大學(xué)物理第4章作業(yè)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上4 10如圖(a)所示，圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R求：(1) 以O(shè)為中心，將半徑為R2 的部分挖去，剩余部分對OO 軸的轉(zhuǎn)動慣量；(2) 剩余部分對OO軸(即通過圓盤邊緣且平行于盤中心軸)的轉(zhuǎn)動慣量分析由于轉(zhuǎn)動慣量的可加性，求解第一問可有兩種方法：一是由定義式計算，式中dm 可取半徑為r、寬度為dr 窄圓環(huán)；二是用補償法可將剩余部分的轉(zhuǎn)動慣量看成是原大圓盤和挖去的小圓盤對同一軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值至于第二問需用到平行軸定理解挖去后的圓盤如圖(b)所示(1) 解1由分析知解2整個圓盤對OO 軸轉(zhuǎn)動慣量為，挖去的小圓盤對OO 軸轉(zhuǎn)動慣量，由分析知，剩余部分對OO 軸的轉(zhuǎn)動慣量為

2、(2) 由平行軸定理，剩余部分對OO軸的轉(zhuǎn)動慣量為4 11用落體觀察法測定飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，是將半徑為R 的飛輪支承在O點上，然后在繞過飛輪的繩子的一端掛一質(zhì)量為m 的重物，令重物以初速度為零下落，帶動飛輪轉(zhuǎn)動(如圖)記下重物下落的距離和時間，就可算出飛輪的轉(zhuǎn)動慣量試寫出它的計算式(假設(shè)軸承間無摩擦)分析在運動過程中，飛輪和重物的運動形式是不同的飛輪作定軸轉(zhuǎn)動，而重物是作落體運動，它們之間有著內(nèi)在的聯(lián)系由于繩子不可伸長，并且質(zhì)量可以忽略這樣，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量，就可根據(jù)轉(zhuǎn)動定律和牛頓定律聯(lián)合來確定，其中重物的加速度，可通過它下落時的勻加速運動規(guī)律來確定該題也可用功能關(guān)系來處理將飛輪、重物和地球視為系

3、統(tǒng)，繩子張力作用于飛輪、重物的功之和為零，系統(tǒng)的機械能守恒利用勻加速運動的路程、速度和加速度關(guān)系，以及線速度和角速度的關(guān)系，代入機械能守恒方程中即可解得解1設(shè)繩子的拉力為F，對飛輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，有 (1)而對重物而言，由牛頓定律，有 (2)由于繩子不可伸長，因此，有 (3)重物作勻加速下落，則有 (4)由上述各式可解得飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為解2根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒定律，有 (1)而線速度和角速度的關(guān)系為 (2)又根據(jù)重物作勻加速運動時，有 (3) (4)由上述各式可得若軸承處存在摩擦，上述測量轉(zhuǎn)動慣量的方法仍可采用這時，只需通過用兩個不同質(zhì)量的重物做兩次測量即可消除摩擦力矩帶來的影響4 14質(zhì)

4、量為m1 和m2 的兩物體A、B 分別懸掛在圖(a)所示的組合輪兩端.設(shè)兩輪的半徑分別為R 和r，兩輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為J1 和J2 ，輪與軸承間、繩索與輪間的摩擦力均略去不計，繩的質(zhì)量也略去不計.試求兩物體的加速度和繩的張力.分析由于組合輪是一整體，它的轉(zhuǎn)動慣量是兩輪轉(zhuǎn)動慣量之和，它所受的力矩是兩繩索張力矩的矢量和(注意兩力矩的方向不同).對平動的物體和轉(zhuǎn)動的組合輪分別列出動力學(xué)方程，結(jié)合角加速度和線加速度之間的關(guān)系即可解得.解分別對兩物體及組合輪作受力分析，如圖(b).根據(jù)質(zhì)點的牛頓定律和剛體的轉(zhuǎn)動定律，有 (1) (2) (3), (4)由角加速度和線加速度之間的關(guān)系，有 (5) (6)解

5、上述方程組，可得4 18 如圖所示，一通風(fēng)機的轉(zhuǎn)動部分以初角速度0 繞其軸轉(zhuǎn)動，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C 為一常量.若轉(zhuǎn)動部分對其軸的轉(zhuǎn)動慣量為J，問：(1) 經(jīng)過多少時間后其轉(zhuǎn)動角速度減少為初角速度的一半？(2) 在此時間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？分析由于空氣的阻力矩與角速度成正比，由轉(zhuǎn)動定律可知，在變力矩作用下，通風(fēng)機葉片的轉(zhuǎn)動是變角加速轉(zhuǎn)動，因此，在討論轉(zhuǎn)動的運動學(xué)關(guān)系時，必須從角加速度和角速度的定義出發(fā)，通過積分的方法去解.解(1) 通風(fēng)機葉片所受的阻力矩為M C，由轉(zhuǎn)動定律M J，可得葉片的角加速度為 (1)根據(jù)初始條件對式(1)積分，有由于C 和J 均為常量，得 (2)當(dāng)角速度

6、由0 12 0 時，轉(zhuǎn)動所需的時間為(2) 根據(jù)初始條件對式(2)積分，有即 在時間t 內(nèi)所轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為4 21在光滑的水平面上有一木桿，其質(zhì)量m1 1.0 kg，長l 40cm，可繞通過其中點并與之垂直的軸轉(zhuǎn)動.一質(zhì)量為m2 10g 的子彈，以v 2.0×102 m· s1 的速度射入桿端，其方向與桿及軸正交.若子彈陷入桿中，試求所得到的角速度.分析子彈與桿相互作用的瞬間，可將子彈視為繞軸的轉(zhuǎn)動.這樣，子彈射入桿前的角速度可表示為，子彈陷入桿后，它們將一起以角速度 轉(zhuǎn)動.若將子彈和桿視為系統(tǒng)，因系統(tǒng)不受外力矩作用，故系統(tǒng)的角動量守恒.由角動量守恒定律可解得桿的角速度.解根

7、據(jù)角動量守恒定理式中為子彈繞軸的轉(zhuǎn)動慣量，J2為子彈在陷入桿前的角動量，2v/l 為子彈在此刻繞軸的角速度.為桿繞軸的轉(zhuǎn)動慣量.可得桿的角速度為4 23一質(zhì)量為20.0 kg 的小孩，站在一半徑為3.00 m、轉(zhuǎn)動慣量為450 kg· m2 的靜止水平轉(zhuǎn)臺的邊緣上，此轉(zhuǎn)臺可繞通過轉(zhuǎn)臺中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺與軸間的摩擦不計.如果此小孩相對轉(zhuǎn)臺以1.00 m· s1 的速率沿轉(zhuǎn)臺邊緣行走，問轉(zhuǎn)臺的角速率有多大？分析小孩與轉(zhuǎn)臺作為一定軸轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，人與轉(zhuǎn)臺之間的相互作用力為內(nèi)力，沿豎直軸方向不受外力矩作用，故系統(tǒng)的角動量守恒.在應(yīng)用角動量守恒時，必須注意人和轉(zhuǎn)臺的角速度、0 都是相

8、對于地面而言的，而人相對于轉(zhuǎn)臺的角速度1 應(yīng)滿足相對角速度的關(guān)系式 .解由相對角速度的關(guān)系，人相對地面的角速度為由于系統(tǒng)初始是靜止的，根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒定律，有式中J0 、J1 mR2 分別為轉(zhuǎn)臺、人對轉(zhuǎn)臺中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.由式(1)、(2)可得轉(zhuǎn)臺的角速度為式中負號表示轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)動的方向與人對地面的轉(zhuǎn)動方向相反.4 24一轉(zhuǎn)臺繞其中心的豎直軸以角速度0 s-1 轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)臺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為J0 4.0 ×10-3 kg· m2 .今有砂粒以Q 2t g· s-1 的流量豎直落至轉(zhuǎn)臺，并粘附于臺面形成一圓環(huán)，若環(huán)的半徑為r 0.10 m，求砂粒下落t 10 s 時，

9、轉(zhuǎn)臺的角速度.分析對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)而言，隨著砂粒的下落，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生了改變.但是，砂粒下落對轉(zhuǎn)臺不產(chǎn)生力矩的作用，因此，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中的角動量是守恒的.在時間t 內(nèi)落至臺面的砂粒的質(zhì)量，可由其流量求出，從而可算出它所引起的附加的轉(zhuǎn)動慣量.這樣，轉(zhuǎn)臺在不同時刻的角速度就可由角動量守恒定律求出.解在時間010 s 內(nèi)落至臺面的砂粒的質(zhì)量為根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒定律，有則t 10 s 時，轉(zhuǎn)臺的角速度4 17一半徑為R、質(zhì)量為m 的勻質(zhì)圓盤，以角速度繞其中心軸轉(zhuǎn)動，現(xiàn)將它平放在一水平板上，盤與板表面的摩擦因數(shù)為.(1) 求圓盤所受的摩擦力矩.(2) 問經(jīng)多少時間后，圓盤轉(zhuǎn)動才能停止？分析轉(zhuǎn)動圓盤在平

10、板上能逐漸停止下來是由于平板對其摩擦力矩作用的結(jié)果.由于圓盤各部分所受的摩擦力的力臂不同，總的摩擦力矩應(yīng)是各部分摩擦力矩的積分.為此，可考慮將圓盤分割成許多同心圓環(huán)，取半徑為r、寬為dr 的圓環(huán)為面元，環(huán)所受摩擦力dF 2rmgdr/R2 ，其方向均與環(huán)的半徑垂直，因此，該圓環(huán)的摩擦力矩dM r ×dF ，其方向沿轉(zhuǎn)動軸，則圓盤所受的總摩擦力矩M dM.這樣，總的摩擦力矩的計算就可通過積分來完成.由于摩擦力矩是恒力矩，則由角動量定理Mt (J)，可求得圓盤停止前所經(jīng)歷的時間t.當(dāng)然也可由轉(zhuǎn)動定律求解得.解(1) 由分析可知，圓盤上半徑為r、寬度為dr 的同心圓環(huán)所受的摩擦力矩為式中k

11、 為軸向的單位矢量.圓盤所受的總摩擦力矩大小為(2) 由于摩擦力矩是一恒力矩，圓盤的轉(zhuǎn)動慣量J mR2/2 .由角動量定理Mt (J)，可得圓盤停止的時間為4 27一質(zhì)量為1.12 kg，長為1.0 m 的均勻細棒，支點在棒的上端點，開始時棒自由懸掛.以100 N 的力打擊它的下端點，打擊時間為0.02 s.(1) 若打擊前棒是靜止的，求打擊時其角動量的變化；(2) 棒的最大偏轉(zhuǎn)角.分析該題屬于常見的剛體轉(zhuǎn)動問題，可分為兩個過程來討論：(1) 瞬間的打擊過程.在瞬間外力的打擊下，棒受到外力矩的角沖量，根據(jù)角動量定理，棒的角動量將發(fā)生變化，則獲得一定的角速度.(2) 棒的轉(zhuǎn)動過程.由于棒和地球所

12、組成的系統(tǒng)，除重力(保守內(nèi)力)外無其他外力做功，因此系統(tǒng)的機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律，可求得棒的偏轉(zhuǎn)角度.解(1) 由剛體的角動量定理得(2) 取棒和地球為一系統(tǒng)，并選O 處為重力勢能零點.在轉(zhuǎn)動過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，即由式(1)、(2)可得棒的偏轉(zhuǎn)角度為4 30如圖所示，一質(zhì)量為m 的小球由一繩索系著，以角速度0 在無摩擦的水平面上，作半徑為r0 的圓周運動.如果在繩的另一端作用一豎直向下的拉力，使小球作半徑為r0/2 的圓周運動.試求：(1) 小球新的角速度；(2) 拉力所作的功.分析沿軸向的拉力對小球不產(chǎn)生力矩，因此，小球在水平面上轉(zhuǎn)動的過程中不受外力矩作用，其角動量應(yīng)保持不變.

13、但是，外力改變了小球圓周運動的半徑，也改變了小球的轉(zhuǎn)動慣量，從而改變了小球的角速度.至于拉力所作的功，可根據(jù)動能定理由小球動能的變化得到.解(1) 根據(jù)分析，小球在轉(zhuǎn)動的過程中，角動量保持守恒，故有式中J0 和J1 分別是小球在半徑為r0 和12 r0 時對軸的轉(zhuǎn)動慣量，即式中J0 和J1 分別是小球在半徑為r 和1/2 r 時對軸的轉(zhuǎn)動慣量，即和，則(2) 隨著小球轉(zhuǎn)動角速度的增加，其轉(zhuǎn)動動能也增加，這正是拉力作功的結(jié)果.由轉(zhuǎn)動的動能定理可得拉力的功為4 31質(zhì)量為0.50 kg，長為0.40 m 的均勻細棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸轉(zhuǎn)動.如將此棒放在水平位置，然后任其落下，求：(1) 當(dāng)

14、棒轉(zhuǎn)過60°時的角加速度和角速度；(2) 下落到豎直位置時的動能；(3) 下落到豎直位置時的角速度.分析轉(zhuǎn)動定律M J是一瞬時關(guān)系式，為求棒在不同位置的角加速度，只需確定棒所在位置的力矩就可求得.由于重力矩是變力矩，角加速度也是變化的，因此，在求角速度時，就必須根據(jù)角加速度用積分的方法來計算(也可根據(jù)轉(zhuǎn)動中的動能定理，通過計算變力矩的功來求).至于棒下落到豎直位置時的動能和角速度，可采用系統(tǒng)的機械能守恒定律來解，這是因為棒與地球所組成的系統(tǒng)中，只有重力作功(轉(zhuǎn)軸處的支持力不作功)，因此，系統(tǒng)的機械能守恒.解(1) 棒繞端點的轉(zhuǎn)動慣量由轉(zhuǎn)動定律M J可得棒在 位置時的角加速度為當(dāng) 60

15、°時，棒轉(zhuǎn)動的角加速度由于，根據(jù)初始條件對式(1)積分，有則角速度為(2) 根據(jù)機械能守恒，棒下落至豎直位置時的動能為(3) 由于該動能也就是轉(zhuǎn)動動能，即，所以，棒落至豎直位置時的角速度為4 32如圖所示，A 與B 兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A 輪的轉(zhuǎn)動慣量J1 10.0 kg· m2 ，開始時B 輪靜止，A 輪以n1 600 r· min-1 的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動，然后使A 與B 連接，因而B 輪得到加速而A 輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n 200 r· min-1 為止.求：(1) B 輪的轉(zhuǎn)動慣量；(2) 在嚙合過程中損失的機械能.分析兩飛輪在軸方向嚙合

16、時，軸向力不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動力矩，兩飛輪系統(tǒng)的角動量守恒，由此可求得B 輪的轉(zhuǎn)動慣量.根據(jù)兩飛輪在嚙合前后轉(zhuǎn)動動能的變化，即可得到嚙合過程中機械能的損失.解(1) 取兩飛輪為系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的角動量守恒，有則B 輪的轉(zhuǎn)動慣量為(2) 系統(tǒng)在嚙合過程中機械能的變化為式中負號表示嚙合過程中機械能減少.4 34如圖所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO自由轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為J0 ，環(huán)的半徑為R，初始的角速度為0 ，今有一質(zhì)量為m 的小球靜止在環(huán)內(nèi)A 點，由于微小擾動使小球向下滑動.問小球到達B、C 點時，環(huán)的角速度與小球相對于環(huán)的速度各為多少？ (假設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑.)分析雖然小球在環(huán)中作圓周運動，但由于環(huán)的轉(zhuǎn)動，使球的運動規(guī)律復(fù)雜化了.由于應(yīng)用守恒定律是解決力學(xué)問題最直接而又簡便的方法，故以環(huán)和小球組成的轉(zhuǎn)動系統(tǒng)來分析.在小球下滑的過程中，重力是系統(tǒng)僅有的外力，由于它與轉(zhuǎn)軸平行，不產(chǎn)生外力矩，因此，該系統(tǒng)對軸的角動量守恒.若以小球位于點A、B 處為初、末兩狀態(tài)，由角動量守恒定律可解得小球在點B 時環(huán)的角速度B .在進一步求解小球在點B 處相對環(huán)的速度vB 時，如果仍取上述系統(tǒng)，則因重力(屬外力)對系統(tǒng)要作功而使系統(tǒng)的機械能不守恒；若改取小球與地球為系統(tǒng)，也因環(huán)對小球的作用力在轉(zhuǎn)動過程中作功，而使系統(tǒng)的機械能守恒仍不能成立；只有取環(huán)、小球與地球為系統(tǒng)時，系統(tǒng)才不受外力作用，而重力為保守內(nèi)力，環(huán)與球的