浙江省寧波市六校聯(lián)考2021-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）

1、浙江省寧波市六校聯(lián)考2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)(shùxué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一個(y è)是滿足題意的）1.空間(kngjin)中一點到平面(píngmiàn)的距離(jùlí)為（ ）A. 2B. 3C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】先求出點在平面的投影點的坐標(biāo)即為所求.,【詳解】點在平面的投影點,即空間中一點到平面的距離為1.故選:C【點睛】本題考查了空間一點到平面的距離,關(guān)鍵要了解關(guān)于點在坐標(biāo)平面射影點的坐標(biāo)特征,屬于基礎(chǔ)題.2.若點到直線的距離為4，且在不

2、等式表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點的橫坐標(biāo)是（ ）A. 7或-3B. 7C. -3D. -7或3【答案】B【解析】【分析】坐標(biāo)滿足不等式求出取值范圍，由點到直線距離公式,求出的值,.【詳解】點在不等式表示的平面區(qū)域內(nèi)到直線的距離為,解得或（舍去）.故選:B【點睛】本題考查點到直線(zhíxiàn)的距離公式化簡求值,理解(lji)二元一次不等式表示的平面區(qū)域,屬于(shyú)基礎(chǔ)題.3.設(shè)，是兩條不同(bù tón)的直線，是兩個不同(bù tón)的平面，是下列命題正確的是（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則【答

3、案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中線線，線面，面面位置關(guān)系，逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】A選項，若，則可能平行、相交、或異面；故A錯；B選項，若，則可能平行或異面；故B錯；C選項，若，如果再滿足，才會有則與垂直，所以與不一定垂直；故C錯；D選項，若，則，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正確.故選D【點睛】本題主要考查空間的線面，面面位置關(guān)系，熟記位置關(guān)系，以及判定定理即可，屬于常考題型.4.在平面直角坐標(biāo)系中，為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則的最小值為（ ）A. 2B. 1C. D. 【答案(dá àn)】C【解析(ji x)】【分析(fnx)】作出不等式對應(yīng)(du&

4、#236;yìng)可行(kxíng)域,利用線性規(guī)劃知識,以及的幾何意義,即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖： 令幾何意義是動點與原點連線的斜率,由圖像可知斜率最小,由,解得,即所以的最小值為.故選:C【點睛】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決問題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5.已知直線與平行，則等于( )A. 或B. 或C. D. 【答案】C【解析】【詳解】由題意可知且，解得故選6.長方體中，,為中點，則異面直線(zhíxiàn)與所成角為（）A. B. C. D. 【答案(dá àn)】C【解析(ji x

5、)】【分析(fnx)】連接(liánji)，根據(jù)，可得異面直線與所成的角為，解三角形求得的大小.【詳解】畫出長方體如下圖所示，連接，由于，所以異面直線與所成的角為，在三角形中，故三角形是等邊三角形，所以.故選C.【點睛】本小題主要考查異面直線所成角大小的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）A. 相切B. 相交(xingjio)C. 相離D. 不確定(quèdìng)【答案(dá àn)】B【解析(ji x)】【分析(fnx)】由題意結(jié)合點與圓的位置關(guān)系考查圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系即可確定

6、直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】點在圓外，圓心到直線距離，直線與圓相交.故選B.【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8.已知直線：與曲線有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】畫出圖像,當(dāng)直線過點時,求出值;當(dāng)直線與曲線相切時.求出,即可得出的取值范圍.【詳解】畫出如下圖像：當(dāng)直線(zhíxiàn)過點時,此時(c shí)直線與曲線(qxiàn)有兩個(lin è)公共點;直線(zhíxiàn)與曲線相切時,因此當(dāng)

7、時，直線與曲線有兩個公共點.故選B【點睛】本題考查了直線與圓相切時滿足的關(guān)系,以及點到直線的距離公式,考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,準(zhǔn)確判斷出曲線方程所表示曲線形狀,且根據(jù)題意畫出圖形是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.9.如圖，在正四棱錐SABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，動點P在線段MN上運(yùn)動時，下列四個結(jié)論：EPAC；EPBD；EP平面SBD；EP平面SAC，其中恒成立的為( )A. B. C. D. 【答案(dá àn)】A【解析(ji x)】【分析(fnx)】在中：由題意(tí yì)得 AC平面SBD，從而(cóng 

8、33;r)平面EMN平面SBD，由此得到ACEP；在中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線；在中：由平面EMN平面SBD，從而得到EP平面SBD；在中：由已知得EM平面SAC，從而得到EP與平面SAC不垂直【詳解】如圖所示，連接AC、BD相交于點O，連接EM，EN在中：由正四棱錐SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBDO，AC平面SBD，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，EMBD，MNSD，而EMMNM，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正確在中：由異面直線的定義可知：EP與BD是異面直線，不可能EPBD，因此不正確；在中：由可知平面EMN平面S

9、BD，EP平面SBD，因此正確在中：由同理可得：EM平面SAC，若EP平面SAC，則EPEM，與EPEME相矛盾，因此當(dāng)P與M不重合時，EP與平面SAC不垂直即不正確恒成立的結(jié)論是：故選：A【點睛】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間線面、面面的位置關(guān)系判定，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題10.若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案(dá àn)】B【解析(ji x)】分析(fnx)】先求出圓心(yuánxn)和半徑，比較半徑和；要求圓上至少(zhìsho)有三個不同的點到直線l

10、：ax+by=0的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，用圓心到直線的距離公式，可求得結(jié)果【詳解】圓x2+y24x4y10=0整理為，圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑為3，要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，直線l的傾斜角的取值范圍是，故選B【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離等知識，是中檔題二、填空題11.直線(zhíxiàn)的斜率(xiél)為_；傾斜角的大小是_【答案(dá àn)】 (1). (2). 【解析(ji x)】【分析(fnx)】直線一般式化為斜截式,可求出直線

11、的斜率,再由斜率求出直線的傾斜角.【詳解】化為，可得直線斜率為,傾斜角為.故答案為:,.【點睛】本題考查直線的幾何特征,關(guān)鍵要掌握直線方程幾種形式之間的互化,屬于基礎(chǔ)題.12.已知，若方程表示圓，則圓心坐標(biāo)為_；的取值范圍是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】當(dāng)圓的方程是以一般方程給出時，根據(jù)圓心坐標(biāo)公式,還需滿足表示圓.【詳解】（1）若方程表示圓，那么根據(jù)圓心坐標(biāo)公式，可得，圓心坐標(biāo).（2）若方程表示圓，那么需滿足，即.故填：;.【點睛】本題考查了圓的一般方程，屬于簡單題型.13.九章算術(shù)(ji zhn suàn shù)中的“邪田”意為直角梯形，上、下底稱為

12、畔，高稱為正廣，非高腰邊稱為邪在四棱錐 中，底面 為邪田，兩畔分別(fnbié)為1，3，正廣 為 ， 平面(píngmiàn)，則邪田的邪長為_；邪所在直線(zhíxiàn)與平面 所成角的大小(dàxio)為_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】過點作，垂足為，在Rt中，可求BC長，即為邪長，又由題意可證平面，得到 即為所求，在Rt中，求得正切值，可得角.【詳解】過點作，垂足為，延長，使得（如圖）.由題意可得，則 由題意知，所以，所以.因為 平面，所以，又，所以 平面 ，則 是直線 與平面 所成角的平面角， ，所以故答

13、案為 【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為載體，考查了線面角及線面垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想及推理論證能力，屬于中檔題.14.直線(zhíxiàn)被圓：所截得的弦長為_；由直線(zhíxiàn)上的一點(y din)向圓引切線(qixiàn)，切線長的最小值為_.【答案(dá àn)】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）求出圓心到直線的距離,再由垂徑定理,求出半弦長,即可得到弦長;（2）為直線上一點,過向圓引切線，切點為,根據(jù)切線性質(zhì),切線段,要求切線段最小值,轉(zhuǎn)化為求最小值,就可得切線長的最小值.【詳解】（1）圓:的圓

14、心,半徑,設(shè)圓心到直線距離為,則弦長為.（2）為直線上一點,過向圓引切線切于,則有故取最小值時，此時垂直直線,即取最小值為圓心到直線的距離為所以最小值為.故答案為: (1),(2).【點睛】本題考查相交弦長和切線段長,涉及到點到直線的距離,相交弦長公式以及切線長公式,解決問題關(guān)鍵要正確運(yùn)用圓的性質(zhì),考查等價轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想,屬于綜合題.15.已知，滿足(mnzú)約束條件，若的最小值為-1，則_.【答案(dá àn)】【解析(ji x)】【分析(fnx)】先根據(jù)(gnjù)條件作出可行域,再利用的幾何意義求最值,只需求出直線過可行域內(nèi)的點時,從而得到的值.【

15、詳解】作出可行域如下圖：由得,表示斜率為的直線在上的截距,當(dāng)最小為-1時,直線過點,由,解得,代入直線得,.故答案為:.【點睛】本題考查了用平面區(qū)域表示二元一次不等式組,借助于平面區(qū)域特性,用幾何方法處理代數(shù)問題,體現(xiàn)了數(shù)行結(jié)合思想、化歸思想.線性規(guī)劃中的最優(yōu)解,通常是利用平移直線法確定.屬于中檔題.16.如圖所示，有一條(y tiáo)長度為1的線段，其端點(dun din)，在邊長為4的正方形的四邊(sìbin)上滑動，當(dāng)點繞著正方形的四邊滑動(huádòng)一周時，的中點(zhn din)所形成的軌跡長度為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意判斷

16、出軌跡是四個角處的四個直角扇形與正方形的四條邊上的四條線段組成，然后根據(jù)圓的周長公式進(jìn)行計算.【詳解】若線段不在正方形邊上,與正方形的一頂點組成斜邊為1的直角三角形，與該頂點的距離為,此時軌跡為直角扇形,四個頂點有四個直角扇形,合起來剛好是半徑為的圓,周長為;若線段在正方形邊上,則的中點四個邊上滑動為四個等長的線段,長度均為3,軌跡長度為12;所以軌跡的長度為.故答案為:.【點睛】本題考查了點的軌跡與正方形性質(zhì),判斷出軌跡的形狀是解題的關(guān)鍵,也是解決為題的難點.17.在中，已知，是邊上一點，將沿折起，得到三棱錐若該三棱錐的頂點在底面的射影在線段上，設(shè)，則的取值范圍為_.【答案(dá

17、àn)】【解析(ji x)】【分析(fnx)】解可得其為等腰直角三角形,有題意可知(k zh)折疊前圖（1）中,根據(jù)等腰直角三角形位置(wèi zhi)關(guān)系可推出,在（2）圖中，為的斜邊,得,即可得出答案.【詳解】在中,由余弦定理得,所以為等腰直角三角形.由將沿折起，得到三棱錐,且在底面的射影在線段上,如圖2所示,平面，則,過做,垂足為，連,所以平面,所以,在折疊前圖1中,由,所以三點共線.取中點,連交于,由為等腰直角三角形,所以在線段之間，故為鈍角,所以在之間,得在之間,所以,即.在圖2中,由于為的斜邊,為直角邊,所以,即.所以.故答案為:.【點睛】本題以平面圖形(t&#

18、250;xíng)為載體,求線段(xiànduàn)的取值范圍,著重考查(kochá)了空間垂直位置關(guān)系的判定和性質(zhì)、余弦定理解三角形等知識,同時考查了空間(kngjin)想象能力與邏輯推理能力,屬于(shyú)中檔題.三、解答題（本大題共5小題，共72分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）18.已知平面內(nèi)兩點A(8,-6),B(2,2).(1)求過點P(2,-3)且與直線AB平行的直線l的方程;(2)一束光線從B點射向(1)中直線l，若反射光線過點A,求反射光線所在的直線方程.【答案】(1) 直線l的方程4x+3y+1=0,(2) 11

19、x+27y+74=0.【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行得出斜率，從而由點斜式求出直線方程；（2）求得點B關(guān)于直線l的對稱點B'的坐標(biāo)，然后求出斜率，再由點斜式求出試題解析：（1）由點斜式 直線l的方程4x+3y+1=0（2）設(shè)B（2，2）關(guān)于直線l的對稱點B'（m，n） 解得 ；由點斜式可得 整理得11x+27y+74=0；19.如圖，在四棱錐中，平面，.為線段的中點.（1）證明(zhèngmíng)：面；（2）求與平面(píngmiàn)所成的角的正弦(zhèngxián)值.【答案(dá àn)

20、】（1）見解析；（2）【解析(ji x)】【分析】（1）根據(jù)已知條件證明,結(jié)合平面.即可得證;（2）解法一（幾何法）:先找到在平面內(nèi)的射影直線,則所求角可得,在直角三角形中求出此角,即可得結(jié)果;解法二（空間向量法）:建立空間直角坐標(biāo)系,確定各點坐標(biāo),求出坐標(biāo)和平面的法向量坐標(biāo),結(jié)合線面角公式，即可得結(jié)果.【詳解】（1）取中點,因為,所以,.因為平面,平面,所以,因為平面,平面,所以面.（2）法一：連結(jié),由（1）平面可得,與平面所成角為.,分別是,中點，,因為,所以,，因為(yn wèi),所以(suy),在中,，.因此(ync)與平面(píngmiàn)所成的角的

21、正弦(zhèngxián)值為.法二：以為坐標(biāo)原點,平行于的直線為，軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則因為,所以,因為,所以,因此,從而為平面一個法向量,.因此與平面所成的角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定以及線面角的求法,要充分體會轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用.20.已知圓：，直線(zhíxiàn)過定點(dìn din).（1）若與圓相切，求的方程(fngchéng)；（2）若與圓相交(xingjio)于，兩點，求三角形面積(miàn j)的最大值，并求此時的直線方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】

22、（1）根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程,注意的斜率是否存在,圓心到直線的距離等于半徑,利用點到直線距離公式,即可確定出直線的方程;（2）先設(shè)直線方程,求出圓心到直線的距離,再根據(jù)垂徑定理,求出弦長,得到面積的表達(dá)式,再求出此表達(dá)式的最大值.【詳解】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得,圓心，半徑.若直線的斜率不存在,則直線,符合題意若直線斜率存在，設(shè)直線：,即.與圓相切.圓心到已知直線的距離等于半徑2,即,解得.綜上，所求直線方程為或（2）直線與圓相交,斜率必定存在,設(shè)直線方程為.則圓心到直線的距離.又面積，當(dāng)時，.由,解得或.直線(zhíxiàn)方程為或.【點睛】本題考查了直線

23、與圓的位置(wèi zhi)關(guān)系的性質(zhì),涉及(shèjí)到的知識有:點到直線的距離(jùlí)公式,三角形面積(miàn j)公式,垂徑定理以及直線方程.要注意分類討論,是一道多知識點綜合題.21.如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點，四邊形為矩形，線段交于點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）（3）在線段上存在一點滿足題意，且【解析】【分析】(1)由題意結(jié)合線面平行的判定定理即可證得題中的結(jié)

24、論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得二面角的正弦值；(3)假設(shè)點Q存在，利用直線的方向向量和平面的法向量計算可得點Q的存在性和位置.【詳解(xián ji)】（1）因為四邊形為矩形(jxíng)，所以為的中點(zhn din).連接，在中，分別(fnbié)為的中點(zhn din)，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）易知兩兩垂直，如圖以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，所以.設(shè)平面的法向量為，則即解得令，得所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為， ，據(jù)此可得 ，則平面(píngmiàn)的一個(y è)法向量為，于是(yúshì).故二面角正弦(zhèngxián)值為.（3）設(shè)存在(cúnzài)點滿足條件.由，設(shè)，整理得，則.因為直線與平面所成角的大小為，所以解得