初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(26)數(shù)的整除(三)含答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(26) 數(shù)的整除(三)甲內(nèi)容提要在第1講數(shù)的整除(一)和44講數(shù)的整除(二)中，分別介紹了數(shù)的整除特征和運(yùn)用因式分解法解答數(shù)的整除問題，本講介紹應(yīng)用“同余”方面的知識.一. 同余的概念 兩個整數(shù)a和b被同一個正整數(shù)m除，所得的余數(shù)相同時，稱a,b關(guān)于模m 同余.記作ab(mod m).如：8和15除以7同余1，記作815(mod 7),讀作8和15關(guān)于模7同余.2003=7286+1， 20031 (mod 7)；7和6對于模13同余6（余數(shù)是非負(fù)數(shù)）76（mod 13）；35和0除以5，余數(shù)都是0（即都能整除）350（mod 5）.二. 用同余

2、式判定數(shù)的整除若ab(mod m)，則m|(ab). 即ab0(mod m)m|(ab).例如：1125(mod 7)7|(2511)；或 7|(1125).25+352+30 (mod 5)， 5|25+35.三. 同余的性質(zhì) (注意同余式與等式在變形中的異同點(diǎn))1. 傳遞性： .2. 可加可乘性：推論 可移性：ab+c (mod m)(ab)c(mod m).可倍性：ab(mod m)kakb(mod m) (k為正整數(shù)).可乘方：ab(mod m) anbn(mod m) (n為正整數(shù)).3. 當(dāng)d 是a,b,m的正公因數(shù)時， ab(mod m)(mod ). 如：2是20，26，6的正

3、公因數(shù)，2026(mod 6)(mod 3).四. 根據(jù)抽屜原則：任給m+1個整數(shù)，其中至少有兩個數(shù)對于模m同余.即至少有兩個，其差能被m 整除.例如：任給5個數(shù)a,b,c,d,e.其中至少有兩個，它們的差能被4整除.除以4的余數(shù)只有0，1，2，3四種.5個數(shù)除以4至少有兩個同余.乙例題 例1.已知：69，90，125除以正整數(shù)n有相同的余數(shù).求：n的值解：6990(mod n)， 90125(mod n). n|(9069)， n|(12590).而21,35的最大公約數(shù)是7，記作(21,35)=7 (7是質(zhì)數(shù)).n=7例2.求388除以5的余數(shù).解：383 (mod 5)，38838(32

4、)4(1)41 (mod 5).(注意 9除以5余4，1除以5也是余4，321 (mod 5)例3.求的個位數(shù)字.解： 74k+n與7n的個位數(shù)字相同， 且91 ( mod 4)， 9919 1 (mod 4).與71的個位數(shù)字相同都是7.例4.求證：7|(+).證明：+=(22225)1111+(55552)11112222=7317+3 ， 5555=7793+4.22223 ( mod 7)； 55554 (mod 7).22225355(mod 7)； 55552422 (mod 7).22225+555525+20 ( mod 7). 即2222555552 (mod 7).(222

5、25)1111(55552)1111(55552)1111 (mod 7).+0 (mod 7).7|(+).例5.求使32n1能被5整除的一切自然數(shù)n.解：321 (mod 5) ， (32)n(1)n (mod 5). 32n1(1) n1 (mod 5)當(dāng)且僅當(dāng)n為偶數(shù)時，(1) n1=0.使32n1能被5整除的一切自然數(shù)n是非負(fù)偶數(shù)例6.已知：a,b,c是三個互不相等的正整數(shù).求證：a3bab3,b3cbc3,c3aca3三個數(shù)中，至少有一個數(shù)能被10整除.（1986年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）證明：用同余式判定整除法證明 當(dāng)正整數(shù)n的個位數(shù)是0，1，4，5，6，9時，n3 的個位數(shù)也是0，

6、1，4，5，6，9.這時n3 n (mod 10)；當(dāng)正整數(shù)n的未位數(shù)為2，3，7，8時，n3 的個位數(shù)分別是8，7，3，2.8與2，7與3，3與7，2與8，除以10是同余數(shù)，這時n3n (mod 10)； 把三個正整數(shù)a,b,c按個位數(shù)的情況，分為上述兩類時，則至少有兩個屬于同一類.設(shè)a,b的末位數(shù)是同一類，那么 a3bab3abab0 (mod 10)；或a3bab3(a)ba(b)0 (mod 10). 10| (a3bab3)丙練習(xí)261.三個數(shù)33，45，69除以正整數(shù)N有相同余數(shù)，但余數(shù)不是0，那么N=_.2.求的個位數(shù)字.3.求37除以19的余數(shù)； 41989除以9的余數(shù).4.求

7、1990的余數(shù).5.四個數(shù)2836，4582，5164，6522都被同一個正整數(shù)除，所得的余數(shù)都相同且不是0，求除數(shù)和余數(shù).6.求證：7|(+).7.已知：正整數(shù)n2 .求證： (mod 4).8.任給8個整數(shù)，其中必有兩個，它們的差能被7整除，試證之.9.求使2n+1能被3整除的一切自然數(shù)n.10.已知69，90，125除以N (N1) 有同余數(shù)，那么對于同樣的N，81同余于()（A）3.（B）4.（C）5.（D）7.（E）8.（1971年美國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題）參考答案練習(xí)261. N=12，6，2.(舍去3，余數(shù)是0).解法仿例1.2. 個位數(shù)字是3.71(mod 4), 7(1)7(mo

8、d 4)仿例33. 余數(shù)是18和1.371 (mod 19) 原式1 18 (mod 19)；41989=(43)663 641(mod 9) 646631663 1.4. 余數(shù)是1. 19891 (mod 1990) (1)19901 (mod 1990).5. 根據(jù)題意2836458251646522r (mod m)而且45822836=1746, 65225164=1358. m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=297 m=194, 97, 2 (2不合題意.舍去)答：除數(shù)為194，余數(shù)是120或除數(shù)為97，余數(shù)是236. +14444+(1)33330 (mod 7).7. 00+11113 (mo