k2x2(2k21)xk20由直線和拋物線交于兩點(diǎn),(2k2 1)2 4k44k2 1 0 即0 k2由韋達(dá)定理,得:X1X22k212, X1X21 o如此線段kAB的中點(diǎn)為(2k211石石云)。線段的垂直平分線方程為:(x戶卜)令y=0,得X0k2k212?1，如此E(1 丄,0) 丁 ABE為正三角22k 2形,1 1E (喬畀)到直線AB的距離d為弓ab|7( xl X2)2 (y1 y2)21 4 k2 1 k2 d.'1 k2J3i

4、1 4k2. ；1=k22k2k得k聖滿足式，此時(shí)13Xo題型三：動弦過定點(diǎn)的問題2 2例題3、橢圓C：冷占 1(a ba2 b20)的離心率為亨且在x軸上的頂點(diǎn)分別為Ai(-2,0),A2(2,0)。丨求橢圓的方程；II假如直線l : x t(t 2)與X軸交于點(diǎn)T,點(diǎn)P為直線丨上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA,PA2分別與橢圓交于 M N點(diǎn), 通過橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論試問直線MN是否解：I由橢圓C的離心率3 , a 2,如此得c23,b 1 o2從而橢圓的方程為41 k;II設(shè) M (Xi,yJ , N(X2,y2)，直線AM的斜率為k1,如此直線A M的方程為y k1(x 2)，由y

5、kjx x2 4y22)消y整理得4(1 4k2)x2 16k2x 16k： 40丁岔口 x,是方程的兩個(gè)根,2x1216k1 4如此 X11 4k；2 8k122，1 4k124k1y1吋，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2 8k124k1 )(2,廬)，1 4k；同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2,如此得點(diǎn)N的坐標(biāo)為鑒 2, 冬)*丫卩匕住1 4k； 1 4k；p2),ypk2(t2)k1 k2k1 k2y1直線MN的方程為：X X1上一y1 ,令y=0，得xx2 x1辿，將點(diǎn)y1 y2X2WM N的坐44x 蘭又t 2 ,0-tt.橢圓的焦點(diǎn)為(3,0)標(biāo)代入，化簡后得:4.3，即 t故當(dāng)t乎時(shí)'M

6、N過橢圓的焦點(diǎn)。題型四：過曲線上定點(diǎn)的弦的問題例題4、點(diǎn)A、B2C是橢圓E：篤a27-7 1(a bb 0）上的三點(diǎn)，其中點(diǎn) A（2.3,0）是橢圓的右頂點(diǎn)，直線BC過橢圓的中心O,且ACBC0，BC如橢圓E上存在兩點(diǎn)P、Q使得直線PC與直線解：（I）BC2 AC，如圖。（I）求點(diǎn)C的坐標(biāo)與橢圓E的方程；（II）假Q(mào)C關(guān)于直線x對稱，求直線 PQ的斜率。2 AC，且BC過橢圓的中心O OCAC 叮 AC BC 0ACO -又'識（2 3,0） 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（、.3, .3）。 a（2、3,0）是橢圓的右頂點(diǎn),a 2、3，如此橢圓方程為:2 2&占1將點(diǎn)*3八3）代入方程，得b2

7、2x橢圓E的方程為122y41（11） 直線PC與直線QC關(guān)于直線x .3對稱,設(shè)直線PC的斜率為k，如此直線QC的斜率為k，從而直線PC的方程為：y ,3 k（x 、3），即ykx . 3(1 k)，由y2 kx2 3(1 k)消 y，整理得：(1 3k2)x2 6.3k(1 k)x 9k2 18k x2 3y2120-3是方程的一個(gè)根，x3 笛 3k218k 3 即Xp29k 18k 3 M=同理可得: 3(1 3k2)9k2 18k 3 .xQ3(1 3k2)kxP-3(1 k) kxQ.3(1 k) = k(xPxq)2.3k =12k 3(1 3k2)Xpxq9k2 18k 39k2

8、 18k 336k3(1 3k2).3(1 3k2).3(1 3k2) kpQyp-如此直線PQ的Xp xq 31斜率為定值丄。3題型五：面積問題2 2例題5、橢圓C:二a b1 a> b >0的離心率為 6 ,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3I求橢圓C的方程;n設(shè)直線I與橢圓C交于A B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)；'3O到直線I的距離為J ,2求厶AOB面積的最大值。解：I設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意.633,x2 2所求橢圓方程為-y 1。叮設(shè) A(xb yj , B(X2, y2)。1當(dāng)AB丄x軸時(shí)，AB J3。2當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 AB的方程為y kx m。,mi逅/曰2

9、 3八2心由，得 m (k 1)。1 k224把y kx m代入橢圓方程，整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 3 0,26 km xx 3(m1)x1x23k 13k 12AB(1 k2)(X2 xj2(12 2,2、36k mk )22(3k2 1)2212(m1)3k2 112(k2 1)(3k2 1 m2)3(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)2(3k2 1)2312k29k4 6 k2 1123(k 0) < 39k6k2124當(dāng)且僅當(dāng)2 3 69k2 $，即k二時(shí)等號成立。3當(dāng)k 0時(shí)，|AB運(yùn)，綜上所述人嘰乂 2。當(dāng)AB最大時(shí)， AOB面積取最大值A(chǔ)B 。max

10、22問題六：X圍問題本質(zhì)是函數(shù)問題2 w 例6、設(shè)F1、F2分別是橢圓y24的左、右焦點(diǎn)。I假如P是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求PF1 PF2的最大值和最小值;n設(shè)過定點(diǎn) M (0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)B，且/ AOB為銳角其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值X亂解：I易知 a 2,b 1, c 34,0,F2、.3,0 ，設(shè) P x,y，如此PF1 PF213 x, y , 3 x,y2 3因?yàn)閤 2,2，故當(dāng)x 0,即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，PF1PF2有最小值 22，即點(diǎn)P為橢圓長軸端點(diǎn)時(shí)，PF1 PF2有最大值1顯然直線x 0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l : y kx 2,A 為

11、小，B X2,y2 ,聯(lián)立y2x_4kx2，消去iy，整理得:k2-4X2 4kx 3X24k1必X24k00A0B OA OBk2490°X/2k24k20得：kcosA0BOA OByiy2yiy22kx 2 ky 2 k xi 屜 2k Xi x243k8kk2k2k2k* 2 1k20，即 k24 2故由、得2 k 或竺 k 22 22例7、設(shè)橢圓E:篤aOB ?假如題型七、存在性問題：存在點(diǎn)，存在直線 y=kx+m,存在實(shí)數(shù)，存在圖形：三角形等比、等腰、直角存在，寫出該圓的方程,并求IAB |的取值X圍，假如不存在說明理由。解：1因?yàn)闄E圓E:2 x 2 aa,b>0

12、丨過 M 2，、2，N( .6,1)兩點(diǎn),2422 ab7612.2ab所以1解得11a21I18所以12ab28橢圓E的方程為48使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn) A,B,且OA 0B,設(shè)該圓的切線方程為kx m解方程組y2x8kx2y_4x2 2(kx m)2如此 =16k2m24(1 2k2)(2m2 8)8(8k2 m2 4)0,即 8k2m2408,即(1 2k)x2 4kmx 2m2 8 0,4km1 2k2mx22m281 2k2乃乃-（甌+?。ǜ?閭=*珂兀+畑（無H陽+ /空亠咤+仁半l+2>t21 十肚,要使OAOB,需使n % y$2°即12m2

13、 82k2m2 8k21 2k20,所以3m28k20,所以k23m2 88又 8k2 m0,2所以m 23m2;,即26或m3因?yàn)橹本€ykxm為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為d,rr.1k22m,3m288263所求的圓為x28,此時(shí)圓的切線ykxm都滿足2.63而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為X2x乙6與橢圓381的兩個(gè)交點(diǎn)為（竽,竽）或（2 6332 6)滿足 OA OB,綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓x28，使得該圓的任意一條切線與橢圓3E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA OB.x（x2因?yàn)閤(x24 km1 2k22m281 2k2所以（耳一死尸二（頂十花y4珂死=32 4k4 5k2 1：32k2'；3 4k4 4k2 1' 3 4k4 4k21所以323323210 時(shí) | AB |4k21k2-因?yàn)?k2448所以014k2 右 44k2- k2412,所以4 6 |