通信網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計問題

1、通信網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計冋題通信網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計問題摘要 本文針對通訊網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題，使用圖論中最小生成樹法、節(jié)點排除法、網(wǎng)絡(luò)故障分析法、對 比分析法等方法，分別構(gòu)建普里姆（ prim ）模型、節(jié)點故障模型、鏈路故障模型等模型，使用 Matlab 軟件編輯算法，得到通訊網(wǎng)絡(luò)總費用最省的鋪設(shè)方案、可靠性條件下最省鋪設(shè)方案以及 綜合條件下最省鋪設(shè)方案。針對問題一要求，具體要求為使得通信網(wǎng)絡(luò)的總鋪設(shè)費用最省，首先使用了簡化模型分析、 反證法等方法， 證明最小生成樹算法能測算無向圖遍歷節(jié)點的最省方案， 其次應(yīng)用最小生成樹法 中的普里姆（prim ）算法構(gòu)造通訊網(wǎng)絡(luò)總費用最省模型使用 Matlab軟件編程，得到最優(yōu)鋪設(shè)方

2、案 并作圖。針對問題二要求任意一個結(jié)點出現(xiàn)故障時， 其它結(jié)點間仍然能夠保持通信暢通的可能性都達 到 90%時最省鋪設(shè)方案設(shè)計問題，首先使用節(jié)點排除法進行處理，找到重要節(jié)點，利用樹圖將節(jié) 點分類，再通過分類失效節(jié)點與有效節(jié)點連接達到通暢性要求， 最后使用 Matlab 軟件編程得出節(jié) 點故障模型下最省鋪設(shè)方案。針對問題三要求， 任意一條鏈路被破壞時， 能夠保持通信暢通的結(jié)點都能夠達到 90%時最省 鋪設(shè)方案設(shè)計問題，首先找到重要鏈路，并分析鏈路影響的節(jié)點，用樹圖將節(jié)點分類，再通過分 類失效節(jié)點與有效節(jié)點連接達到通暢性要求， 最后使用 Matlab 軟件編程得出鏈路故障模型下最省 鋪設(shè)方案。針對問

3、題四要求， 綜合考慮網(wǎng)絡(luò)的可靠性以及鋪設(shè)費用確定合理的鋪設(shè)方案問題， 首先對比 分析問題二與問題三的節(jié)點分類， 得出節(jié)點穩(wěn)定性比鏈路穩(wěn)定性更重要的結(jié)論； 再通過節(jié)點故障 模型分別構(gòu)造通信暢通的可能性都達到 85%、90%、95%時所對應(yīng)的最低鋪設(shè)費用，使用Matlab 軟件編程，得到綜合考慮下的鋪設(shè)方案。本文后續(xù)對模型進行了誤差分析。 還基于對問題四中可靠性不僅僅與節(jié)點和鏈路的穩(wěn)定性有 關(guān)，還與節(jié)點的度有關(guān)，故引進節(jié)點的度對模型進行改進，并利用蟻群算法建立綜合目標(biāo)下的鋪 設(shè)模型；最后對模型做出了縱向的推廣和橫向的推廣。關(guān)鍵詞：網(wǎng)絡(luò)通訊設(shè)計；最小生成樹法；故障分析法；蟻群算法； matlab&#

4、167;問題的重述、背景知識傳統(tǒng)的通信網(wǎng)絡(luò)是由傳輸、交換和終端三大部分組成。傳輸是傳送信息的媒體，交換是各種終端交換信息的中介體，終端是指用戶使用的話機、手機、傳真機和計算機等?，F(xiàn)代電信網(wǎng)是由專業(yè)機構(gòu)以通信設(shè)備（硬件）和相關(guān)工作程序（軟件）有機建立的 通信系統(tǒng)，為個人、企事業(yè)單位和社會提供各類通信服務(wù)的總和?，F(xiàn)在計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)在各個領(lǐng)域的應(yīng)用范圍已經(jīng)逐步廣泛起來，其發(fā)展也在不斷的推動人類社會逐漸走向信息時代。網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的發(fā)展不僅促進了社會生產(chǎn)力的提高，也為 人們的生活帶來了很大的方便。然而，與此同時也存在著很多不足，諸如安全隱患、信 息漏洞等，這些對于人們的工作和生活造成了很大的影響。我們在需要

5、在研究通信網(wǎng)絡(luò) 鋪設(shè)問題時的費用問題時，也要充分考慮其的可靠性?？煽啃允瞧渲匾恼w指標(biāo)，通 信網(wǎng)絡(luò)的可靠性不僅與通信設(shè)備、鏈路有關(guān)，而且還與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有關(guān)。由于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的 復(fù)雜多變，通信網(wǎng)絡(luò)的可靠性分析一直是個棘手的問題。、相關(guān)資料1. 80個節(jié)點之間的距離表和鋪設(shè)線路的單位費用表（見附表 1）;三、要解決的問題問題1要使得通信網(wǎng)絡(luò)的總鋪設(shè)費用最省，請建立問題的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計求解算 法，給出鋪設(shè)方案，并討論方案的可靠性；問題2.考慮到通信網(wǎng)絡(luò)結(jié)點的可靠性，若要求任意一個結(jié)點出現(xiàn)故障時，其它結(jié) 點間仍然能夠保持通信暢通的可能性都達到90%，請建立問題的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計求解算法，并給出使總鋪設(shè)費用最

6、少的鋪設(shè)方案；問題3:考慮到通信網(wǎng)絡(luò)鏈路的可靠性，若要求任意一條鏈路被破壞時，能夠保持 通信暢通的結(jié)點都能夠達到90%，請建立問題的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計求解算法，并給出使 總鋪設(shè)費用最少的鋪設(shè)方案；問題4:綜合考慮網(wǎng)絡(luò)的可靠性以及鋪設(shè)費用，試確定合理的鋪設(shè)方案。§問題的分析、問題的總分析對于問題的總分析，可以給出四個問題整體框架圖，見圖1彳I可趙二*考底與戸林沖慨率田低成豐請直*拾障分殼*析槓型*用舟怎優(yōu)冇秦*間題四即冋題一、推廣對出吩析搓1做不同可靠性槪率下的圖1四個問題的整體框架圖二、對具體問題的分析1. 對問題一的分析某通信公司擬建一個具有80個結(jié)點的通信網(wǎng)絡(luò)，需要在這些結(jié)點之間鋪設(shè)

7、線路，進 行數(shù)據(jù)傳輸。我們需要根據(jù)附件內(nèi)容建立數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計算法使得通信網(wǎng)絡(luò)的總鋪設(shè) 費用最省，并證明可靠性。我們引入圖論中普里姆算法（Prim算法），算法對通信網(wǎng)絡(luò)的每條路的鋪設(shè)費用總額進行模擬測算，形成鋪設(shè)費用的最小生成樹，并通過簡化模型進行檢驗算法的可靠性。2. 對問題二的分析問題要求這80個節(jié)點任意一個節(jié)點出現(xiàn)故障時，其它節(jié)點間仍然能夠保持通信暢 通的可能性都達到90%，在問題一所得出的最小生成樹的的基礎(chǔ)上，若其中只有一個 重要節(jié)點發(fā)生故障時，會造成八個節(jié)點以上故障，那么通信暢通的可能性就不能達到 90%，故通過節(jié)點刪除法找到重要節(jié)點，再從重要節(jié)點引起故障的其他失效節(jié)點中找到 一個節(jié)

8、點與其他正常節(jié)點連通使得發(fā)生故障的節(jié)點數(shù)少于八個即可，并且改進方案所鋪設(shè)的費用是最省的。3. 對問題三的分析問題要求79個鏈路中任意一條鏈路被破壞時，能夠保持通信暢通的節(jié)點都能夠達 到90%。同樣在問題一所得出的最小生成樹的的基礎(chǔ)上，我們考慮到若其中只要有一 個重要鏈路被破壞時，會造成八個節(jié)點以上故障，那么通信暢通的可能性就不能保證達 到90%，所以，我們可以通過逐個分析每條鏈路，找到重要鏈路，一個鏈路被破壞會 使最小生成樹分割成兩個部分，其中一部分則是失效的，然后再從重要鏈路被破壞而引 起的其他失效節(jié)點中找到一個節(jié)點與其他正常節(jié)點連通使得發(fā)生故障的節(jié)點數(shù)少于或 等于八個，我就能保證通信暢通的

9、可能性達到 90%，并且我們要找到的這個節(jié)點與其他正常節(jié)點連通所鋪設(shè)的費用是最省的4. 對問題四的分析問題要求是綜合考慮網(wǎng)絡(luò)的可靠性以及鋪設(shè)，試確定合理的鋪設(shè)方案。首先對比分析問題二與問題三的節(jié)點分類，發(fā)現(xiàn)問題三中節(jié)點的分類包含了問題二中節(jié)點的分類，若滿足了了節(jié)點穩(wěn)定性的要求，則一定能滿足鏈路穩(wěn)定性的要求，故得出節(jié)點穩(wěn)定性比鏈路穩(wěn)定性更重要的結(jié)論； 再通過節(jié)點故障模型分別構(gòu)造通信暢通的可能性都達到85%、90%、95%時所對應(yīng)的最低鋪設(shè)費用，使用Matlab軟件編程，綜合考慮穩(wěn)定性和鋪設(shè)費用得出鋪設(shè)方案。§模型的假設(shè)1. 兩個節(jié)點之間的費用僅由節(jié)點之間的距離和鋪設(shè)線路的單位費用決定；

10、2. 各節(jié)點和各鏈條間發(fā)生故障是相互獨立的，節(jié)點 1發(fā)生故障不影響節(jié)點2發(fā)生 故障；3. 每個節(jié)點的重要性是相等的，不存在次級差別；4. 任意兩個節(jié)點之間可以進行連接，且一個節(jié)點可以連接的節(jié)點不受限制；5. 網(wǎng)路的穩(wěn)定性與節(jié)點所連的鏈路條數(shù)無關(guān)，即每個節(jié)點和鏈路出現(xiàn)故障的可能 性是相等的；§4名詞解釋與符號說明、名詞解釋1. 最小生成樹：一個有n個結(jié)點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包 含原圖中的所有n個結(jié)點，并且有保持圖連通的最少的邊。2. 普里姆算法（Prim算法）指可在加權(quán)連通圖里搜索最小生成樹。意即由此算 法搜索到的邊子集所構(gòu)成的樹中， 不但包括了連通圖里的所有頂點，

11、且其所有邊的權(quán)值 之和亦為最小。、主要符號說明序 號符 號符號說明1V表示加權(quán)連通圖的節(jié)點集合2E表示加權(quán)連通圖的邊集合3t表示V集合中的任意節(jié)點4V。表示初始的節(jié)點集合5u表示集合Vo中的元素6v表示V中的節(jié)點但不是V。中的節(jié)點7Xj表示一個0、1變量，0，1分別表示選中和未選中8Wj表示節(jié)點i到節(jié)點j鋪設(shè)線路所花費的費用9Z表示所選的鋪設(shè)方案所花費的總費用10 | e表示最小生成樹的鏈路§5模型的建立與求解一、問題一的分析與求解1 問題的分析問題要求根據(jù)附件內(nèi)容建立數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計算法使得通信網(wǎng)絡(luò)的總鋪設(shè)費用最 省，并證明可靠性；我們引入圖論中普里姆算法（ Prim算法），算法對

12、通信網(wǎng)絡(luò)的每條 路的鋪設(shè)費用總額進行模擬測算， 形成鋪設(shè)費用的最小生成樹，并通過簡化模型進行檢 驗算法的可靠性。本文中連通圖的頂點為80個通訊網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點，所有邊的權(quán)值為兩節(jié)點之間的鋪設(shè)通 訊鏈路的總費用，通過普里姆算法可以得出聯(lián)通所有頂點并且使總鋪設(shè)費用最低的樹 圖，即相對于問題一的最優(yōu)鋪設(shè)方案。2 問題的求解模型I總鋪設(shè)費用最省模型模型的建立普里姆算法（Prim算法）的步驟：從單一點開始，普里姆算法按照以下步驟逐步擴大樹中所含節(jié)點的數(shù)目，直到遍歷連通圖的所有節(jié)點。首先設(shè)加權(quán)連通圖的節(jié)點集合為V ,邊集合為E，初始化V t，其中t為集合V中的任意節(jié)點，其次在集合E中選取權(quán)數(shù)最小的邊（u,v），

13、其中u為集合 Vo中的元素，而v不是，如果存在權(quán)數(shù)一樣的可任選其中之一，再次，將v加入到Vo，重復(fù)第二第三步，直到Vo V。引入一個變量Xjj， Xjj 0時說明該路徑未被選中，1則表示被選中count（V）為總結(jié)n nmin Zwij xij點數(shù)建立的數(shù)學(xué)模型如下i 1 j 1為 n 1st. i 1 j 1xijcoun t(V)i，j V。算法流程圖見圖2切姫祀鄰檢矩陲兒嶄小費用劉1 口 數(shù)組也乳標(biāo)記訪冋矩陣vlshix乩 帶果辿陣R尤裟為0,粗陣大從第測開刪曳尋可沖元耒為呻券點弄謝T距鬲帔加謹(jǐn)?shù)跣聵?biāo)壬疥陣此【*莘合每拽赫記為1卸騰電垣陣第一列表示述複砸序弟二歹I表示連扳序號片圖2問題一

14、的算法流程圖為了更好的表現(xiàn)算法內(nèi)容，用以下簡化模型來表示并驗證: 表1普里姆算法示例圖 設(shè)置一個加權(quán)連通圖，頂點集合為 V，邊集合為E o（ So、a、b、c、d為頂點, 連線為邊,邊上數(shù)字為權(quán)值） 選擇頂點集合中任意頂點，此處選擇So為初始點。頂點a、b、c、d都有與So 直接相連的邊，選取其中權(quán)重最小的點（圖 中為a） 下一個頂點為距離a或So最近的頂 點，a距離c為10，距d為6，距b為5； So距c為10，距d為15,距b為15;所 以最短的距離是a到b得距離為5,連接a 與b 繼續(xù)重復(fù)上面的步驟?？梢园l(fā)現(xiàn)距 離a,b和So最短的是b到c得距離為5, 連接b和c。反證法：設(shè)生成的樹為,

15、假設(shè)存在使得總花費cost( ) COSt(')；則一定存在一個(U,v)不屬于；將(u, v)加入，而u,v在 本被其他點連接，加入(u, v)后會形成一個環(huán)；而(u, v)一定小于環(huán)中某一邊的權(quán)重，這與在生成樹時每次都取權(quán)重最小值的步驟 矛盾；故假設(shè)不成立，原模型成立。模型的求解根據(jù)matlab運行結(jié)果見表1 (程序見附錄1)，可以得到通信網(wǎng)絡(luò)的總鋪設(shè)費用 乙 為2947800元。得到的最優(yōu)鋪設(shè)方案如圖 3。表1問題一結(jié)果圖連接順序12345678節(jié)點序號346170623647219連接順序910111213141516節(jié)點序號5352737849713連接順序r 1718192

16、021222324節(jié)點序號4028425366672254連接順序2526272829304647節(jié)點序號1652561851127417連接順序4849505152535455節(jié)點序號10442367564821連接順序5657585960616263節(jié)點序號1129201550327226連接順序6465666768697071節(jié)點序號439637924396569連接順序7273747576777879節(jié)點序號5737482541146080圖3最優(yōu)鋪設(shè)方案圖二、問題二的分析與求解1對問題的分析在問題一所得出的最小生成樹的的基礎(chǔ)上， 我們考慮到若其中只要有一個重要節(jié)點 發(fā)生故障時，會造成

17、八個節(jié)點以上故障，那么通信暢通的可能性就不能保證達到90%，所以，我們可以通過節(jié)點刪除法找到重要節(jié)點， 然后再從重要節(jié)點引起故障的其他失效 節(jié)點中找到一個節(jié)點與其他正常節(jié)點連通使得發(fā)生故障的節(jié)點數(shù)少于八個，我們就能保證通信暢通的可能性達到90%，并且我們要找到的這個節(jié)點與其他正常節(jié)點連通所鋪2 對問題的求解我們以節(jié)點22為中心節(jié)點，可以將最小生成樹分成四個大部分： A為節(jié)點22左邊 部分，A為節(jié)點22右上方部分，A為節(jié)點22右下方部分，A4即為剩下的部分，即A4=22 56 54。例如A部分，當(dāng)這部分有節(jié)點出現(xiàn)故障時，我們通過 A或A的點與這個故障 點引起的失效點之間用最省的方案再鋪設(shè)一條線路

18、后， 保證任一點發(fā)生故障后也能使通 信暢通的可能性達到90%。通過此方法，我們可以在A部分找到重要節(jié)點70，A部分 找到重要節(jié)點51，A部分找到重要節(jié)點77。找到重要節(jié)點后， 要考慮這三個重要節(jié)點任一發(fā)生故障時， 怎么增加最省的鋪設(shè)線 路問題，然后我們再分別將Ai、A、A分成兩個部分，第一部分是重要節(jié)點出現(xiàn)故障 后造成可靠性小于 90%的節(jié)點之和，即我們必需增加鋪設(shè)線路的點，第二部分是重要節(jié) 點發(fā)生故障后不影響可靠性的節(jié)點之和。所以 A1 可分為 :B=134 26 6150 32;C=70 36 81466 67 62 47 69 229 19 49 28 578 35 20 80 2439

19、 40 63 79 273 713 42 53 37;A可分為：D=30 38 4 5831 59 60 48E=51 12 46 3341 68 65 73 18 21 52 43 916 55 25A3 可分為 ：F=7111 74 7217 10 44 15G=77 23 66457 75 76 45對于任意節(jié)點發(fā)生故障時，要通過增加鋪設(shè)后保證至少有 70個節(jié)點是通信暢通的 所以這六個部分要考慮連接的方案有：CDB- D和 F BCDE；B F和D BCFG；D- F 和 B DEFG；(SB D E FG、D B C F G 和 F B C D E ；可以通過 matlab 編程（見附

20、錄程序 2）分別計算 9條線路各自最小的費用，然后計算 4個方案費用。費用最小的方案所對應(yīng)的線路即是我們要增加的鋪設(shè)線路。Matlab 算出的結(jié)果見表 2：表2問題二結(jié)果圖節(jié)點節(jié)點鋪設(shè)12費用6168528817645467152861685282354465102470CDB- D是60-61連接，對應(yīng)費用為209100元；F BCD E是2-10連接， 對應(yīng)費用為47000元，所以增加的總費用為256100元。 B F是1-72連接，對應(yīng)費用為78000元；D- B C F G是15-38連接，對 應(yīng)費用為53600元，所以增加的總費用為131600元。 D F是15-38連接，對應(yīng)費用為

21、 53600元，B D E F G是61-68連接， 對應(yīng)費用為52800元，所以增加的總費用為106400元。 B D E F G是61-68連接，對應(yīng)費用為52800元；D B C F G是15-38 連接，對應(yīng)費用為53600元；F B C D E是2-10連接，對應(yīng)費用為47000元； 所以增加的總費用為153400元。通過比較4個方案，可以得知第三個方案所需要增加的費用是106400元，所以總的鋪設(shè)費用Z2 = Z1+106400=3054200元。增加的路線如圖5。圖5任一節(jié)點岀現(xiàn)故障可靠性達到90%的最優(yōu)鋪設(shè)方案圖三、問題三的分析與求解1對問題的分析同樣在問題一所得出的最小生成樹

22、的的基礎(chǔ)上， 我們考慮到若其中只要有一個重要 鏈路被破壞時，會造成八個節(jié)點以上故障， 那么通信暢通的可能性就不能保證達到 90%， 所以，我們可以通過逐個分析每條鏈路，找到重要鏈路，一個鏈路被破壞會使最小生成 樹分割成兩個部分， 其中一部分則是失效的， 然后再從重要鏈路被破壞而引起的其他失 效節(jié)點中找到一個節(jié)點與其他正常節(jié)點連通使得發(fā)生故障的節(jié)點數(shù)少于或等于八個， 我 就能保證通信暢通的可能性達到 90% ，并且我們要找到的這個節(jié)點與其他正常節(jié)點連 通所鋪設(shè)的費用是最省的。2對問題的求解在第二問的基礎(chǔ)上，我們已經(jīng)將最小生成樹分成四個大部分A、A、A和A。再比如A部分，當(dāng)這部分的一個鏈路被破壞時

23、，我們通過A.或A3的點與這個故障點引起的失效點之間用最省的方案再鋪設(shè)一條線路后， 保證任何一條鏈路被破壞后也能使通信 暢通的可能性達到90%。通過此方法，我們可以在 A部分找到的重要鏈路是70與62 之間的鏈路e，在A部分找到重要鏈路是18與51之間的鏈路e，在A部分找到重要 鏈路是 76與 77之間的鏈路 e3。找到三個重要的鏈路el、e2和e3后，我們要研究這三個重要鏈路任一發(fā)生故障時， 怎么增加最省的鋪設(shè)線路問題， 這三個重要的鏈路任意一個被破壞時都會導(dǎo)致其所在的 部分被分割成兩個小的部分， 一個部分中的節(jié)點都是有效的， 一個部分的節(jié)點都是失效 的。所以我們將A分成：B = 1 34

24、2661503270368146667C = 624769229194928578352080243940 63 7927 3713 425337所以我們將A2 分成：D = 5130384583159604812684665334173E = 182152439165525所以我們將A3 分成：F = 7723664577571117472171044157645G = 7645A4=22 56 54比如鏈路ei被破壞后，會導(dǎo)致B部分的節(jié)點都失效，保持通信暢通的節(jié)點就不能達 到90%，同樣，e2和e3也是如此，即要保證這三條鏈路之一破壞時，B、C和D都不能失效，所以要考慮的連接方案有：B -

25、D和FBCDEA ；B -F和DBCFGA4 ；® D -F和BFGDEA4 ；Cf -B CDEA4、BCFGA4 和 FGDEA4通過Matlab （見附錄程序3)算出的結(jié)果如表3:表3冋題二結(jié)果圖節(jié)點1節(jié)點2鋪設(shè)費用6168528817645467152861685282354465102470COB D是61-68連接，對應(yīng)費用為52800元；F BCD E A4是2-10 連接，對應(yīng)費用為47000元，所以增加的總費用為998000元。CB F是8-17連接，對應(yīng)費用為64500元；D B C F G A4是23-54 連接，對應(yīng)費用為46500元，所以增加的總費用為111

26、000元。CD F是46-71連接，對應(yīng)費用為52800元，B F G D E A是61-68 連接，對應(yīng)費用為52800元，所以增加的總費用為105600元。CF B C D E A是是2-10連接，對應(yīng)費用為47000元，D B C F G A4是23-54連接，對應(yīng)費用為46500元，；B F G D E A4是 61-68連接，對應(yīng)費用為52800元，；所以增加的總費用為146300元。通過比較4個方案，可以得知第一個方案所需要增加的費用最省，費用是是99800元，所以總的鋪設(shè)費用 Z3 = Z1 +99800=3047600元。圖6任一鏈路岀現(xiàn)故障可靠性達到90%的最優(yōu)鋪設(shè)方案圖四、

27、問題四的分析與求解1對問題的分析在問題二及問題三的基礎(chǔ)上，首先對比分析問題二與問題三的節(jié)點分類，發(fā)現(xiàn)問題三中節(jié)點的分類包含了問題二中節(jié)點的分類，若滿足了了節(jié)點穩(wěn)定性的要求，則一定能滿足鏈路穩(wěn)定性的要求，故得出節(jié)點穩(wěn)定性比鏈路穩(wěn)定性更重要的結(jié)論；再通過節(jié)點故 障模型分別構(gòu)造通信暢通的可能性都達到85%、90%、95%時所對應(yīng)的最低鋪設(shè)費用，使用Matlab軟件編程，綜合考慮穩(wěn)定性和鋪設(shè)費用得出鋪設(shè)方案。2 對問題的求解我們以節(jié)點22為中心節(jié)點，可以將最小生成樹分成四個大部分： A為節(jié)點22左邊 部分，A為節(jié)點22右上方部分，A為節(jié)點22右下方部分，A4即為剩下的部分，即代=22 56 54。所問

28、題二中A可分為：B=134 26 61 50 32;C=70 36 814 66676247692291949285783520802439 40 63 7927 3713425337;問題三中將A可分為：B = 1 3426 61503270368146667C = 6247 69229194928578352080243940637927 3713 42 53 37可見問題三中A的節(jié)點分類包括了問題二中 A的分類 問題二中A可分為：D=30 38 45831596048E=51 12 46 3341686573182152439165525問題三中將A分成:D =5130384583159

29、60481268466533 41 73E = 182152439165525利用matlab求解結(jié)果見表4。（程序間附錄程序4）表4問題四結(jié)果圖節(jié)點1節(jié)點2鋪設(shè)費用節(jié)點1節(jié)點2鋪設(shè)費用26332070636425761382716 :24651030 n267534203941300011032634059273836381092 n24311900 n66751296631011908176451962565364128101962565可見問題三中A的節(jié)點分類包括了問題二中 A的分類故節(jié)點穩(wěn)定性的要求更高，即只要滿足了節(jié)點穩(wěn)定性就能滿足鏈條穩(wěn)定性的要求， 下面僅考慮節(jié)點穩(wěn)定性需求下的故障

30、模型。當(dāng)若要求任意一個結(jié)點出現(xiàn)故障時，其它結(jié)點間仍然能夠保持通信暢通的可能性都 達到85%時，通過問題二與問題三的模型計算出的最省鋪設(shè)方案為3047600元。分配g圖7通暢度85%時最省鋪設(shè)方案同樣若要求任意一個結(jié)點出現(xiàn)故障時，其它結(jié)點間仍然能夠保持通信暢通的可能性都達到90%時，通過問題二與問題三的模型計算出的最省鋪設(shè)方案為3054200元。分配方案為：圖8通暢度90%時最省鋪設(shè)方案同樣若要求任意一個結(jié)點出現(xiàn)故障時，其它結(jié)點間仍然能夠保持通信暢通的可能性都達到90%時，通過問題二與問題三的模型計算出的最省鋪設(shè)方案為3578800元。分配方案為：圖9通暢度95%時最省鋪設(shè)方案可見當(dāng)通暢度從85

31、%增加至90%時，費用僅僅增加了 6400元，而當(dāng)通暢度從90% 增加至95%時，費用增加了 524600元，故選擇90%的通暢度，此時可以滿足當(dāng)一個節(jié) 點或一個鏈條出現(xiàn)故障時，其它結(jié)點間仍然能夠保持通信暢通的可能性都達到90%，且費用適中，可以同時滿足穩(wěn)定性和鋪設(shè)成本的條件， 故本題選擇圖5所示的鋪設(shè)方案 為綜合的最優(yōu)方案。§6誤差分析一、誤差分析1 在取得兩節(jié)點之間的距離數(shù)據(jù)時由于人工記取數(shù)據(jù)或者測量距離的工具不標(biāo)準(zhǔn)， 會造成讀取數(shù)據(jù)的誤差，從而造成模型的誤差。2在論文中直接認(rèn)為總的鋪設(shè)費用是有距離和節(jié)點單位費用決定的，在實際解決 問題中，總鋪設(shè)費用還要考慮其他因素的影響。3.在

32、問題二的分析方法中，我們直接認(rèn)為每個節(jié)點之間發(fā)生故障的概率是相同的， 其實有的節(jié)點發(fā)生故障的概率大， 我們考慮的太理想化，而且有的節(jié)點發(fā)生故障會導(dǎo)致 其他某些節(jié)點發(fā)生故障的概率增大或者減小。§模型的評價與推廣、模型的優(yōu)點1本文對問題有合理的猜想、假設(shè)、計算以及檢驗；2按照需要求解的問題靈活選取數(shù)據(jù)，而不是每次都使用同一個數(shù)據(jù)；3問題三在求解出來之后又提出一個新思路，并且有一個新的解法。一題兩解, 并且可以互相驗證結(jié)果；4研究問題時循序漸進，在求解的過程中慢慢進步，逐步完善。二、模型的缺點1求解問題時用的數(shù)據(jù)是自己觀察，手工計數(shù)的，這樣得出的數(shù)據(jù)難免會有些誤 差，有些沒有考慮到的因素；

33、2在最后模型改進的時候，我們提出了思路和解法但是由于時間有限，我們并沒 有將最后的具體結(jié)果計算出來；三、模型的推廣1排隊論模型一一我們所研究的排隊論是把排隊論應(yīng)用到交通中，道路發(fā)生事故 時堵車所形成的類似排隊現(xiàn)象這種情況運用排隊論的相關(guān)知識來求解，我們還可以將排隊論延伸到其它的領(lǐng)域，比如車站買票、醫(yī)院取藥、通訊服務(wù)等其它領(lǐng)域；2交通流模型一一由于進出匝道或交通事故等原因而形成的交通瓶頸，是導(dǎo)致高 速道路交通擁擠和堵塞的最主要的根源，我們通過這個模型不僅僅能夠?qū)鉀Q堵車時的 排隊長度問題還可以解決密度，速度等其他的交通指標(biāo)；3在解決第三問時，我們發(fā)現(xiàn)交通堵塞問題與管道收縮而導(dǎo)致的運動氣流中形成

34、激動波過程很相似，所以我們就通過研究后者的模型來類比我們要解決的問題，這種聯(lián)想類比法也可以推廣到其它問題。§模型的改進本題中線路的可靠性僅僅考慮了節(jié)點和鏈路的穩(wěn)定性，在保證連通性的情況下最小化了鋪設(shè)成本；但未考慮流量因素，流量與節(jié)點的度有關(guān)，節(jié)點的度是指與節(jié)點直接連 接的鏈路的數(shù)量，流量因素是指：一個節(jié)點的度越多，流過這個節(jié)點的最大流量就越大。 所以，流量可以看作是圖中節(jié)點的度數(shù)之和的增函數(shù)。而在節(jié)點度之和一定的情況下， 各個節(jié)點度數(shù)的波動越大，度數(shù)小的節(jié)點就成為流量的約束。因此，流量的大小是節(jié)點度數(shù)的方差函數(shù)。令M (deg)代表圖中度的均值，std(deg)代表方差構(gòu)造流量函數(shù)：

35、M (deg)() std (deg)而本文問題一中有鋪設(shè)成本的目標(biāo)函數(shù)為:min ZWjj xiji 1 j 1將兩個因素綜合考慮，這里利用線性加權(quán)的辦法將其綜合，首先將式(1)、( 2)歸一化，然后定義偏好系數(shù)(0,， 越接近0表是決策者越傾向于費用因素，越接近于1越傾向于流量因素，所以，最終的目標(biāo)函數(shù)為：f std(Wj Xjj) std ( M (deg)i 1 j 1 j jstd (deg)設(shè)置約束條件，其中假定每一個節(jié)點的度數(shù)屬于2,5的閉區(qū)間。凡是有節(jié)點度數(shù)不 在詞區(qū)間的方案都被認(rèn)為是不可行解。為防止螞蟻在尋優(yōu)的過程中產(chǎn)生不可行解，定義(low,up)為度的約束區(qū)間。對于每一個

36、節(jié)點i，其度deg(i)，在此定義一個函數(shù)：0if deg(i) (low,up)s low deg(i) if deg(i) ( , low) deg(i) up if deg(i) (up,)則可以定義罰函數(shù)為：Nfhs(j)Sii 1預(yù)算成本的約束：因為前面推導(dǎo)出了一個新目標(biāo)函數(shù)，所有鋪設(shè)成本不再是要優(yōu)化的對象。而在實際過程中，決策放能夠承擔(dān)的最大鋪設(shè)成本一定不大于預(yù)算。所以，定 義一個最大預(yù)算Fmax。根據(jù)心理學(xué)的知識，決策者對費用的容忍度通常都是在與最小成 本的比較中產(chǎn)生的，所以定義一個容忍百分比Ratio,其取值如下：Fmax fpminRatio 100%fpmin相應(yīng)的最大容忍

37、度為Rbd。節(jié)點穩(wěn)定性的約束：首先引入一個故障矩陣DP，DPj表示在節(jié)點i和節(jié)點j之間存在連接線時，連接線出現(xiàn)故障的概率。仍然假定節(jié)點不會出現(xiàn)故障，所有故障都來自 于鏈路。而每一條邊對于點來說是并聯(lián)的，利用概率統(tǒng)計的知識，可以求得節(jié)點i能夠正常工作的概率為：RR 1 DR令RPmin為用戶規(guī)定的平均最小工作概率。如果在整個網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點工作的概率 的算數(shù)平均值大于RPmin，則這個網(wǎng)絡(luò)是可接受的，否則是不可接受的。故RRRPmin由上述分析，這個優(yōu)化的模型是一個組合優(yōu)化模型，可以用蟻群算法來求解，這里 簡要介紹一下蟻群算法的求解過程。1. 初始化參數(shù)2. 利用概率的方法構(gòu)建螞蟻的路徑。本文綜合

38、考慮了最小成本模型和度約束條件， 同時在本模型中又加入了流量及鏈路概率的影響。如當(dāng)前位于節(jié)點i的螞蟻k選擇j作為下一個節(jié)點的概率為：k j jPij ij ijl M其中，ij為鏈路ij信息素強度；ij為一個預(yù)先給定的啟發(fā)式信息，初始值為鏈 路ij距離的倒數(shù)。為本算法設(shè)置了啟發(fā)式信息的優(yōu)先級：鏈路ij如果有一個端點的度為1,貝U j加1倍，若鏈路ij 2個端點的度都為1,0加2倍°a B是2個參數(shù)，它們分別決定了信息素和啟發(fā)式信息的相對影響力。N'代表位于節(jié)點i的螞蟻k可以直接到達的相鄰節(jié)點的集合，也就是還沒有被螞蟻k訪問的節(jié)點的集合。Step3本文使用的后臺策略是在螞蟻前進

39、一步時就計算各個約束的值，看是否滿足要求，當(dāng)有一個約束不再滿足要求時，螞蟻不再前行。一輪路徑探索完之后，計算目標(biāo) 函數(shù)的值，進而挑選出最優(yōu)的路徑。Step4在每一輪路徑探索之后，更新信息素，更新規(guī)則如下：mkj(n 1) ij (n)j (n)k 1其中 為信息素?fù)]發(fā)程度；jk(n)表示第k次循環(huán)是否選擇了鏈路ij，如果先擇ij，/(n) Q/diSjj，否則，/(n) 0， Q是常數(shù)。5當(dāng)路徑探索的論述達到NCmax時輸出結(jié)果。因為蟻群算法有較強的收斂性，故當(dāng)經(jīng)過不同次數(shù)的迭代實驗是，會得出較為相近 的結(jié)果，此時則為最優(yōu)的結(jié)果，最終的結(jié)果可有C語言編程完成。參考文獻：1 .2 基于蟻群算法的

40、多目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)鋪設(shè)策略研究龔承柱1,諸克軍1,郭海湘1,2(1.中國地質(zhì)大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院，武漢 430074; 2.西安交通大學(xué)管理學(xué)院，西安710049).3 姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型M北京；高等教育出版社，2011, 1.附錄程序 1：%A 表示權(quán)值矩陣%C 表示生成樹的權(quán)和%visit標(biāo)記是否訪問過(1表示訪問，0表示未訪問)，dis記錄當(dāng)前最短距離，R 矩陣表示結(jié)點序號之間從前往后依次連接clc,clearA=xlsread('date.xls');% 權(quán)值矩陣(節(jié)點之間的費用表 =距離 * 單位費用) L=length(A);A(A=0)=inf;% 初始化鄰接矩陣

41、 dis=zeros(1,L);dis(:)=inf;% 初始化 dis 數(shù)組 visit=zeros(1,L);RESULT=zeros(L,L);visit(1)=1;dis(1)=0;next=1;C=0; a=zeros(1,80);% 初始時刻 1 點加入集合中 R=zeros(2,79);R(1,:)=1:79;% 初始化結(jié)果矩陣 for k=1:L-1;now=next;%now 表示計算的當(dāng)前節(jié)點 m=inf;%m 保存當(dāng)前節(jié)點到集合的最短距離 for i=1:L;if visit(i)=0% 如果沒有標(biāo)記，開始這個點 dis(i)=min(dis(i),A(now,i);%

42、更新這個 i 點到集合的最短距離，保存 到 dis 中if(dis(i)<m) m=dis(i); next=i;% 記錄下最小的那個點，作為下一個計算的點。endendendC=C+m;% 加權(quán)值 visit(next)=1;% 標(biāo)記進集合的點 RESULT(k,next)=1;% 整合每次標(biāo)記 end for t=1:79;R(2,t)=find(RESULT(t,:)=1);% 按順序輸出節(jié)點表示連接過程endR % 結(jié)果矩陣輸出，第一行表示連接順序，第二行表示表示依次連接節(jié)點數(shù)C % 相應(yīng)情況下的最省鋪設(shè)費用程序二：A=xlsread('date.xls'); %

43、 權(quán)值矩陣(節(jié)點之間的費用表 =距離 * 單位費用)n1=1 341-2661503270368146667;n2=51 301-384583159604812684665334173;n3=77 231-66457757111747217104415;m1=1 3426615032703681466676247692291949285 78 351.208024;m2=5130384583159604812684665334173182152439 16 55125 ; m3=7723664577571117472171044157645;m4=5422 56;% 輸入六個節(jié)點分類矩陣x1=

44、m2 m3 m4;x2=m1 m3 m4;x3=m1 m2 m4;L1=length(n1);L2=length(n2);L3=length(n3);L4=length(m1);L5=length(m2);L6=length(m3);L7=length(m4); %分別求其長度和兩兩組合長度 t=1;for i=1:L1;for j=1:L2;R(t,:)=n1(i) n2(j) A(n1(i),n2(j) t=t+1;endfor k=1:L3;R(t,:)=n1(i) n3(k) A(n1(i),n3(k); t=t+1;endendfor j=1:L2;for k=1:L3;R(t,:)

45、=n2(j) n3(k) A(n2(j),n3(k); t=t+1;endendfor i=1:L1;for p=1:L5+L6+L7;R(t,:)=n1(i) x1(p) A(n1(i),x1(p); t=t+1;endendfor j=1:L2;for q=1:L4+L6+L7;R(t,:)=n2(j) x2(q) A(n2(j),x2(q); t=t+1;endendfor k=1:L3;for r=1:L4+L5+L7;R(t,:)=n3(k) x3(r) A(n3(k),x3(r); t=t+1;end end R1=sortrows(R(1:192,:),3); Result(1,

46、:)=R1(1,:); R2=sortrows(R(193:360,:),3); Result(2,:)=R2(1,:); R3=sortrows(R(361:584,:),3); Result(3,:)=R3(1,:); R4=sortrows(R(585:1101,:),3); Result(4,:)=R4(1,:); R5=sortrows(R(1102:1997,:),3); Result(5,:)=R5(1,:); R6=sortrows(R(1998:2893,:),3);Result(6,:)=R6(1,:);% 逐個計算最省費用Result% 輸出分類比較下的最省費用及相應(yīng)連接

47、節(jié)點序號程序三：A=xlsread('date.xls'); % 權(quán)值矩陣(節(jié)點之間的費用表 =距離 * 單位費用)n1=1 34|2661503270368146667;n2=51 301-384583159604812684665334173;n3=77 23;66457757111747217104415;m1=1 3426615032703681466676247692291949285 78 351.208024;m2=5130384583159604812684665334173182152439 16 55125 ; m3=77231-66457757111747

48、2171044157645;m4=542256;x1=m2 m3 m4;x2=m1 m3 m4;x3=m1 m2 m4;L1=length(n1);L2=length(n2);L3=length(n3);L4=length(m1);L5=length(m2);L6=length(m3);L7=length(m4); % 分別求其長度和兩兩組合長度t=1;for i=1:L1;for j=1:L2;R(t,:)=n1(i) n2(j) A(n1(i),n2(j); t=t+1;endfor k=1:L3;R(t,:)=n1(i) n3(k) A(n1(i),n3(k); t=t+1;endend

49、for j=1:L2;for k=1:L3;R(t,:)=n2(j) n3(k) A(n2(j),n3(k); t=t+1;endendfor i=1:L1;for p=1:L5+L6+L7;R(t,:)=n1(i) x1(p) A(n1(i),x1(p); t=t+1;endendfor j=1:L2;for q=1:L4+L6+L7;R(t,:)=n2(j) x2(q) A(n2(j),x2(q); t=t+1;endendfor k=1:L3;for r=1:L4+L5+L7;R(t,:)=n3(k) x3(r) A(n3(k),x3(r); t=t+1;endend % 分別求其長度和兩兩組合長度R1=sortrows(R(1:192,:),3);Result(1,:)=R1(1,:);R2=sortrows(R(193:360,:),3);Result(2,:)=R2(1,:);R3=sortrows(R(361:584,:),3);Result(3,:)=R3(1,:);R4=sortrows(R(585:1100,:),3);Result(4,:)=R4(1,:);R5=sortrows(R(1101:1996,:),3);Result(5,:)=R5(1,:);R6=sortrows(R(1997:2562,:),3);Result(6,:)=R6(1,