圓錐曲線常考題型總結(jié)歸納——配有大題和測(cè)試

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線常考題型和熱點(diǎn)問(wèn)題一?？碱}型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問(wèn)題題型三：動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題題型四：過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦的問(wèn)題題型五：共線向量問(wèn)題題型六：面積問(wèn)題題型七：弦或弦長(zhǎng)為定值的問(wèn)題題型八：角度問(wèn)題題型九：四點(diǎn)共線問(wèn)題題型十：范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問(wèn)題）題型十一：存在性問(wèn)題（存在點(diǎn)，存在直線，存在實(shí)數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓）二熱點(diǎn)問(wèn)題 1.定義與軌跡方程問(wèn)題 2.交點(diǎn)與中點(diǎn)弦問(wèn)題 3.弦長(zhǎng)及面積問(wèn)題 4.對(duì)稱問(wèn)題 5.范圍問(wèn)題 6.存在性問(wèn)題 7.最值問(wèn)題 8.定

2、值，定點(diǎn)，定直線問(wèn)題第二部分 知識(shí)儲(chǔ)備一 與一元二次方程相關(guān)的知識(shí)（三個(gè)“二次”問(wèn)題）1. 判別式：2. 韋達(dá)定理：若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則，3. 求根公式：若一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則二與直線相關(guān)的知識(shí)1. 直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式，斜截式，截距式，兩點(diǎn)式，一般式2. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率：，；點(diǎn)到直線的距離公式：（一般式）或 （斜截式）3. 弦長(zhǎng)公式：直線上兩點(diǎn)間的距離：4. 兩直線的位置關(guān)系： 5. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知兩點(diǎn)，若點(diǎn)線段AB的中點(diǎn)，則三圓錐曲線的重要知識(shí)考綱要求：對(duì)它們的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，

3、了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程3. 圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)三者的關(guān)系，的幾何意義等4. 圓錐曲線的其他知識(shí)：通徑：橢圓，雙曲線，拋物線焦點(diǎn)三角形的面積：在橢圓上時(shí) 在雙曲線上時(shí)四常結(jié)合其他知識(shí)進(jìn)行綜合考查1 圓的相關(guān)知識(shí)：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系2 導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)：求導(dǎo)公式及運(yùn)算法則，特別是與切線方程相關(guān)的知識(shí)3 向量的相關(guān)知識(shí)：向量的數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4 三角函數(shù)的

4、相關(guān)知識(shí)：各類公式及圖像與性質(zhì)5 不等式的相關(guān)知識(shí)：不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題（1）圓錐曲線與圓例1.（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力（）由題意，得，解得， ，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得，切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，且，. 的大小為.【

5、解法2】（）同解法1.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)得.由及得 切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則， 的大小為.（且，從而當(dāng)時(shí)，方程和方程的判別式均大于零）.練習(xí)1：已知點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)，直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn).且當(dāng)時(shí)，的面積為. （）求橢圓的方程；（）設(shè)直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)？并請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）圓錐曲線與圖形形狀問(wèn)題例2.1已知A，B，C是橢圓W：y21上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱

6、形，并說(shuō)明理由解：(1)橢圓W：y21的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A(1，m)，代入橢圓方程得m21，即m.所以菱形OABC的面積是|OB|AC|22|m|.(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且直線AC不過(guò)原點(diǎn)，所以可設(shè)AC的方程為ykxm(k0，m0)由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則，.所以AC的中點(diǎn)為M.因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，所以直線OB的斜率為.因?yàn)閗1，所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可

7、能是菱形練習(xí)1：已知橢圓過(guò)點(diǎn)(，)，且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.()求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；()設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是軸上的定點(diǎn)，求的最小值及取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).（3）圓錐曲線與直線問(wèn)題例3.1已知橢圓，（1） 求橢圓的離心率.（2） 設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.解析：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，離心率;直線與圓相切.證明如下：法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，其中.因?yàn)?，所以，即，解?當(dāng)時(shí)，代入橢圓的方程，得,故直線的方程為.圓心到直線的距離.此時(shí)直線與圓相切.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即.圓心到直線的距離.又，故.此時(shí)直線與圓相切

8、.法二：由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，當(dāng)時(shí)，易知，此時(shí)直線的方程為或，原點(diǎn)到直線的距離為，此時(shí)直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或；聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱性知，無(wú)妨取點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，于是直線的方程為：，即，原點(diǎn)到直線的距離,此時(shí)直線與圓相切。綜上知，直線一定與圓相切.法三：當(dāng)時(shí)，易知，此時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離，、此時(shí)直線與圓相切；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)，則，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)或；于是，,，所以,直線與圓相切；綜上知，直線一定與圓相切練習(xí)1：已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的倍. 過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線A

9、B垂直于x軸，判斷點(diǎn)O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（）若點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線AB的斜率的取值范圍.（4）圓錐曲線定值與證明問(wèn)題 例4.1已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）求橢圓的方程； （）設(shè)為橢圓的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)證明：解：（）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意知解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5分（）設(shè)直線的方程為：，則 由 得（*）設(shè)，則，是方程（*）的兩個(gè)根，所以所以 設(shè)直線的方程為：由 得設(shè)，則，所以，所以 例4.2:已知橢圓C： （ab0）的離心率為 ，A（

10、a,0）,B(0,b)，O（0，0），OAB的面積為1.（I）求橢圓C的方程；(I I)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與Y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N。求證：為定值。練習(xí)1：已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.()求橢圓的方程;()已知?jiǎng)又本€與橢圓相交于、兩點(diǎn). 若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,求斜率的值;若點(diǎn),求證:為定值.練習(xí)2：已知拋物線C : y2 2 px（p 0），其焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AB（不垂直于x軸）過(guò)點(diǎn)F 且拋物線C交于 A，B兩點(diǎn)，直線OA與OB的斜率之積為p （1）求拋物線C 的方程；（2）若M 為線段AB 的中點(diǎn)，射線OM 交拋物

11、線C 于點(diǎn)D ，求證：2練習(xí)3：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為.() 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（） 已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，作直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為,作直線與軌跡的另一個(gè)交點(diǎn)為，證明：三點(diǎn)共線.（5）圓錐曲線最值問(wèn)題例5： 已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)，. （）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸的右側(cè). 直線，與直線分別相交于 兩點(diǎn). 若以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍及的最大值. 解：（）由題意可得， 1分， 2分得， 3分 解， 4分 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 5分（）設(shè)， 所以，直線的方程為， 6分同理：直線的方程為， 直線與直線的交點(diǎn)為， 7分直

12、線與直線的交點(diǎn)為， 線段的中點(diǎn)， 8分 所以圓的方程為， 9分令，則， 10分因?yàn)?，所?， 11分所以，因?yàn)檫@個(gè)圓與軸相交,該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以 ，解得. 12分設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則（）所以該圓被軸截得的弦長(zhǎng)為最大值為2. 14分練習(xí)1：已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2，0)，離心率為 。過(guò)焦點(diǎn)F 的直線l 與橢圓C交于 A，B兩點(diǎn)，線段 AB中點(diǎn)為D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)O，D的直線交橢圓于M，N 兩點(diǎn)。（1）求橢圓C 的方程；（2）求四邊形AMBN 面積的最大值。練習(xí)2：已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求橢圓的方程和離心率；（）設(shè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在軸上，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，且在y軸的右側(cè)，若，求四

13、邊形面積的最小值.（6）圓錐曲線存在性問(wèn)題例6.已知橢圓： 的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓上，直線交軸于點(diǎn)（）求橢圓的方程，并求點(diǎn)的坐標(biāo)（用表示）；（）設(shè)為原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，直線交軸于點(diǎn)問(wèn)：軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解析:（I）由題意得解得，故橢圓的方程為設(shè)因?yàn)椋灾本€的方程為， 所以，即因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以.設(shè)，則. “存在點(diǎn)使得”等價(jià)于“存在點(diǎn)使得”，即滿足.因?yàn)?，所以或，故在軸上存在點(diǎn)，使得，點(diǎn)的坐標(biāo)為或.練習(xí)1：設(shè)F 1 ，F(xiàn) 2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P（1，） 在橢圓E 上，且點(diǎn)P 和F1 關(guān)于點(diǎn)C（0，） 對(duì)稱。（1）求橢圓E 的方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)F2 的直線l與橢圓相交于 A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且平