高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義專題12函數(shù)的綜合問題

1、專題12函數(shù)的綜合問題考綱導(dǎo)讀：考綱要求：理解數(shù)形結(jié)合的思想方法在應(yīng)用題中的作用能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題考綱解讀：此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn) 算能力在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng)考點(diǎn)精析：考點(diǎn)1、圖表信息題此類題目都有圖形（或圖表）作為已知條件，須聯(lián)系函數(shù)的性質(zhì)分析求解，解決問題的 關(guān)鍵是從已知圖形（圖表）中挖掘信息 .【考例1】（湖北八校一聯(lián)）直角梯形 ABCD如圖（1），動點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，由B > C > D > A沿邊運(yùn)動，設(shè)點(diǎn) P運(yùn)動的路程為x，ABP的面積

2、為f（x） 如果函數(shù)y = f（x）的圖象如圖（2），則KABC的面積為（）解題思路：本題考查學(xué)生的識圖能力，首先由圖示能夠求出直角梯形中各邊長，從而求出三角形面積正確答案：由y = f（X）圖象可知，當(dāng)x由0 > 4時(shí)f （x）由0變最大，說明BC = 4,由x =4及x =9時(shí)f （x）不變，說明P點(diǎn)在DC上，即 CD=5.所以 AD=14-9=5,過 D 作 DG _ AB 則 DG=BC=4-AG =3,由此可求出AB=3+5=8.1 1S abc DB BC 8 4 =16 選 B2 2回顧與反思：要能夠結(jié)合用圖熟練習(xí)地加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合具體的函數(shù)解析式的求解并根據(jù) 實(shí)際情況進(jìn)行對

3、照，進(jìn)行識別，是一舉兩得的事，既能了解圖象的信息，又能提高識圖用圖 能力知識鏈接：函數(shù)的圖表及圖象及其性質(zhì)探究是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用【考例2】（壽光四縣期中）在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是x1.99345.16.12y1.54.047.51218.011 2A. y=2x-2 B. y= (x -1) C. y=log 2x D. y=log 1 x 2解題思路：本題可以利用近似計(jì)算和估算解決問題，另一方法

4、是由對已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，連線，近似估算，最接近y作草圖.再看曲線最接近哪一個(gè)函數(shù)圖象 .正確答案：解法一:把表中x的數(shù)值取整數(shù)代入下列函數(shù)中逐一計(jì)算1 2y = 1 x2 -1的圖象.故值的一個(gè)函數(shù)為y x -1 .故選B.解法二：把表中X,y近似描點(diǎn)連線，對照可得最接近的函數(shù)為 選B.回顧與反思：本題可以利用解法二求解，這就需要考生要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法， 掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)知識鏈接：應(yīng)用數(shù)據(jù)邏輯，數(shù)據(jù)庫提供的數(shù)據(jù)邏輯（比如表格中的數(shù)據(jù)）是一種通用的 數(shù)據(jù)邏輯思維方式，從不同的函數(shù)模型中選擇符合條件的函數(shù)，就叫做函數(shù)的建模選擇問題如不等式）考點(diǎn)2、函

5、數(shù)性質(zhì)的綜合性問題 這類題目通常是把函數(shù)單調(diào)性（奇偶性）與函數(shù)其他性質(zhì)或其他知識點(diǎn)（結(jié)合在一起，綜合性很強(qiáng)，對能力要求較高，一般為解答題.【考例1】（北京理）在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì):“對于區(qū)間（1,2）上的任意Xi,X2(X =X2)，| f(xj - f(X2) X2-X1 I恒成立”的只有A. f(x)=XB. f X =XC. f(x) =2XD. f (x) = X2解題思路：本題考查了不等式證明及函數(shù)圖象上兩點(diǎn)間連線斜的幾何意義 用不等式性質(zhì)驗(yàn)證之，也可以通過作圖法判斷斜率關(guān)系得解1正確答案：解法一：據(jù)給定信息，對函數(shù) f x =X可以逐一利11X1 -X21X1X2X1X2由于

6、%x2 1% ： 2,1 ； x2 : 2- %x2 1 ，故選A.解法二：分別作出A B、C、D各選擇支的函數(shù)圖象，若仁為）- f （X2）卜：X2 -,只需該函數(shù)圖象在區(qū)間（1,2）上的任意兩點(diǎn)的連線的斜率的絕對值小于1即可，其中BCD在 X=1與X = 2,兩端的斜率均超過1,僅A符合要求.故應(yīng)選A.回顧與反思：利用斜率公式輔助理解本題的求解 ，思路清晰，方法簡捷，充分顯示了斜 率公式解題的魅力知識鏈接：有些非解析幾何的數(shù)學(xué)問題，往往會借助于斜率公式 k = y2 一 y1 （ x2 - X1）X2 _ X1進(jìn)行命題，使函數(shù)既具有了圖形特征，又具有了抽象的代數(shù)特征【考例2】（揚(yáng)州調(diào)研）已

7、知函數(shù)y = x 1 ， yx 2x 2 t ，1 1 -t32y (x ) (x 0)的最小值恰好是方程x ax bx 0的三個(gè)根，其中2 x0 :：: t <1 .2(I)求證：a =2b 3 ；32(n)設(shè)(m,M) , (x2, N)是函數(shù)f(x)二x ax bx c的兩個(gè)極值點(diǎn).2 若I為-X2 |，求函數(shù)f (x)的解析式；3 求|M - N |的取值范圍.解題思路：本題考查了函數(shù)與方程思想為背景下，以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的解析式及分 類討論法求解字母參數(shù)問題，考查了考生分析問題與解決問題的能力，對考生的能力要求較高正確答案：(I)三個(gè)函數(shù)的最小值依次為 1, ,r"

8、t, 口 ,由 f (1) = 0 ,得 c = a -b -13232f(x)=x ax bx c 二 x ax bx(a b 1)= (x-1)x2 (a 1)x (a b 1),故方程 x2 (a 1)x (a b 0 的兩根是.1 - t , 1 t . 故.1 -t,1 t - -(a 1)，、一 1 -t . 1 t =a b 1.('一百、百)2 =(a 1)2，即 2 2(a b 1) =(a 1)2二 a2 =2b 3 .2(n)依題意xx2是方程f '(x) =3x - 2ax b = 0的根,故有x1x2 =2abx-ix2 :3由(I)知.1 -t 、1

9、 t = -(a 1)0，故 a ： T ,由(I)知.1 -t 、1 t = -(a 1)0，故 a ： T ,且二(2 a)2 -12b0,得 b ：3 .由|捲一x2戶：'.(X1 X2)2 -4X1X2 二2 . a2 - 3b由(I)知.1 -t 、1 t = -(a 1)0，故 a ： T ,由(I)知.1 -t 、1 t = -(a 1)0，故 a ： T ,2、3 b；得，b = 2 , a2 = 2b 3 = 7 .3由(I)知.1 -t 、1 t = -(a 1)0，故 a ： T ,a = -、. 7 , c = - (a b1=.7-3 f (x) =x3 一

10、7x2 2x 、7 一3.|M -N |=| fg - f(X2)| =|(x； -x；) a(x2 -x|) b(N -x?"2=| 為一x21 |(洛 x2) 一為x2 a(x! x2) b|=害| 弓|3 3334273(3-b)223(或27中).xx回顧與反思：用函數(shù)的單調(diào)性求解方程、不等式(組)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)的是解決問32題的關(guān)鍵知識鏈接：要特別注意觀察方程、不等式(組)的特征，進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，弓I進(jìn)函數(shù)來解決問題創(chuàng)新探究：由(I) (a 1)2 = (.,d '一廠T)2 = 2 2 一10 ： t ： 1 ,2 : (a 1)24,又 a ” -1,-2 :

11、 a 1 ： 、一 2 ,七：a-<2 -1 , 3 2 2 : a2 : 9 (或.2 b . 3)0WN|<(2)【探究1 (西安模)已知最小正周期為 2的函數(shù)y=f(x)，當(dāng)x -1,1時(shí)，f(x)=x 2 , 則函數(shù)y=f(x) (x R)的圖象與y=|log 5x|的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.2B.3C.4D.5本題考查周期函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及含有絕對的函 本題考查數(shù)形結(jié)合思想創(chuàng)新思路: 數(shù)的圖象的畫法, 正確答案：x【探究2】(湖北理10文10)關(guān)于x的方程(x2 1)2 X2 1 +k = 0 ,給出下列四個(gè)命題： 存在實(shí)數(shù) 存在實(shí)數(shù) 存在實(shí)數(shù) 存在實(shí)數(shù)k

12、 , k , k , k ,使得方程恰有 使得方程恰有 使得方程恰有 使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根;4個(gè)不同的實(shí)根;5個(gè)不同的實(shí)根;8個(gè)不同的實(shí)根;其中假命題的個(gè)數(shù)是A . 0 B . 1 C. 2D. 3創(chuàng)新思路：本題考查了數(shù)形結(jié)合法討論方程的根的存在性情況，考查了考生函數(shù)建模的能力及對復(fù)合函數(shù)的綜合性質(zhì)的分析能力L y y =(X2 _1)2-|x214正確答案：令 f (x)=(x21)2 X21 ,該函數(shù)為偶函數(shù)，作出該函數(shù)的圖象如右圖所示其與x軸有五個(gè)交點(diǎn)-、2, -1,0,1,.2,當(dāng)-k 0,即k ：0時(shí)，方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根當(dāng)k =0時(shí)，方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；1 1當(dāng)k &l

13、t;0,即0：k 時(shí)，方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；4 41當(dāng)k 時(shí)，方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根.即均為真命題,故應(yīng)選A.4方法歸納：圖表信息問題、函數(shù)性質(zhì)的綜合題解題時(shí)，要能將各方面的性質(zhì)條件等價(jià)轉(zhuǎn)化到位，然后根據(jù)已知條件列出解析式即可在列方程或列函數(shù)解析式時(shí)，要能夠充分抓住所設(shè)的未知量 ，把它當(dāng)作是一個(gè)已知量來表示，去替換條件中的所有的關(guān)鍵語句的變化量關(guān)系，使問題得以求解過關(guān)必練：一、選擇題：31. (海淀期末)已知定義在R上的函數(shù) f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-，0)對稱，且滿足43f(x)二-f(x ) , f(-1) =1, f(0) = -2,則f(1) f(2) f(3)f(200§

14、 的值為()2A. - 2B. - 1C. 0D. 12.(湖北模)定義域和值域均為-4, 4 F列命題正確的是A. 方程f g(x) =0有且僅有三個(gè)根B. 方程g f(x) =0有且僅有三個(gè)根C. 方程f f(x) =0有且僅有兩個(gè)根D. 方程g g(x) =0有且僅有兩個(gè)根的函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象如圖所示,3.(山東)函數(shù)f (x) = !Sin(；ix)-1 ux <.0，若彳+心則a的所有可能值為 蘭0A.1c.12194.(全國n理)函數(shù)f(x)= x-n的最小值為A. 190B. 171C. 90D. 455.(江西九校模)對任意兩實(shí)數(shù)a,b，定義運(yùn)算如下:a

15、*b = Ja，(a蘭b )，則函數(shù)b,(a>b)f (x)二 log 1 (3x - 2) log? x 的值域?yàn)?)2A.(：,0 B. log21,0_ 3C. logD. R二、填空題：6.(遼寧文)方程 log2(x -1)=2 -Iog2(x 1)的解為7.下表中的對數(shù)值只有兩個(gè)錯(cuò)誤的，請予以確認(rèn)與x0.271.5379lg x6a-3b-23a - b2a -b2(a + b)4a-2b8. 下列四個(gè)命題 若函數(shù)f (x)滿足f (x -a) = f (a -x)，則函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于y軸對稱 若函數(shù)f (x)滿足f (x -a)=f (a -x),則函數(shù)f (x)的

16、圖象關(guān)于直線 x = a對稱 函數(shù)y=f (x -a)與y=f (a -x)的圖象關(guān)于y軸對稱 函數(shù)y=f (x -a)與y=f (a -x)的圖象關(guān)于直線 x= a對稱其中正確的命題是 .9.(北京四中)定義在 2, +8)上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x") = -f(x)，且在-1 , 0上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f (x)的判斷：f (x)是周期函數(shù)； f (x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱；f (x)在0, 1上是增函數(shù)；f (2)二f (0)其中正確的判斷是 (把你認(rèn)為正確的判斷都填上)1110.(重慶模)關(guān)于函數(shù)f(x)=1 - cos2x-( )|x,有下面四個(gè)結(jié)論:2 211.

17、設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足:(i)f(Xi X2)=f(X1)f(X2)1f(X2)- f(X1)(1)f (x)是奇函數(shù)；(2)1當(dāng)x 2005時(shí)，f(x) 恒成立;2(3)f (X)的最大值是-;2(4)1f (x)的最小值是_一2其中正確結(jié)論的序號是三、解答題:(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：(1) f(X)是奇函數(shù).(2) f(X)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是4a.12. (湖北模)已知定義在 R+上的函數(shù)y=f(x)滿足對任意a、b R+有f(a b)=f(a)+f(b);當(dāng) x> 1 時(shí)，f(x)v0;f(3)=-1(1) 證明函數(shù)y=f(x)在R+上為

18、單調(diào)減函數(shù)； p1若集合 A=(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2>0,p,q R+，集合 B=( p,q) |f()+=0,p,q R+q 2試問是否存在p, q的值，使A n B，若存在求出p、q的值，若不存在說明理由.a,b 的取值13. (壽光四縣期中)已知f(x)是定義在-1,1 上的奇函數(shù)，且f(1)=1 ,若f(a) f(b)門-1,1 ,a+b 0 有> 0.a +b(1 )判斷函數(shù)f(x)在-1,1 上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2) 解不等式f(x+丄)v f( )；2 x -12(3) 若 f(x) < m -2am+1，對所有 x -

19、1,1 ,a -1,1 恒成立，求實(shí)數(shù) m范圍14.(江蘇)設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù) f (x) = a 1 - x2 . 1 x 1 - x的最大值為g(a).(I)設(shè)t= .1 x 1 x，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)(n)求 g(a)(川)試求滿足g(a)=g()的所有實(shí)數(shù)aa過關(guān)必練參考答案：31. D 解析：由 f(X)- - f(X ),23 33可得 f(x 3)= f(x 32H_f(x ±)= -f(x) = f(x),2 223即3是函數(shù)f (x)是的一個(gè)周期.又函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一 ，0)對稱，43 333二 f (x ) = - f

20、(x ) = - f (一3 - x),由 f (x) = - f (x )，即 T=322223 可得 f(x)二- f(x ) = -f(-3-x) = f (-3-x) = f(-x),2從而得函數(shù)f (x)為偶函數(shù)，f(1)=f(_1)=1, f(2) = f (一3 2) = f(_1) =1, f(3) = f(0) 2,從而得 f(1)= f(4) = f(7) =1 , f(2) = f(5) = f(8) =1f(3) =f(6) =f (9) = -2 , f (1) f (2) f 出 卷 f (2005)668個(gè)=(1 1 -2)(11 -2)茫“嘉(1 1 -2)1

21、=1 . 故應(yīng)選 D .2. A解析:本題是圖象信息題，抓住圖象特征即可，如圖所示 f x l-4,4|g x 1-4,41f g x丨-0= g x - -3, -1,3,所以f g x I - 0有且只有三個(gè)根.gf x丨=0 f x =3,所以g f x丨=0有且只有一個(gè)根.ff x丨=0= f x - -3, -1,3,所以ff x0有且只有5個(gè)根g g x丨=0= g x =3,所以g !g x丄0有且只有一個(gè)根，故應(yīng)選sin(二 x2), T ： x ： 0,3. C解析：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域等 f(x)二 :又屮八0.f(1) f(a)=2,將 x=1 代入得 f(

22、1)=1 , f (a)=1,當(dāng)一1<x<0時(shí)sin兀2=1，當(dāng) x>0 時(shí),只有 f(1)=1 ,22J 2a的所有可能值為1與2 .故應(yīng)選C.219x -n=|x_1| |x_2|x_19|4. C 解析：f(x)=、n 2由函數(shù)f (x)的對稱性可得，當(dāng)x = 10時(shí)可得函數(shù)f(x)的最小值為f(10)=9 8 76 5 4 3 2 1 0 12 3 4 5 6 7 8 9=90.6.、- 5解析：由已知可得log2(x -1)(x 1) =2,x -10,即得x 10,x2 =5,原方程的解為x 1,19197. lg7 與 lg1.5 解析：由 Ig3=2a-b,

23、Ig9 =4a -2b =2lg3lg0.27 =6a-3b-2 =3lg3 -2知此三個(gè)式子同時(shí)正確或同時(shí)錯(cuò)誤，但由于表中只有兩個(gè)值錯(cuò),故此三個(gè)值均正確故lg 7與lg1.5均錯(cuò)誤.8. 解析：注意、是函數(shù)f (x)滿足f (x -a)=f (a -x),令x -a= t,則a -x=-,有f (t)=f(-),貝U f (x)是偶函數(shù)，故函數(shù)關(guān)于y軸對稱，故正確；、是兩個(gè)函數(shù)的對稱問題， 可用圖象法作出f (x)和 f ( -c)的圖象，再作出f (x -a)和f (-+a) 的圖象，故知y=f(x -a)和y=f (a -x)的圖象為函數(shù)f (x)和 f ()的圖象同時(shí)向右平移了 a個(gè)單

24、 位所得，故函數(shù)y=f(x -a)和 y=f (a -x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.即正確9. 解析：本題以開放題形式出現(xiàn)，全面地考查了抽象函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、函數(shù)圖象的對稱性等性質(zhì)的探究，由 f (x 1) - - f (x)，可得 f (x 2) - - f (x 1) - f (x) = f (x) , f (x)是周期函數(shù)且2是其一個(gè)周期， f (2) = f (0) 即得正確f (x)為偶函數(shù)， f(-x)二f (x)二f(x 2) , f (x)的圖象關(guān)于直線 x = 1對稱，即得f (x)在0，1上是減函數(shù)，即得正確；/ f(x)為偶函數(shù)，且在-1，0上是增函數(shù) 錯(cuò)誤故

25、應(yīng)填.1110.解析:由函數(shù)f(x) =1cos2x-( )x可得,22f(x) =1 一 1 cos2x-('兇二彳(x)，即函數(shù)f (X)為偶函數(shù) 錯(cuò)誤;2 2令 x =2005二,，則錯(cuò)誤;可得 f (2005二)T-1-)2005，丄-(丄)2005二2 2 2 2 21 1313由 f(x)=1cos2x _( )|X|cos'x-D/得錯(cuò)誤；2 222211顯然當(dāng)x = 0時(shí)，f (x)最小值二1一-1即正確.2211.證明：(1)不妨令 X=Xi X2，則 f(-X)=f(X2-Xi)= f(X2)f(Xi) 1f (Xi) 一 f(X2)f(Xjf(X2)1f(

26、X2) - f (Xj=-f(X1 - x2)= - f(x). f(X)是奇函數(shù).(2)要證 f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算 f(x+a),f(x+2a).-f(a) -f (x):W x-(-a): =ffx1(a)f(X) 1f(X 2a)7(x a)f(X) -1 jf(X) 11f (x) -1 1f (x).f(x) 1 f(1)=01- 口 f( )=-f(x),任取 XI、X2 R 且 Xi < X2 X f(1)=f(X)+f(1)=0Xx21、f( - )=f(X2)+f()=f(X2)-f(X1)< 0, f (X1)X1X1x2 1X1函數(shù)f(x)在 R

27、-上為單調(diào)減函數(shù).假設(shè)這樣的p,q存在使AH B，由可得：f(9)=-2f(一 3 )=-?< f (X2)- f(p2+1)-f(5q)-2 > 0二 f(p2+1)+f(9) > f(5q)二 f(9p2+9) > f(5q) 則由式得：9p2+9< 5q ，而 f( )=- 1 =f(3 ) q 2 f(x+4a)=f (x+2a)+2a =f(x)，故 f(x)是以 4a 為周期的周期函數(shù).一 f (x +2a)12.解析:(1):取 a=b=1 則 f(1)=f(1)+f(1)人1令 a=x,b=x函數(shù) f(X)在 R+上單調(diào)，= . 3 = p= 3q

28、q將代入可得：27q2-5q+9< 0, =25-36 X 27<0,即由 27q2-5q+9< 0 知 q$假設(shè)錯(cuò)誤，這樣的p, q不存在 13.解析：(1)任取X1,X2 -1,1 :,且 X1 < X2，則-x 2 -1,1 :,又 f(X)是奇函數(shù),于是有:f(x 1 )-f(x 2 )=f(x 1 )+f(-x 2)= (x 1 -x 2 ),X1 + (X2)由已知IS x2L > 0,x 1 -x 2 v 0,所以 f(x 1 )-f(x x1 ' ( 'x2 )2) V 0,即 f(x1)V f(X 2).所以函數(shù)f(x)在-1,1

29、 上是增函數(shù)(2) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在-1,1 L上是增函數(shù)，所以不等式1f(x+ ) V f(21丄)等價(jià)于不X 11-1 _ X 1,2等式組：11 1,x -11 1X + -V ,2 x -1< 1 ；由得x乞0,或x> 2;由得x V -1,23所以原不等式的解集為x|- - < x V -1.2-1,1 L a -1,1 :,(3) 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在-1,1 上都是增函數(shù)，且 f(1) = 1, 故對所有的x -1,1 :,有f(x) < 1.由已知，對所有的x f(x) < m -2am 1 恒成立，有 m2 -2 am 1 > 1 成立，即 m2 -2am > 0.記gA.=-2am+m2,對所有的a -1,1 L gA. > 0成立，只需 gA.在-1,1 L上的最g(1) KO,小值大于等于 0.即盧解得：m< -2,或m=0,或m> 2.J(1) KO,故m的取值范圍為 m< -2,或m=Q或m> 2.14.解析：(