中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練：定值和最值問(wèn)題版

1、定值問(wèn)題解1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系O中，矩形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4），現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OC（不包括端點(diǎn)O，C）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，勻速向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段CD（不包括端點(diǎn)C，D）以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t=2秒時(shí)PQ=.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；（2）連接AQ并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)E,把AE沿AD翻折交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接EF，則AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；若不變化，求出S的值.（3）在（2）的條件下，t為何值時(shí)，四邊形APQF

2、是梯形？【答案】解：（1）由題意可知，當(dāng)t=2（秒）時(shí)，OP=4，CQ=2，在RtPCQ中，由勾股定理得：PC=4，OC=OP+PC=4+4=8。又矩形AOCD，A（0，4），D（8，4）。t的取值范圍為：0t4。（2）結(jié)論：AEF的面積S不變化。AOCD是矩形，ADOE，AQDEQC。，即，解得CE=。由翻折變換的性質(zhì)可知：DF=DQ=4t，則CF=CD+DF=8t。S=S梯形AOCFSFCESAOE=（OA+CF）OC+CFCEOAOE= 4（8t）×8+（8t）×4×（8）?；?jiǎn)得：S=32為定值。所以AEF的面積S不變化，S=32。（3）若四邊形APQF是

3、梯形，因?yàn)锳P與CF不平行，所以只有PQAF。由PQAF可得：CPQDAF。CP：AD=CQ：DF，即82t：8= t：4t，化簡(jiǎn)得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合題意，舍去。當(dāng)t=秒時(shí)，四邊形APQF是梯形。2、如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120°，AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BCCD上滑動(dòng)，且E、F不與BCD重合（1）證明不論E、F在BCCD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；（2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BCCD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大

4、（或最?。┲怠敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖，連接AC四邊形ABCD為菱形，BAD=120°，BAE+EAC=60°，F(xiàn)AC+EAC=60°，BAE=FAC。BAD=120°，ABF=60°。ABC和ACD為等邊三角形。ACF=60°，AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得ABEACF，則SABE=SACF。S四邊形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是

5、定值。作AHBC于H點(diǎn)，則BH=2，。由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短故AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又SCEF=S四邊形AECFSAEF，則此時(shí)CEF的面積就會(huì)最大SCEF=S四邊形AECFSAEF。CEF的面積的最大值是。（2） 由運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的線段和差問(wèn)題（最值問(wèn)題）1、如圖所示，已知A，B為反比例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在x正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是【 】A. B. C. D. 【答案】D?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，三角形三邊關(guān)

6、系?！痉治觥堪袮，B分別代入反比例函數(shù) 得：y1=2，y2= ，A（ ，2），B（2， ）。在ABP中，由三角形的三邊關(guān)系定理得：|APBP|AB，延長(zhǎng)AB交x軸于P，當(dāng)P在P點(diǎn)時(shí)，PAPB=AB，即此時(shí)線段AP與線段BP之差達(dá)到最大。設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐標(biāo)代入得： ，解得：。直線AB的解析式是。當(dāng)y=0時(shí)，x= ，即P（ ，0）。故選D。2、如圖，拋物線l交x軸于點(diǎn)A（3，0）、B（1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，3）將拋物線l沿y軸翻折得拋物線l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的對(duì)稱軸上找出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A1及C兩點(diǎn)的距離差最大，并說(shuō)出理由；【答案】解

7、：（1）如圖1，設(shè)經(jīng)翻折后，點(diǎn)AB的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1，依題意，由翻折變換的性質(zhì)可知A1（3，0），B1（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)不變，拋物線l1經(jīng)過(guò)A1（3，0），B1（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，設(shè)拋物線l1的解析式為y=ax2+bx+c，則，解得。拋物線l1的解析式為：y=x22x3。（2）拋物線l1的對(duì)稱軸為：x=，如圖2，連接B1C并延長(zhǎng)，與對(duì)稱軸x=1交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求。此時(shí)，|PA1PC|=|PB1PC|=B1C。設(shè)P為對(duì)稱軸x=1上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，則有：|PAPC|=|PB1PC|B1C（三角形兩邊之差小于第三邊），|PAPC|PA1PC|，即|PA1PC|最大。設(shè)直

8、線B1C的解析式為y=kx+b，則，解得k=b=3。直線B1C的解析式為：y=3x3。令x=1，得y=6。P（1，6）。3、如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與一直線相交于A（1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N其頂點(diǎn)為D（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EFBD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求APC的面積的最大值【答案】解：（1）由

9、拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0）及C（2，3）得，解得。拋物線的函數(shù)關(guān)系式為。設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+n，由直線AC過(guò)點(diǎn)A（1，0）及C（2，3）得，解得。直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1。（2）作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N， 令x=0，得y=3，即N（0，3）。N（6，3）由得D（1，4）。設(shè)直線DN的函數(shù)關(guān)系式為y=sx+t，則，解得。故直線DN的函數(shù)關(guān)系式為。根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，知當(dāng)M（3，m）在直線DN上時(shí)，MN+MD的值最小，。使MN+MD的值最小時(shí)m的值為。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）， 當(dāng)BD為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由B、C、

10、D、N的坐標(biāo)知，四邊形BCDN是平行四邊形，此時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，即E（2，3）。 當(dāng)BD為平行四邊形邊時(shí)，點(diǎn)E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），則F（x，）。又BD=2若四邊形BDEF或BDFE是平行四邊形時(shí)，BD=EF。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），E（0，1）。若，解得，E或E。綜上，滿足條件的點(diǎn)E為（2，3）、（0，1）、。（4）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQx軸交AC于點(diǎn)Q；過(guò)點(diǎn)C作CGx軸于點(diǎn)G， 設(shè)Q（x，x+1），則P（x，x2+2x+3）。 。 ，當(dāng)時(shí)，APC的面積取得最大值，最大值為。4、如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及

11、對(duì)稱軸（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得MA+MB的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)， ，解得。拋物線的解析式為：，其對(duì)稱軸為：。（2）由B（2，3），C（0，3），且對(duì)稱軸為x=1，可知點(diǎn)B、C是關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)。如圖1所示，連接AC，交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)M，連接MB，則MAMB=MAMC=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)MAMB的值最小。設(shè)直線AC的解析式為y=kxb，A（4，0），C

12、（0，3）， ，解得。直線AC的解析式為：y=x3。令x=1，得y= 。M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）。（3）結(jié)論：存在。如圖2所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：若BCAP1，此時(shí)梯形為ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx軸，則x軸與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)P1即為所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四邊形ABCP1為梯形。若ABCP2，此時(shí)梯形為ABCP2。設(shè)CP2與x軸交于點(diǎn)N，BCx軸，ABCP2，四邊形ABCN為平行四邊形。AN=BC=2。N（2，0）。設(shè)直線CN的解析式為y=k1x+b1，則有： ，解得。直線CN的解析式為：y=x+3。點(diǎn)P2既在直線C