示范一元二次不等式的應用

1、2.2 一元二次不等式的應用整體設計教學分析 一元二次不等式的應用非常廣泛,它貫穿于整個高中數(shù)學的始終,諸如集合問題,方程解的討論,函數(shù)定義域、值域的確定等,都與不等式有著密切的關系.一元二次不等式在生產(chǎn)生活中也有廣泛的應用.一元二次不等式的應用在教材上共安排了4個例題.前2個體現(xiàn)了一元二次不等式的解的情況與不等式的解之間的轉化關系,以及分式不等式與整式不等式之間的轉化.這兩個例題均體現(xiàn)了一種形式之間的轉化.由此向學生點明,在解數(shù)學題時, 轉化的必要性,讓學生體會轉化的數(shù)學思想方法.第3個例題是簡單的高次不等式,主要是試圖讓學生體會,如何將前面解一元二次不等式的數(shù)形結合的思想方法,用在解決一個

2、沒有見過的新的較復雜的不等式的求解中.既是一種思維上的創(chuàng)新,同時也是一種挑戰(zhàn).教學時要注重分析過程,從分析所顯示的函數(shù)的各種信息中,想象出函數(shù)圖像的輪廓,從而得出不等式的解.整個解題過程體現(xiàn)了一種方法的類比與轉化,但在教學中應控制難度,只限于a0時形如a(x-x1)(x-x2)(x-x3)>0（<0)的不等式. 最后一個例題是一元二次不等式的應用題,有一定難度.主要是問題敘述文字較長,條件較多,一時難以把握.其關鍵是如何把文字語言轉化成數(shù)學語言.教學時可以告訴學生,這個問題的分析過程具有典型意義,在今后對此類問題的解決中應當注意把一個大問題化成若干小問題的思維習慣,化整為零.在把實

3、際問題中的文字語言轉換成數(shù)學語言的同時,要注意問題答案的實際意義,還要增強解決問題的自信心,不要被問題的表面形式所嚇倒.三維目標1.圍繞一元二次不等式的解法展開,突出體現(xiàn)數(shù)形結合思想.2.根據(jù)實數(shù)運算的符號法則,會將分式不等式與簡單的高次不等式轉化為與其等價的兩個或多個不等式,同時注意分式不等式的同解變形.3.通過一元二次不等式的應用的學習,體會轉化與歸納、數(shù)形結合思想的運用,體驗數(shù)學的奧妙與數(shù)學美,激發(fā)學生的學習興趣.重點難點教學重點:含字母參數(shù)的不等式及分式不等式與簡單的高次不等式,一元二次不等式的實際應用.教學難點:一元二次不等式的實際應用.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.(直接導

4、入)上一小節(jié)中,我們討論了一元二次不等式的解法,本節(jié)課我們一起探究一元二次不等式在分式不等式、簡單的高次不等式以及在實際問題中的應用.思路2.(問題導入)由于本節(jié)安排的第一個例題(即課本例9)體現(xiàn)了一元二次方程的解的情況與不等式的解之間的轉化關系,與前面學習的“三個二次”之間的關系類似.因此,可從學生探究該例引入新課.推進新課新知探究提出問題回憶一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關系.如何根據(jù)實數(shù)運算的符號法則轉化分式不等式?活動:在解二次不等式一節(jié)里,我們已經(jīng)知道,借助二次函數(shù)及其圖像,可以把二次方程與二次不等式聯(lián)系到一起,得到二次不等式的解.把這種關系推廣就可以得到:對于函數(shù)y=f(

5、x),函數(shù)圖像在x軸上方即f(x)函數(shù)值大于0時,自變量的取值的集合是不等式f(x)>0的解集;函數(shù)圖像在x軸下方即f(x)函數(shù)值小于0時,自變量的取值的集合是不等式f(x)<0的解集;函數(shù)圖像與x軸相交即f(x)函數(shù)值等于0時,自變量的取值的集合是方程f(x)=0的解集.對一元二次不等式的解法應達到“心算”的程度,即對所給的一元二次不等式要能夠通過“心算”得出其方程兩根,再在腦海中想象出二次函數(shù)圖像,立即得到原不等式的解.解分式不等式的關鍵是轉化,根據(jù)實數(shù)運算的符號法則,分式不等式的同解變形有如下幾種:(1)(x)0f(x)·g(x)0;(2)(x)0f(x)·

6、;g(x)0;(3)(x)0f(x)·g(x)0且g(x)0;(4)(x)0f(x)·g(x)0且g(x)0. 分式不等式與簡單的高次不等式在轉化為一次或二次不等式組時,每一步變形,都應是不等式的等價變形.在等價變形時,要注意什么時候取交集,什么時候取并集.帶等號的分式不等式,要注意分母不能為零.另外,在取交集、并集時,可以借助數(shù)軸的直觀效果,這樣可避免出錯.討論結果:略.應用示例例1 解下列不等式.(1)0;(2)<3. 活動:教師與學生一起探究,對這種分子分母含x的因式的不等式,先把不等式的右邊化為0,再通過符號法則,把它轉化成整式不等式求解.從而使問題化繁為簡,

7、化難為易.解:(1)按商的符號法則,不等式0可轉化成不等式(x+1)(x-3)0,但x3.解這個不等式,可得x-1或x>3,即知原不等式的解集為x|x-1或x>3.(2)不等式<3可改寫為-3<0(不等式的右邊為0),即<0.仿(1),可將這個不等式轉化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1.所以,原不等式的解集為x|-1<x<1. 點評:教師引導學生認真反思本例的思想方法,領悟這種轉化的應用,但要注意轉化的等價性.同時提醒學生注意最后結果要寫成集合或區(qū)間的形式.變式訓練1.（2007上海春季高考）若關于x的不等式>0的

8、解集為（-,-1）(4,+)，則實數(shù)a=_.解析：由題意知4為因式x-a的根，則a=4.答案：42.不等式>0的解集是_.解析：x|x<-1或x>2,不等式>0等價于(x+1)(x-2)>0.解這個一元二次不等式得x<-1或x>2.原不等式的解集是x|x<-1或x>2.答案：x|x<-1或x>2例2 解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0.活動:這是一個三次不等式,教師引導學生回憶前面是如何利用數(shù)形結合的思想方法解一元二次不等式的.本例我們雖然沒有見過,但可利用對函數(shù)圖像的分析來解決這個問題.讓學生探究函數(shù)圖像的大致形

9、狀,由此寫出不等式的解集.解:設f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(1)顯然,y=f(x)的圖像與x軸的交點有三個,它們的坐標依次是(1,0),(2,0),(3,0);(2)函數(shù)y=f(x)的圖像把x軸分成了四個不相交的區(qū)間,它們依次為(-,1),(1,2),(2,3),(3,+);(3)當x>3時,f(x)>0.又函數(shù)y=f(x)的圖像是一條不間斷的曲線,并且f(x)的符號每順次經(jīng)過x軸的一個交點就會發(fā)生一次變化,由此知道y=f(x)的函數(shù)值的符號如圖1所示.圖1變化規(guī)律很明顯,從右到左在每個區(qū)間符號正負相間.通過分析,知道不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的

10、解集為(1,2)(3,+). 點評:如果把函數(shù)f(x)圖像與x軸的交點(1,0),(2,0),(3,0)形象地看成“針眼”,函數(shù)f(x)的圖像看成“線”,那么上述這種求解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的方法,我們形象地把它稱為穿針引線法.例3 國家原計劃以2 400元/t的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m t,按規(guī)定,農(nóng)戶向國家納稅為每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點,即8%).為了減輕農(nóng)民負擔,制定積極的收購政策.根據(jù)市場規(guī)律,稅率降低x個百分點,收購量能增加2x個百分點.試確定x的范圍,使稅率調(diào)低后,國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.活動:解決這類實際問題,關鍵是把文字

11、語言轉換成數(shù)學語言:(1)“稅率降低x個百分點”,即調(diào)節(jié)后稅率為(8-x)%;(2)“收購量能增加2x個百分點”,這時總收購量為m(1+2x%) t,總收購價為2 400m(1+2x%)元;(3)“總收入不低于原計劃的78%”,即稅率調(diào)低后,“稅收總收入”2 400m×8%×78 %.解:設稅率調(diào)低后的“稅收總收入”為y元.y=2 400m(1+2x%)(8-x%)=-m(x2+42x-400)(0<x8).依題意,得y2 400m×8%×78%,即-m(x2+42x-400)2 400m×8 %×78%,整理,得x2+42x-

12、880,解得-44x2.根據(jù)x的實際意義,知0<x8,所以0<x2為所求.答:x的取值范圍是0<x2. 點評:本例難度較大,因此本題采用了“化整為零”的辦法,即逐條分析轉化,要學會這種方法.在今后對此類問題的解決中,注意把一個大問題化成若干個小問題的思維習慣,不要被問題的表面形式所迷惑.變式訓練 某種商品原來定價為每件p元，每月將賣出n件.假若定價上漲x成(這里即,0<x10),每月賣出數(shù)量減少y成，而售貨金額變成原來的z倍.若y=x,求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍.解：依題意漲價后的售貨金額為npz=p(1+)·n·(1-),np(1+)

13、(1-)>np.n>0,p>0,y=x,(1+)(1-x)>1.整理得x2-5x<0,解這個一元二次不等式，得0<x<5.又0<x10,0<x<5.故x的取值范圍是x|0<x<5.知能訓練1.設f(x)，則不等式f(x)>2的解集為（ ）A.(1,2)(3,+) B.(,+) C.(1,2)(,+) D.(1,2)解析：f(x)= 不等式f(x)>2的解集由或解得.解得1<x<2,解得x>.綜上，不等式f(x)>2的解集為(1,2)(,+).答案：C2.課本本節(jié)練習1 14.課堂小結1.由學生歸納整理本節(jié)所學的知識方法,整合求解分式不等式及簡單高次不等式的思想方法,及化整為零解決實際問題的思維方法.2.教師進一步強調(diào),本節(jié)為解一元二次不等式的最后一節(jié),對本節(jié)體現(xiàn)的“三個二次問題”以及轉化的思想方法、數(shù)形結合的思想方法,要深刻理解,牢牢掌握,并靈活地應用.作業(yè)課本習題32 A組8,B組1、2、3、4.設計感想1.本教案設計充分體現(xiàn)教為主導,學為主體,思維訓練為主線的新課標理念.教學過程開放