小學(xué)五年級(jí)第16講：棋盤中的數(shù)學(xué)(教師版)

1、第十六講 棋盤中的數(shù)學(xué) 1棋盤中的圖形與面積；2棋盤中的覆蓋問(wèn)題：（1）概念：用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問(wèn)題。實(shí)際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關(guān)覆蓋若干行、若干列的方格網(wǎng)的問(wèn)題，就是棋盤的覆蓋問(wèn)題。（2）分類：棋盤的覆蓋問(wèn)題可以分為三類，一是能不能覆蓋的問(wèn)題，二是最多能用多少種圖形覆蓋的問(wèn)題，三是有多少種不同的覆蓋方法問(wèn)題。（3）重要結(jié)論： m×n 棋盤能被2×1 骨牌覆蓋的條件是m、n中至少有一個(gè)是偶數(shù) 2×n 的方格棋盤能用形骨牌覆蓋的條件是3n3、棋盤中的象棋問(wèn)題：所謂棋盤，常見的有中國(guó)象棋棋盤（下圖（1），圍棋盤（

2、下圖（2），還有國(guó)際象棋棋盤（下圖（3）以這些棋盤為背景而提出的問(wèn)題統(tǒng)稱為棋盤問(wèn)題。這里面與數(shù)學(xué)推理、計(jì)算相關(guān)的棋盤問(wèn)題，就叫做棋盤中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。解決棋盤中的數(shù)學(xué)問(wèn)題所使用的數(shù)學(xué)知識(shí)，統(tǒng)稱棋盤中的數(shù)學(xué)。1、利用卡片覆蓋已知圖形，掌握一是能不能覆蓋的問(wèn)題，二是最多能用多少種圖形覆蓋的問(wèn)題，三是有多少種不同的覆蓋方法問(wèn)題；2、利用象棋知識(shí)尋找路線；例1 一種骨牌是由形如的一黑一白兩個(gè)正方形組成，則下圖中哪個(gè)棋盤不能用這種骨牌不重復(fù)地完全覆蓋？（A）3×4 （B）3×5 （C）4×4（D）4×5 （E）6×3答案：通過(guò)試驗(yàn)，很容易看到，應(yīng)選擇答案（B

3、）分析：這類問(wèn)題，容易更加一般化，即用2×1的方格骨牌去覆蓋一個(gè)m×n的方格棋盤的問(wèn)題定理1： m×n棋盤能被2×1骨牌覆蓋的充分且必要的條件是m、n中至少有一個(gè)是偶數(shù)例2 下圖中的8×8棋盤被剪去左上角與右下角的兩個(gè)小方格，問(wèn)能否用31個(gè)2×1的骨牌將這個(gè)剪殘了的棋盤蓋??？答案：我們將殘角棋盤黑、白相間染色（如圖），62個(gè)格中有黑格 32個(gè)，白格 30個(gè)另外，如果用2×1骨牌 31張恰能蓋住這個(gè)殘角棋盤，我們發(fā)現(xiàn)，每個(gè)骨牌必定蓋住一個(gè)黑格，一個(gè)白格，31個(gè)骨牌將蓋住31個(gè)黑格及31個(gè)白格這與32個(gè)黑格數(shù)，30個(gè)白格數(shù)的事實(shí)

4、相矛盾所以，無(wú)論如何用這31張2×1的骨牌蓋不住這個(gè)殘角棋盤分析 剛一想，31個(gè)2×1骨牌恰有62個(gè)小方格，棋盤去掉兩個(gè)角后也是62個(gè)格，好像很有可能蓋住但只要簡(jiǎn)單一試，便發(fā)現(xiàn)不可能仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)如果把棋盤格黑、白相間染色后，2×1骨牌一次只能蓋住一個(gè)黑格與一個(gè)白格只要發(fā)現(xiàn)這個(gè)基本事實(shí)立即可以找到解答例3 在下圖（1）、（2）、（3）、（4）四個(gè)圖形中：答案：圖形（1）和（2）中各有11個(gè)方格，11不是3的倍數(shù)，因此不能用這兩種圖形拼成圖形來(lái)拼只有圖形（4）可以用這兩種三個(gè)方格的圖形來(lái)拼，具體拼法有多種，下圖僅舉出一種為例分析：這道類型題用排除法，排除圖（1）與（

5、2）的方法是很重要的因?yàn)橐粋€(gè)圖形可以用這是“必要條件排除法”但要注意，一個(gè)圖形小方格數(shù)是3的倍數(shù)，但是呢也不表明的就是這種情況。答案：當(dāng)3n時(shí)，設(shè)n3k，則2×n2×3kk（2×3）2×n3×x則32n，但（2，3）1，3n分析：思考方法比如，若3n且2m時(shí)， m×n棋盤可分成若干個(gè)2×n棋例5、這是一個(gè)中國(guó)象棋盤，（下圖中小方格都是相等的正方形，“界河”的寬等于小正方形邊長(zhǎng)）黑方有一個(gè)“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一個(gè)，紅方有兩個(gè)“相”，它們只能在8， 9， 10， 11， 12， 13， 14中的兩個(gè)

6、位置問(wèn)：這三個(gè)棋子（一個(gè)黑“象”和兩個(gè)紅“相”）各在什么位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積最大？答案：黑“象”在2或3的位置，兩個(gè)紅“相”分別在 10，12的位置時(shí)，以這三個(gè)棋子為頂點(diǎn)的三角形（2，10，12）或（3，10，12）的面積最大，如下圖所示分析：我們?cè)O(shè)每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1單位則小方格正方形面積為1平方單位由于三個(gè)頂點(diǎn)都在長(zhǎng)方形邊上的三角形面積至多為這個(gè)長(zhǎng)方形面積的一半所以要比較三角形面積的大小，只要比較三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所在邊的外接長(zhǎng)方形面積的大小就可見端倪直觀可見，只須比較（3，10，12）或（2，10，12）與（3，10，13）或（2，12，14）這兩類三角形面積就可以

7、了頂點(diǎn)為（3，10，13）或（2，12，14）的三角形面積等于：所以頂點(diǎn)在（2，10，12）或（3，10，12）時(shí)三角形面積最大例6、如下圖是半張棋盤，請(qǐng)你用兩個(gè)車、兩個(gè)馬、兩個(gè)炮、一個(gè)相和一個(gè)兵這八個(gè)子放在這半個(gè)棋盤上，使得其余未被占據(jù)的點(diǎn)都在這八個(gè)點(diǎn)的控制之下（要符合象棋規(guī)則，“相”走田字，只能放在“相”所能到的位置，同樣“兵”也只能放在“兵”所能到的位置馬走“日”字，“車”走直線，“炮”隔子控制等）答案：這仍是一個(gè)占位問(wèn)題，只需要把指出的幾個(gè)子排布成所要求的陣勢(shì)即可，如下圖所示分析：主要考查棋盤中的覆蓋問(wèn)題：完全覆蓋問(wèn)題。只要把每個(gè)棋的走法掌握該類型題應(yīng)該沒(méi)有太大問(wèn)題。A檔1、在4

8、15;4 的正方形中，至少要放多少個(gè)形如所示的卡片，才能使得在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個(gè)這樣的卡片？（要求卡片的邊緣與格線重合）答案與提示：3 個(gè)。提示：右圖是一種放法。2、能否用9 個(gè)形如的卡片覆蓋6×6 的棋盤？答案與提示：不能。右圖中黑、白格各18 個(gè)，每張卡片蓋住的黑格數(shù)是奇數(shù)，9 張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù)，不可能蓋住18 個(gè)黑格。3、有若干個(gè)邊長(zhǎng)為1、邊長(zhǎng)為2、邊長(zhǎng)為3 的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4 的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法）答案與提示： 6 種。用小正方形拼成邊長(zhǎng)為4 的大正方形有6

9、種情形：（1）1 個(gè)3×3，7 個(gè)1×1；（2）1 個(gè)2×2，12 個(gè)1×1；（3）2 個(gè)2×2，8 個(gè)1×1；（4）3 個(gè)2×2，4 個(gè)1×1；（5）4 個(gè)2×2；（6）16 個(gè)1×1。B檔4、 要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？答案與提示：因?yàn)閳D形由3個(gè)小方格構(gòu)成，所以要拼成的正方形內(nèi)所含的小方格數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù)，從而正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)，不可能拼成邊長(zhǎng)為3的正方形。所以拼成的正方形的邊長(zhǎng)最少是6（見右圖），需要用題目所示的圖形36÷3= 12

10、（個(gè)）。5、下圖的七種圖形都是由4個(gè)相同的小方格組成的?，F(xiàn)在要用這些圖形拼成一個(gè)4×7的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同的圖形？答案與提示：先從簡(jiǎn)單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個(gè)（7）；用2種圖形也沒(méi)問(wèn)題，例如用1個(gè)（7），6個(gè)（1）。經(jīng)試驗(yàn)，用6種圖形也可以拼成4×7的長(zhǎng)方形（見下圖）。能否將7種圖形都用上呢？7個(gè)圖形共有4×7=28（個(gè)）小方格，從小方格的數(shù)量看，如果每種圖形用1個(gè)，那么有可能拼成4×7的長(zhǎng)方形。但事實(shí)上卻拼不成。為了說(shuō)明，我們將4×7的長(zhǎng)方形黑、白相間染色（見右圖），圖中黑

11、、白格各有14個(gè)。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個(gè)，共覆蓋黑、白格各12個(gè)，還剩下黑、白格各2個(gè)。第（2）種圖形只能覆蓋3個(gè)黑格1個(gè)白格或3個(gè)白格1個(gè)黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個(gè)黑格2個(gè)白格。綜上所述，要拼成 4×7的長(zhǎng)方形，最多能用上 6種圖形。6、用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個(gè)11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個(gè)？答案與提示：用3個(gè)2×2正方形和2個(gè)3×3正方形可以拼成1個(gè)5×6的長(zhǎng)方形（見左下圖）。用4個(gè)5×6的長(zhǎng)方形

12、和1 個(gè) 1×1的正方形可以拼成 1個(gè)11×11的大正形（見右下圖）。上面說(shuō)明用1個(gè)1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？將11×11的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行（見下頁(yè)右上圖）。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數(shù)個(gè)白格，所以無(wú)論放置多少個(gè)2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個(gè)。但是，右圖中的白格

13、有11×7=77（個(gè)），是奇數(shù)，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。綜上所述，要拼成11×11的正方形，至少要用1個(gè)1×1的小正方形。7、 用七個(gè)1×2的小長(zhǎng)方形覆蓋下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？答案與提示：盲目無(wú)章的試驗(yàn)，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如下圖所示，蓋住A所在的小格只有兩種情況，其中左下圖中兩個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有4種覆蓋方法：右下圖中三個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。8、 有許多邊長(zhǎng)為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這

14、些硬紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的紙板，共有多少種不同的拼法？（通過(guò)旋轉(zhuǎn)及翻轉(zhuǎn)能相互得到的拼法認(rèn)為是相同的拼法）答案與提示：有一個(gè)邊長(zhǎng)3厘米紙片有如下3種拼法：有兩個(gè)邊長(zhǎng)2厘米紙片的有如下4種拼法：有一個(gè)邊長(zhǎng)2厘米及11個(gè)邊長(zhǎng)1厘米紙片的有2種拼法，邊長(zhǎng)全是1 厘米紙片的有1種拼法。共有不同的拼法342+1=10（種）。答：共有10種不同的拼法。C檔9、小明有8張連在一起的電影票（如右圖），他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？答案與提示：25種。形如圖（A）（B）（C）（D）的依次有3，10，6，6種。10、有若干個(gè)邊長(zhǎng)為1、邊長(zhǎng)為2、邊

15、長(zhǎng)為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法）答案與提示：6種。用小正方形拼成邊長(zhǎng)為4的大正方形有6種情形：（1）1個(gè)3×3，7個(gè)1×1；（2）1個(gè)2×2，12個(gè)1×1；（3）2個(gè)2×2，8個(gè)1×1；（4）3個(gè)2×2，4個(gè)1×1；（5）4個(gè)2×2；（6）16個(gè)1×1。11、能不能用9個(gè)1×4的長(zhǎng)方形卡片拼成一個(gè)6×6的正方形？答案與提示：不能。用1，2，3，4對(duì)6×6棋盤中的小方格編號(hào)

16、（見右圖）。一個(gè)1×4的矩形一次只能覆蓋1，2，3，4號(hào)各一個(gè)，而1，2，3，4號(hào)數(shù)目不等，分別有9，10，9，8個(gè)。12、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁(yè)圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個(gè)面積為1的小方格組成現(xiàn)用7個(gè)這樣的圖形拼成一個(gè)7×4的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形）那么，最多可以用上面七種圖形中的幾種？答案：要拼成4×7的方格，最多能用上七種“方塊”中的6種圖形13、由1×1、 2×2、3×3的小正方形拼成一個(gè)23×23的大正方形，在所有可能的拼法中，利用1×1的正方形最少個(gè)數(shù)是多少？試證明你的結(jié)論答案

17、：至少要用一個(gè)1×1的小正方形。14、如下左圖是一個(gè)國(guó)際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過(guò)的格子不能第二次進(jìn)入請(qǐng)問(wèn)，螞蟻能否從A出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)格子最后返回到A處？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由解：這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計(jì)一條，如右圖所示15、下圖是一個(gè)圍棋盤，另有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當(dāng)按格點(diǎn)擺成某個(gè)正方陣時(shí)，尚多余12枚棋子，如果要將這個(gè)正方陣改擺成每邊各加一枚棋子的正方陣，則差9枚棋子才能擺滿問(wèn)：這堆棋子原有多少枚？解：第一次排方陣剩余12枚，加上第二次排方陣所不足的9枚，恰是原正方陣擴(kuò)大后“

18、貼邊”的部分（如下圖所示），共21枚，它恰是原正方陣每邊棋子數(shù)與“擴(kuò)陣”每邊棋子數(shù)之和恰是兩個(gè)相鄰自然數(shù)之和，所以原正方陣每邊10枚棋子，新正方陣每邊11枚棋子這堆棋子總數(shù)是10212112枚答：這堆棋子原有112枚1、如下左圖是一個(gè)國(guó)際象棋棋盤，A處有只螞蟻，螞蟻只能由黑格進(jìn)入白格再由白格進(jìn)入黑格這樣黑白交替地行走，已經(jīng)走過(guò)的格子不能第二次進(jìn)入請(qǐng)問(wèn)，螞蟻能否從A出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)格子最后返回到A處？若能，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種路線，若不能，請(qǐng)你說(shuō)明理由答案：這種爬行路線是存在的具體的設(shè)計(jì)一條，如右圖所示。2、在8×8的方格棋盤中，如下圖所示，填上了一些數(shù)字1，2，3，4試將這個(gè)棋盤分成大小和形狀

19、都相同的四塊，并且每塊中都恰有1、2、3、4四個(gè)數(shù)字答案：將兩個(gè)并列在一起的“4”分開，先畫出這段劃分線，并將它分別繞中心旋轉(zhuǎn)90°，180°和270°，得到另外三段劃分線，如下圖（1）所示仿照上述方法，畫出所有這樣的劃分線，如上圖（2）所示從最里層開始，沿著畫出的劃分線作設(shè)想分塊，如上圖（3），這個(gè)分塊中要含1，2，3，4各一個(gè)，且恰為16塊小方格將上面的陰影部分繞中心旋轉(zhuǎn)180°，可以得到符合條件的另一塊，空白部分的兩塊也符合條件，所求的劃分如上頁(yè)圖（4）所示3、 要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？答案：84、一種游戲機(jī)的“方塊”游戲中共有如下頁(yè)圖所示的七種圖形，每種圖形都由4個(gè)面積為1的小方格組成現(xiàn)