量子力學曾謹言習題解答第九章(共43頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第九章：定態(tài)微擾論1設非簡諧振子的哈密頓量為： （為常數(shù)）取 ，試用定態(tài)微擾論求其能量及能量本征函數(shù)。 （解）一級能量本征值修正量：本題是一維、無簡并的，按本章§9.1公式，從§3.3知道一維諧振子波函數(shù)是： ，但 （1） （2）但根據(jù)§3.3，一維諧振子波函數(shù)中的厄密多項式是有宇稱的（或奇或偶），因而必定是個偶函數(shù)。（2）式中被積函數(shù)就應是奇函數(shù)，又因積分限等值異號，結果有：一級波函數(shù)修正值：據(jù)§9.1公式12b （3） 微擾矩陣元要涉及厄密多項式相乘積的積分，為此利用關于的一個遞推公式（，問題2）： （4）將此式遍乘，再重復

2、使用（4） 再將此式遍乘，重復使用（4）式 = （6）利用公式（6）來計算微擾矩陣元： 將（6）式中的換成代入前一式，并注意是正交歸一化的，即 是固定指標，故只有當取下述四值時不為零，即但要注意，當取用一個值時，就不能再取其他值，所以取定后的非零值是（7）式中某個的系數(shù)。（3）的求和是式只有四項。有： ， ， ， （9）將（7）和（9）所決定的諸值代入（3） 二能級量本征值修正量：按二級近似式是 （11）其中，二級修正量是個數(shù)量的和，它也用（7）式來計算，并也包括四個項： 2一維無限深勢阱（）中的粒子受到微擾： 的作用，求基態(tài)能量的一級修正。圖345 （解）本題是一維無簡并問題，無微擾時的能量

3、本征函數(shù) （1）能量本征值 （2）對基態(tài)，計算能量的一級修正量時，因微擾是分段連續(xù)的，因而要求兩個積分式的和 利用定積分公式： （4）代入（3）；得 附帶地指出：對于本題的粒子的激發(fā)態(tài)能量的一級修正量計算，可以用同樣步驟得到，第K個激發(fā)態(tài)的一級修正：#3設有一個三維轉(zhuǎn)子處于基態(tài)，轉(zhuǎn)動慣量I，它沿轉(zhuǎn)軸方向有一個電偶極矩現(xiàn)加上一個外電場，可以視作微擾，試用微擾論求能量二級修正值。圖347（解）三維轉(zhuǎn)子可看作啞鈴狀或棒狀體，回繞其中點0作三維的轉(zhuǎn)動，位置由球極座標決定。由于點（棒一端）的矢徑是常量，哈密頓符是：式中是轉(zhuǎn)子軸長度之半，I是轉(zhuǎn)動慣量（關于與棒身垂直的轉(zhuǎn)軸），角動量平方算符，按，公式（29

4、） （2）因此無微擾時，勢能為零，而能量本征方程式是： （3）它的解是球諧函數(shù)：能量本征值是： （4）假定轉(zhuǎn)子是電偶極子，電矩是D，則D=（電荷），同時加上沿方向的電場后，轉(zhuǎn)子獲得附加的偶矩電勢能，作為微擾看待： （5）本題限于基態(tài)能量，但最低的能級相當于，當不存在微擾時，基態(tài)能量本征值二能量修正值：可以利用球諧函數(shù)的遞推公式在計算時可在上式中令得： （9）計算時，可在（8）式中，令得： （11） （球諧函數(shù)正交性）同理可證，等都是零。零階能量 代入（7）式（僅有一項）： 本題中的球諧函數(shù)的遞推公式（8）可參看課本附錄四（）公式（37）、（38）等。#4平面內(nèi)的轉(zhuǎn)子，除了受到沿方向的均勻電場的

5、作用外，還受到沿軸方向的均勻磁場的作用，試用微擾理論計算轉(zhuǎn)子的能量。（解）平面轉(zhuǎn)子可看作繞一固定點0轉(zhuǎn)動的棒，可用棒與0軸間夾角定位，哈氏算符： （1）無微擾能量本征函數(shù)： （2）圖350轉(zhuǎn)子是一偶極子，它具有電偶極矩D，因而在平行于0軸的電場作用下具有偶極勢能： 轉(zhuǎn)子又在平行于軸的勻強磁場中運動，由于電荷的運動相當于園電流，而電流在磁場中具有磁勢能，磁勢能由磁距決定，磁距又與角動量成正比：磁距 附加磁勢能： （4）微擾算符 （5） 當微擾未加上時，轉(zhuǎn)子的本征方程式如下： （6）從這里得到能量的本征函數(shù)： （7）本征值是： （8）由此可知不論磁量子數(shù)是何值，能量總是二度簡并的，但能證明，在考慮

6、能量一級修正量時，使用非簡并微擾法和使用有簡并微擾法二者的結果，對同一值是相同的，用非簡并微擾法，先求矩陣元：這個式子可以用來計算一級和二級能量修正值。對一級能量修正： （10）對二級能量修正值：從（9）式知道，只有二種值對于有貢獻，即 ， （討論）本題按照原理應當作為有簡并的微擾問題處理，從（7）式可知相應于同一能級，對應于兩個不同的本征函數(shù)： 因此在考慮微擾時，正確的零級波函數(shù)應表示作： （11）代入有微擾的能量本征方程式以后，知道的非平凡解要求下述久期方程式成立：從矩陣元計算式（9），將代入，得 又將代入，得要求另兩個矩陣元，可以計算第一指標為-m的矩陣元，它可以從（9）式推得：此式中分

7、別代入，得， 久期方程式是其中與m對應的能量一級修正值是與非簡并法結果相同的。但是用非簡并法未能得到與m對應的一級修正值。#5 一維諧振子的哈密頓為假設它處在基態(tài)，若在加上一個彈性力作用H=1/2 bx2，試用微擾論計算H對能量的一級修正，并與嚴格解比較。 解 用非簡并微擾法，計算微擾矩陣元：（質(zhì)量記作）已知 ，能級 本題中 ， （1）引用習題（1）所用的諧振子遞推公式： (2)代入（1），再利用 正交歸一性。 （3）再計算能量二級修正量，為此要計算指標不同的矩陣元 ，用（2）式： 再利用諧振子零能級本征值公式 （但） （4）因此用微擾法算得的，正確到二級修正值的能量是： （5）如果用嚴格的本

8、征方程式求解，則本題中和的勢能為同類項可以合并，哈氏算符為 （6）直接看出，它的嚴格的能級是： （7）與近似（5）比較，發(fā)現(xiàn)近似值的絕對誤差是： 在基態(tài)的情形，可令，6設有自由粒子在長度為L的一維區(qū)域中運動，波函數(shù)滿足周期性邊界條件 波函數(shù)的形式可選作： ， 但 。設粒子還受到一個陷阱作用，a<<L。試用簡并理論計算能量一級修正。 （解）見附圖，若取勢場為中心對稱的無限深勢阱，則題給的周期性條件和能量本征函都能滿足，原點0取在勢阱中點，此點上微擾H有最大值。無微擾時，能量的本征值 （1）但由于同一能級（n一定）可以有兩個不同的本征函數(shù)因此對于k的任何值（n任何值）簡并度都是2。 按

9、照簡并微擾論，要計算微擾矩陣元： 又 根據(jù)題意： （2）前式中的積分限（，）被擴充到（，）是因為在勢阱外波函數(shù)為零，用定積分公式： （3）于是，得： （4）同理計算其它矩陣元： 積分中的被積函數(shù)是x的奇函數(shù)，又積分限又是等值異號的，所以有： （5） (6)本題正確的零級波函數(shù)寫作： 代入總的能量算符的本征方程式，設是本征方程值，則滿足久期方程式： 所求一階能量修正值： 本題的波數(shù)k和量子數(shù)n的關系亦可作（與課本一致）7 在一維無限深勢阱 中運動的粒子，受到微擾的作用討論粒子在空間幾率分布的改變。（解）一維無限深勢阱的波函數(shù)的形式與所選擇的參考系的原點有密切關系，若選取勢阱一端作為原點則能量的本

10、征函數(shù)可以是形式簡單的，作如此選擇時，若無微擾，則能量的本征函數(shù)： （k=1, 2, 3, ） (1)能量的本征值： （2）本題主要計算本征函數(shù)的近似值，計算微擾距陣元： （3）最后一式的值與k, n的奇偶有關，但要注意到，k+n與k-n=（k+n）-2n的奇偶性是相同的，此外，若設p是個任意整數(shù)（奇偶不論），則有： 因此（3）式可歸成二種情形（1） 若k+n=奇數(shù)，令k+n=2p+1，則有 因此 若k+n=奇數(shù)，有 （4） 若k+n=偶數(shù)，顯然有 (5)無簡并的微擾中，波函數(shù)一級修正量是： 其中 （6）考慮到（4）（5）的結果，連同（6）式代入的公式，得最后結果為兩個無窮級數(shù)如下：k為奇數(shù)時

11、 k為偶數(shù)時 8類氫離子中，電子與原子核的庫侖作用為： Ze為核電荷當核電荷增加eZàZ+1，互相作用能增加，試用微擾論計算它對能量的一級修正，并與嚴格解比較。 解不論是基態(tài)還是激發(fā)態(tài)，曾在第六章習題九中證明過，在類氫原子的任何態(tài)中矢徑倒數(shù)的平均值是： （a玻爾半徑 ） (1)若將當作微擾而求能量一級修正，則 （）若求嚴格解，可以利用能級公式 （3）將（1）與（3）比較：知道一級近似值的誤差是9一個粒子在二維無限深勢阱 中運動，設加上微擾 求基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量修正。解二維無限深勢阱的定解與一維相類似，因為x,y方向運動是獨立的，能量的零級本征函數(shù)是兩個一維無限深勢阱波函數(shù)乘積：

12、式中是指波數(shù)，阱壁的約束條件即周期性邊界條件是： 因而零級本征函數(shù)可用m,n表示： （1）粒子總能量則可設 ， 或 （2）可見波函數(shù)是高度簡并的（L.Pauling.E.B Wilson;Introduction to Quantum Mechanics 1951.P98P100）, 本題不討論其簡并度的公式。 但基態(tài)（m=1，n=1能級最低的二維運動）是沒有簡并的。 (基態(tài)能量一級修正量)； 這時 （3）利用定積分公式： （4）或者： （5）代入（3） （第一激發(fā)態(tài)一級能量修正量）： 第一激發(fā)能態(tài)是指m=1,n=2,和m=2,n=1的二重簡并態(tài)，這時的簡并能級是： (6)簡并的能量本征函數(shù)有

13、二個： 我們用簡并態(tài)微擾法求能級，設有微擾后的零能級本征函數(shù)是 代入有微擾的能量本征方程式： 約去相等項，利用的正交歸一性，可得的線形方程組： 由兩式得到非平凡解的條件： （9）現(xiàn)在分別計算所需的矩陣元；積分公式可以用（4）或者（5） （10） （11）代入久期方程式（9）得到： （12）零級波函數(shù)的決定可以用先代入方程式（7）或（8），伴同正交歸一化條件 可求得， 再用代入（8），伴同可求得，。 10處于基態(tài)的氫原子，受到沿著z方向的均勻電場的作用()若不計及自旋，而哈密頓量為 其中看成微擾，驗證基態(tài)的一級近似波函數(shù)是： （1）（是玻爾半徑，利用此結果求出能量的二級修正為，從而求出氫原子的極

14、化率。 （解）本題的目的不是用無簡并微擾法去導出題給的波函數(shù)的一級近似式，是直接的驗算題，即檢驗一級近似波函數(shù)是否滿足的本征方程式： (2)E是考慮微擾時的，包括一級修正值在內(nèi)的能量本征值。 設 。其中 又設，其中： （5） （6）將（3）à(6)代入（2）的等號的左方，得到： （7）此式中的第四項是二階微量（為一階），故可忽去，簡化和展開（7）式中的前面三項： 因為在不考慮微擾時，是的本征函數(shù)，其本征值是基態(tài)能量，因而 （8）第二項 （9）第三項的展開式中，需要將無微擾哈密頓算符的顯式（3）運算于（6）式所表示的波函數(shù)的一級修正量上面，（5）式中角動量平方的顯式是： （10） 最后

15、一式中運用了計算 要將前式簡化，應注意玻爾半徑和電荷e的關系： 因而有 將（8）（9）和（11）諸式相加，得：基態(tài)能量的一級修正量是 因此也是包括一級修正的能量本征值，例題得證。（二級能量修正值）： 在本題中已預見先給出了波函數(shù)的一級修正量，因為基態(tài)是無簡并的，按照微擾法原理、一階波函修正值來自公式但 題中給定的是（12）未知后的結果，因為個別不知道，所以有能按公式求得二階能量修正，但是由于是知道的，所以可以根據(jù)來求得，方法如下，設 將它代入有微分擾H在內(nèi)的能量本征方程式，并設H=W' 對比的系數(shù)，并注意到，都是正交歸一化的(因后者是前者線性式) 左乘，積分： (13)這樣我們得到個簡

16、單的二級能量修正量公式，將（4），（6）二式代入（13）： 利用積分公式：于前一式經(jīng)簡化后，有 (14) 按照原子電偶極矩Dx 的定義，它是用統(tǒng)計方法計算的單位體積中原子被電場形成的電矩的總和 利用（13）（14） （原子極化系數(shù)） 11 設氫原子處于n=3的態(tài)，求它的斯塔克分裂。（解）氫原子處在n=3的態(tài)上時，波函數(shù)的簡并度是，簡并的波函數(shù)可以用角量子數(shù)和磁量子數(shù)m加以編號。 為了計算能量的一級修正值，需要用無微擾的簡并波函數(shù)來構成微擾的矩陣，因此這組簡并波函數(shù)要采用一定的排列法。 排列法有多種，按下述原則排列運算較方便：“將磁量子數(shù)m相同的函數(shù)集成一組，這樣可得5組（m=2,1,0,-1,

17、-2）各組按m 值自大而小排列。在每一組中按的值自大而小排列（=2，1，0），結果如下： (1)每一波函數(shù)的形式是： (2)與n=3有關的共有三個，有九個，相同的函數(shù)可以相乘組合成一個，九種波函數(shù)的顯式如下：（式中，a 玻爾半徑） (4) (5)這里的顯式可以從數(shù)學手冊或數(shù)學物理方法課本查到，但具體計算中實際上用不著顯式，不予寫出。 根據(jù)簡并的微擾論，考慮微擾后，原來能級分裂，簡并部分或全部消失，原來的能級是： (6)加上微擾，可令，則正確到一級修正值的近似能級是： (7)修正量在簡并完全消失時有9個不同值，決定于行列式方程（即久期方程式）： (8)見課本§9.2。P311)式中W的

18、指標 是二組三個文字，其意義很明白，因此要建立這個行列式主要是計算矩陣元W，它的計算式如下：很清楚，W的計算的分成與r有關積分，以及與角度有關積分二部分，可分開進行計算。關于角度積分可以利用下一恒等式（本章題3用過）（9）式中以r有關的積分一般不會是0，但與角度有關積分則在許多條件下可以是零，現(xiàn)在考察：什么（a）若m'm,因為因此（9）第二積分中含有：因而得到 （b）若，則可以使用（10）式中（9）的第二個積分，由于諸是正交歸一化的，所以（9）的第二個積分簡化為： 從這個式子又知道，當m=m時若又有，則此積分為零，相應的矩陣元也是零即 （c）若m=m,但或，則（12）可知： （但） （

19、14） （d）若m=m, 或，這時矩陣元不為零，而由下面二式來計算： （15） （16）根據(jù)以上四點我們能判定行列方程式（8）中各個行列元素（矩陣元素）的性質(zhì)，為此可寫下一個9×9的行列式表格方程式，在行列式最高一行注明按（1）式排列的諸波函數(shù)（可省去部分），在行列式最左一列依順序?qū)懴聫凸曹椇瘮?shù)，在兩個函數(shù)和行列交叉之處寫下矩陣元，得下圖形狀由于矩陣元在行列式中的排列是按（1）的方式，所以m=m的諸元素集中在五個方塊形子矩陣里（虛線）。而其余位置的矩陣元因而全部為0（11式）。沿對角線諸元素為零（13式）。的矩陣元為零（14式）這相當于圖中3×3矩陣右上角和左上角那兩個。

20、圖中對角線上的是特定的能量修正值，是本征方程得來的，不是矩陣元?？偲饋碚f不為零的矩陣元僅有8個，它們用文字標出，空白的地點都表示矩陣元為零，此外因為球諧函數(shù)的厄密性質(zhì)：故不同值的矩陣元僅有四個；為方便起見，矩陣元指標省去共有的“3”字，它們是：從公式（16）知道要計算（17）只要計算兩個不同的積分，再配合前面的系數(shù)便可以，在（16）式中令，再利用（4）（5）式中的 （18）將代入（16）式，得： （19）若將代入（16），其結果與m=1相同，因而最后將代入（16）式，并且用（4）（5）式中的，得： （21）將求得值（18）（19）（20）（21）代入前述行列方程式的適當?shù)匚?，再按照行列式的定義

21、，可將沿對角線位置諸子行列式的連乘積的值作為行列式的值： （22）即這結果說明修正量是部分簡并的，能級包括本身在內(nèi)僅分裂為五個能級，用圖表示如下： 單重 二重 三重 二重 單重 圖中表示每個分裂能級的殘余簡并度，光譜線的分裂可根據(jù)上圖和的分裂能級(課本P315圖9.4)與本題的圖,以及基態(tài)能級綜合起來判斷。各個已分裂的能級之間的躍遷必需遵守“選擇定則”（參看課§11。4）。由于簡并沒有完全消除，所以除掉兩種單重態(tài)的零級波函數(shù)（有微擾），其余各多重態(tài)零級波函數(shù)都不能確定。 12實際原子核不是一個點電荷，它有一定大小，可以視為一個均勻分布的球，測量表明，電荷分布半徑 試用微擾論估計這種（

22、非點電荷）效應對原子的1s能級的修正（設1s電子波函數(shù)近似取為類氫原子的1s在態(tài)波函數(shù)。） S p O p r r0 r（解）根據(jù)電學原理，本題的困難在于確立正確的微擾算符，首先假定全部電荷Ze集中在一個幾何點（r=0）所算得的基態(tài)能量是零級近似（最粗略的）。這時不論r的大小如何電勢用下式表示： （1）表示。（這里不考慮電荷正負性） 但若要精確求核的電勢能，用一個半徑r0，具有總電荷Ze的均勻帶電球來代表核，這時球所產(chǎn)生的電勢就復雜些，按電學原理，點P的勢能隨著它在球面外還是球面內(nèi)而有不同的計算式，設一點的位矢是。（a） 在球內(nèi)：依電學原理整個球?qū)(r)一點所生電荷由二部分構成，過P作一球面

23、S,S內(nèi)小球所生電勢與全部集中在中心O處的電勢相同，小球的體電荷為,所生電勢 （2） 在球面S外面的厚度的球殼形電荷對P點產(chǎn)生的電勢則需分層計算，將SS0這個厚球殼殼分割成同心的薄球殼，每個薄球殼半徑r，厚度dr，（但r>r）這薄球殼對P所生電勢就和該球殼的電荷在中心O處所產(chǎn)生的電勢一樣，設電荷密度為，則：薄球殼對P的電勢 整個厚球殼（SS0）電荷對P點的電勢 因此，在球面S0之內(nèi)，一點的電勢是：(b)在球外r>r0:根據(jù)電學原理，在球外任一點P(r)處的電勢，就和全部球形電荷（半徑r0）集中在中心）處所產(chǎn)生的一樣，即 根據(jù)（1）（3）（4）可確立微擾算符為：（加負號因電子電荷-e

24、為負） (5)其次根據(jù)這個微擾來計算基態(tài)（1s）原子的一級能量修正，假設這種原子的基態(tài)能級和氫原子一樣，即縱使原子是多電子的，但也可忽去內(nèi)層電子的屏蔽效應，無微擾能級是：波函數(shù)和基態(tài)氫原子一樣是：按無簡并微擾論： 根據(jù)題意原子核所折合的球體是10-13cm的數(shù)量級，而玻爾半徑，二者相差倍，因而當時，是個極小的數(shù)量，在（8）的積分式中近似地有： 于是（8）式近似地成為： #13設在H0表象中，的矩陣為： 試用微擾論求能量的二級修正。 （解）本題的意義在于：并不知道無微擾算符，微擾和總的（一級近似）哈氏算符的形式，也不知道零階近似波函數(shù)的形式，知道的是在表象中的矩陣。但僅僅根據(jù)這矩陣的具體形式，按

25、習慣用代表文字（本課本內(nèi)）的涵義，可以知道幾點： （1）能量本征值是分立的（因為用分立矩陣表示，若是連續(xù)能量本征值，不能用此表示 法），無微擾能量本征值有三個，本征函數(shù)。因， （2）微擾算符的的矩陣是 根據(jù)無簡并微擾論，一級能量修正量是： 從（2）中看出，對角位置的矩陣元全是零，因此一級修正量 又二級能量公式是： 所需的矩陣元已經(jīng)直接由式（2）表示出，毋需再加計算，因而有： 14設在H0表象中用微擾論求能量修正量（到二級近似），嚴格求解與微擾論計算值比較。 （解）直接判斷法：題給矩陣進行分解，有從矩陣（3）知道一級修正量（用對角矩陣元）和二級修正量（用非對角矩陣元）仿前一題，直接寫出兩個能級（

26、正確到二級修正量） 嚴格求解法：這就是根據(jù)表象理論，分立表象中，本征方程可以書寫成矩陣方程式形式，并可以求得本征值和本征矢（用單列矩陣表示）。 我們設算符H（1）具有本征矢，本征值是，列矩陣方程式： 展開后成兩式又假設本征矢是歸一化的： （5）式有非平凡解的條件是： （7）后一式可展開 （8）（7）是正確本征值解，共有二個，以復號來區(qū)別。(8)的級數(shù)展開式可分寫為 中斷在第三項的時侯便是二階近似值，這與對比便能知道兩個能級近似值的絕對誤差是有下述上限的。# 15一體系在無微擾時有兩條能級，其中一條時二重簡并，在表象中 （1）在計及微擾后哈密頓量表示為： （2）（1） 用微擾論求H本征值準到二級

27、近似。（2） 把嚴格對角化，求H的精確本征值，然后（解）（1）將H，比較知道 （3）本題的微擾矩陣（3）是簡并的波函數(shù)（零級）計算得來的，若像無簡并微擾論那樣計算二級能量修正是可能的，但近似程度差，從（3）看出一級能量修正為零，準確到二級修正量的能量本征值是： 389但若將（2）看作準確的包括微擾的算符看待，則又能用分立表象本征函數(shù)的矩陣解法，設定一個本征矢（三個元素的單列矩陣）和一個本征值，方程式是即久期方程式是： 變形： 390 可以和前一種近似解比較（與前題類似）其誤差 #16 設在表象中，的矩陣表示為：是矩陣，又設微擾表示成即所有元素都是-1，求本征值和本征函數(shù)。（提示）久期方程式為：

28、 391其中化簡后得到 即用圖解法或數(shù)字計算法是很方便的。（解）提示部分已完成了解題的第一步驟，有兩種證法。第一法：現(xiàn)在從行列式（3）開始，鑒于該行列式除掉對角線元素有不同矩陣元以外，其余部分元素全是1，因而可以用列之間的相減運算，使這個行列式變形，使它成為除邊緣行、邊緣列，以及對角線以外，其余元素都是0的行列，試保持第一列不動，將第二、三、四、n列分別減去第一列元素，結果是：再將整個行列式依第一行展開成n個階的子行列式： 392第一個行列式不動，在第二行列式中第二行列式中第一行不動，但從其余各行減去第一行。在第三行列式中使第二行不動，其余各行減去第二行，依次類推到最后一個，變成以下形狀： 3

29、93根據(jù)行列式性質(zhì)，若將任兩行對調(diào)位置，并且適當變更符號，則行列式值不變，在前式中第一行列式不變，第二個也不變，第三個的一二行對調(diào)則全部化成為角化行列式，就能計算各行列式的值，結果是：第二法：從行列式（3）開始，將第一行減去第二行，但第二行以下全部不動并用代表對角元素是，其余元素是1的那種行列式，從（3）看出，它變形為： 394 將第二行列式的第一行不動，第二行起每行都減去第一行，結果有：重復運用上述遞推式：證得相同結論。因此本題的本征方程式成為： （4）或 （5） 395 （5）是能量本征值的n次方程式：這是高次方程式，關于等題目又無任何提示，只能用些圖解法解題在不失普遍性的約定下，設畫以下

30、曲線：這種曲線的一般形式見附圖等位置是曲線的各條漸近線，各條曲線與就是所求的本征值，這種方法對數(shù)字問題有效。除圖解法外，還可以用數(shù)字近似算法。求得E后再求本征函數(shù)。設本征函數(shù)是：代入本征方程式，可得一組線性方程式 （6）或?qū)懽鳎?（但）即 （7） 396取前一式的復共軛式，得：將前兩等式相乘，并對求總和，并且利用本征矢正交歸一化條件： （8）但， 因而 代入（7）于是求得了本征矢17設H的矩陣表示為：試利用前題結論及微擾法，計算的本征值。（提示）試選： 397則（解）由提示得知，若如此選擇微擾,則無微擾哈氏算符是：若將看作前題中的H，則按前題結論的本征值將決定于一方程式：即：它是個普通的關于的

31、四次方程式，它的根一般情形下不相等，按無簡并微擾法，根據(jù)題給的矩陣，可知能級近似值是： 398量子力學考試大綱 一緒論（3）1了解光的波粒二象性的主要實驗事實；2掌握德布羅意關于微觀粒子的波粒二象性的假設。 二波函數(shù)和薛定諤方程（12） (1)理解量子力學與經(jīng)典力學在關于描寫微觀粒子運動狀態(tài)及其運動規(guī)律時的不同觀念 。 (2)掌握波函數(shù)的標準化條件：有限性、連續(xù)性、單值性 (3)理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)(x，t)按不同動量的平面波展開的方法及其物理意義 (4)了解薛定諤方程的建立過程以及它在量子力學中的地位；薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程的關系；波函數(shù)和定態(tài)波函數(shù)的關系 (5)對于求解一維薛定

32、諤方程，應掌握邊界條件的確定和處理方法 (6)關于一維定態(tài)問題要求如下： a掌握一維無限阱的求解方法及其物理討論； b掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點： c了解勢壘貫穿的討論方法及其對隧道效應的解釋 三力學量用算符表達（17）(1) 掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必為實數(shù)；坐標算符和動量算符以及量子力學中一切可觀察的力學量所對應的算符均為厄米算符(2) 掌握有關動量算符和角動量算符的本征值和本征函數(shù)，它們的歸一性和正交性的表達形式，以及與這些算符有關的算符運算的對易關系式 (3)電子在正點電荷庫侖場中的運動提供了三維中心力場下薛定諤方程求解的范例，學生應由此了解一般三維中心力場下