2015人教A版本（文）（6.2 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和）一輪復(fù)習(xí)題

1、§6.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母_d_表示.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是ana1(n1)d.3.等差中項(xiàng)如果A，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng).4.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam(nm)d，(n，mN*).(2)若an為等差數(shù)列，且klmn，(k，l，m，nN*)，則akalaman.(3)若an是等差數(shù)列，公差為d，則a2n也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若an，bn是等差數(shù)列

2、，則panqbn也是等差數(shù)列.(5)若an是等差數(shù)列，公差為d，則ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差為md的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，其前n項(xiàng)和Sn或Snna1d.6.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Snn2n.數(shù)列an是等差數(shù)列SnAn2Bn(A、B為常數(shù)).7.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列an中，a1>0，d<0，則Sn存在最_大_值；若a1<0，d>0，則Sn存在最_小_值.1.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉?#215;”)(1)若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)

3、列.(×)(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*，都有2an1anan2. ()(3)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. ()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù).(×)(5)數(shù)列an滿足an1ann，則數(shù)列an是等差數(shù)列.(×)(6)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anpnq(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列an一定是等差數(shù)列.()2.設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項(xiàng)和，若S10S11，則a1等于 ()A.18B.20C.22D.24答案B解析因?yàn)镾10S11，所以a110.又因?yàn)閍11a110d，所以a120.3.(2012&

4、#183;遼寧)在等差數(shù)列an中，已知a4a816，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11等于()A.58B.88C.143D.176答案B解析S1188.4.(2013·課標(biāo)全國)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則m等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析am2，am13，故d1，因?yàn)镾m0，故ma1d0，故a1，因?yàn)閍mam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.5.(2013·課標(biāo)全國)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知S100，S1525，則nSn的最小值為_.答案49解析由題意知a1a100，a1a15.兩式相減得a15a10

5、5d，d，a13.nSnn·f(n)，令f(x)，x>0，f(x)x(3x20).令f(x)0得x0(舍)或x.當(dāng)x>時(shí)，f(x)是單調(diào)遞增的；當(dāng)0<x<時(shí)，f(x)是單調(diào)遞減的.故當(dāng)n7時(shí)，f(n)取最小值，f(n)min49.nSn的最小值為49.題型一等差數(shù)列的基本運(yùn)算例1在等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列an的前k項(xiàng)和Sk35，求k的值.思維啟迪等差數(shù)列基本量的計(jì)算，基本思想就是根據(jù)條件列方程，求等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2

6、.從而an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5.又kN*，故k7.思維升華(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.(1)若等差數(shù)列an的前5項(xiàng)和S525，且a23，則a7等于()A.12B.13C.14D.15(2)記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，S420，則S

7、6等于()A.16B.24C.36D.48(3)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足1，則數(shù)列an的公差是()A.B.1C.2D.3答案(1)B(2)D(3)C解析(1)由題意得S55a325，故a35，公差da3a22，a7a25d35×213.(2)S426d20，d3，故S6315d48.(3)Sn，又1，得1，即a3a22，數(shù)列an的公差為2.題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S39，S636，則a7a8a9等于 ()A.63B.45C.36D.27(2)若一個等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個

8、數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ()A.13B.12C.11D.10(3)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a12 014，6，則S2 013等于()A.2 013B.2 013C.4 026D.4 026思維啟迪(1)根據(jù)S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列解此題；(2)利用a1ana2an1a3an2求n；(3)數(shù)列為等差數(shù)列.答案(1)B(2)A(3)C解析(1)由an是等差數(shù)列，得S3，S6S3，S9S6為等差數(shù)列.即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345，故選B.(2)因?yàn)閍1a2a334，an2an1an146，a1a2a3an2an1an34146180，又因?yàn)閍1ana2a

9、n1a3an2，所以3(a1an)180，從而a1an60，所以Sn390，即n13.(3)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得也為等差數(shù)列.又6d6，d1.故2 012d2 0142 0122，S2 0132×2 0134 026，故選C.思維升華在等差數(shù)列an中，數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差數(shù)列；也是等差數(shù)列.等差數(shù)列的性質(zhì)是解題的重要工具.(1)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a3a4a512，則a1a2a7等于()A.14B.21C.28D.35(2)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S1010，S2030，則S30_.答案(1)C(2)60解析(1)a3a4a53a412，a44，

10、a1a2a77a428.(2)S10，S20S10，S30S20成等差數(shù)列，2(S20S10)S10S30S20，4010S3030，S3060.題型三等差數(shù)列的前n項(xiàng)和及其最值例3(1)在等差數(shù)列an中，已知a120，前n項(xiàng)和為Sn，且S10S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an4n25，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和.思維啟迪(1)由a120及S10S15可求得d，進(jìn)而求得通項(xiàng)，由通項(xiàng)得到此數(shù)列前多少項(xiàng)為正，或利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷出數(shù)列從第幾項(xiàng)開始變號.解(1)方法一a120

11、，S10S15，10×20d15×20d，d.an20(n1)×n.a130，即當(dāng)n12時(shí)，an>0，n14時(shí)，an<0，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S13S1212×20×130.方法二同方法一求得d.Sn20n·n2n2.nN*，當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12S13130.方法三同方法一求得d.又由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.當(dāng)n12或13時(shí)，Sn有最大值.且最大值為S12S13130.(2)an4n25，an14(n1)25，an1an4d

12、，又a14×12521.所以數(shù)列an是以21為首項(xiàng)，以4為公差的遞增的等差數(shù)列.令由得n<6；由得n5，所以n6.即數(shù)列|an|的前6項(xiàng)是以21為首項(xiàng)，公差為4的等差數(shù)列，從第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，而|a7|a74×7253.設(shè)|an|的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn思維升華求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn (A、B為常數(shù))看做二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(1)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a111，a4a66，則當(dāng)Sn取最小

13、值時(shí)，n等于()A.6B.7C.8D.9(2)等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若aka40，則k_.答案(1)A(2)10解析(1)設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4a62a18d2×(11)8d6，解得d2，所以Sn11n×2n212n(n6)236，所以當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n6.(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S9S40，即a5a6a7a8a90,5a70，故a70.而aka40，故k10.等差數(shù)列的最值問題典例：(15分)(1)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5a74，a6a82，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)已知等差數(shù)列an的

14、首項(xiàng)a120，公差d2，則前n項(xiàng)和Sn的最大值為_.(3)設(shè)數(shù)列an是公差d<0的等差數(shù)列，Sn為前n項(xiàng)和，若S65a110d，則Sn取最大值時(shí)，n的值為()A.5B.6C.5或6D.11思維啟迪(1)由已知分析等差數(shù)列項(xiàng)的變化規(guī)律、符號.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將Sn的最大值轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題.(3)根據(jù)條件確定數(shù)列最后的非負(fù)項(xiàng).解析(1)依題意得2a64,2a72，a62>0，a71<0；又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，因此在該數(shù)列中，前6項(xiàng)均為正數(shù)，自第7項(xiàng)起以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，于是當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n6，選B.(2)因?yàn)榈炔顢?shù)列an的首項(xiàng)a120

15、，公差d2，代入求和公式得，Snna1d20n×2n221n(n)2()2，又因?yàn)閚N*，所以n10或n11時(shí)，Sn取得最大值，最大值為110.(3)由題意得S66a115d5a110d，所以a60，故當(dāng)n5或6時(shí)，Sn最大，選C.答案(1)B(2)110(3)C溫馨提醒(1)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值常用的方法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和SnAn2Bn(A、B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(2)注意區(qū)別等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值和Sn的符號.方法與技巧1.等差數(shù)列的判斷方法(1)定義法：an1and (d是常數(shù))an是等差數(shù)列.(2

16、)等差中項(xiàng)法：2an1anan2 (nN*)an是等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列.(4)前n項(xiàng)和公式：SnAn2Bn (A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列.2.方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時(shí)可以考慮化歸為a1和d等基本量，通過建立方程(組)獲得解.3.在遇到三個數(shù)成等差數(shù)列問題時(shí)，可設(shè)三個數(shù)為(1)a，ad，a2d；(2)ad，a，ad；(3)ad，ad，a3d等，可視具體情況而定.失誤與防范1.當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，當(dāng)公差d0時(shí)，an為常數(shù).2.公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.若某數(shù)列的前n

17、項(xiàng)和公式是常數(shù)項(xiàng)不為0的二次函數(shù)，則該數(shù)列不是等差數(shù)列，它從第二項(xiàng)起成等差數(shù)列.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1.(2012·福建)等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為()A.1B.2C.3D.4答案B解析方法一設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由題意得解得d2.方法二在等差數(shù)列an中，a1a52a310，a35.又a47，公差d752.2.已知等差數(shù)列an滿足a1a2a3a1010，則有()A.a1a101>0B.a2a100<0C.a3a990D.a5151答案C解析由題意，得a1a2a3a101×1010.所以a1a101a2a1

18、00a3a990.3.已知等差數(shù)列an中，a26，a515，若bna2n，則數(shù)列bn的前5項(xiàng)和等于()A.30B.45C.90D.186答案C解析因?yàn)椋詀13，d3，bna2na1(2n1)d6n，S590，因此選C項(xiàng).4.(2013·遼寧)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列.其中的真命題為()A.p1，p2B.p3，p4C.p2，p3D.p1，p4答案D解析由于p1：ana1(n1)d，d0，anan1d0，命題p1正確.對于p2：nanna1n(n1)d，nan

19、(n1)an1a12(n1)d與0的大小和a1的取值情況有關(guān).故數(shù)列nan不一定遞增，命題p2不正確.對于p3：d，當(dāng)da10，即da1時(shí)，數(shù)列遞增，但da1不一定成立，則p3不正確.對于p4：設(shè)bnan3nd，則bn1bnan1an3d4d0.數(shù)列an3nd是遞增數(shù)列，p4正確.綜上，正確的命題為p1，p4.5.在等差數(shù)列an中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S1036，前18項(xiàng)和S1812，則數(shù)列|an|的前18項(xiàng)和T18的值是()A.24B.48C.60D.84 答案C解析由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a1

20、0>0，a11<0，T18a1a10a11a18S10(S18S10)60，故選C.二、填空題6.(2013·廣東)在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7_.答案20解析設(shè)公差為d，則a3a82a19d10，3a5a74a118d2(2a19d)20.7.Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S2S6，a41，則a5_.答案1解析由題意知解得a5a4d1(2)1.8.已知數(shù)列an中，a11且(nN*)，則a10_.答案解析由已知(101)×134，a10.三、解答題9.已知等差數(shù)列an中，a28，前10項(xiàng)和S10185.求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.解設(shè)數(shù)列an的

21、公差為d，因?yàn)閍28，S10185，所以，解得，所以an5(n1)×33n2，即an3n2.10.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1<0，S2 0150.(1)求Sn的最小值及此時(shí)n的值；(2)求n的取值集合，使anSn.解(1)設(shè)公差為d，則由S2 01502 015a1d0a11 007d0，da1，a1ana1，Sn(a1an)·a1(2 015nn2).a1<0，nN*，當(dāng)n1 007或1 008時(shí)，Sn取最小值504a1.(2)ana1，Snan(2 015nn2)a1.a1<0，n22 017n2 0160，即(n1)(n2 016)0，解

22、得1n2 016.故所求n的取值集合為n|1n2 016，nN*.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)1.已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若<1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為 ()A.11B.19C.20D.21答案B解析<1，且Sn有最大值，a10>0，a11<0，且a10a11<0，S1919·a10>0，S2010(a10a11)<0，故使得Sn>0的n的最大值為19.2.設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為_.答案 解析an，bn為等差數(shù)列，.，.3.九章算術(shù)“竹九節(jié)”問題：