萬(wàn)有引力典型例題

1、 萬(wàn)有引力典型問(wèn)題一、求未知天體的質(zhì)量與密度 正球體體積公式：，密度公式：例1、已知月球圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T，月球到地心的距離為r，試求出地球的質(zhì)量和密度例2、1798年英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許測(cè)出萬(wàn)有引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為能稱出地球質(zhì)量的人，若已知萬(wàn)有引力常量G，地球表面處的重力加速度g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間為T1（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間T2（地球公轉(zhuǎn)的周期），地球中心到月球中心的距離L1，地球中心到太陽(yáng)中心的距離為L(zhǎng)2你估算出（ ）A、地球的質(zhì)量B、太陽(yáng)的質(zhì)量C、月球的質(zhì)量D、可求月球、地球及太陽(yáng)的密度例題3、 如果某行星有一顆衛(wèi)星沿非?？拷撕阈堑?/p>

2、表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則可估算此恒星的密度為多少?二、與自由落體、拋體等運(yùn)動(dòng)的綜合星球表面的重力加速度一方面與星球有關(guān)(g=G),另一方面又可以從相關(guān)運(yùn)動(dòng)規(guī)律(平拋運(yùn)動(dòng)、自由落體運(yùn)動(dòng)、豎直上拋運(yùn)動(dòng)等)中求出，重力加速度是聯(lián)系運(yùn)動(dòng)學(xué)和萬(wàn)有引力、天體運(yùn)動(dòng)的紐帶。例3、物體在一行星表面自由落下，第1s內(nèi)下落了9.8m，若該行星的半徑為地球半徑的一半，那么它的質(zhì)量是地球的 倍.例4設(shè)在地球上和某天體上以相同的初速度豎直上拋一物體的最大高度比為k（均不計(jì)阻力），且已知地球與該天體的半徑之比也為k，則地球與此天體的質(zhì)量之比為 （ ）A. 1 B. k C. k 2 D. 1/ k例5某星球的質(zhì)量約

3、為地球的9倍，半徑約為地球的一半，若從地球上高h(yuǎn)處平拋一物體，射程為60m，則在該星球上，從同樣高度以同樣的初速度平拋同一物體，射程應(yīng)為 A10m B15m C90m D360m例6、地球可視為球體，其自轉(zhuǎn)周期為T,在它的兩極處用彈簧秤測(cè)得某物體的重力為F,在赤道上用彈簧秤測(cè)得同一物體的重力為0.9F，則地球的平均密度是多少？三、 地球同步衛(wèi)星圓軌道在赤道平面，即在赤道的正上方；周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，為24小時(shí)；繞行方向?yàn)樽晕飨驏|。同步衛(wèi)星的特點(diǎn)： 定周期，定角速度，定速度，定軌道平面，定高度，定點(diǎn)離地高度, 繞行速度： 周期：T=24h例1. 我國(guó)發(fā)射的“亞洲一號(hào)”地球同步通信衛(wèi)星的質(zhì)量為

4、1.24t，在某一確定的軌道上運(yùn)行。下列說(shuō)法中正確的是（ ）A. “亞洲一號(hào)”衛(wèi)星定點(diǎn)在北京正上方的太空，所以我國(guó)可以利用它進(jìn)行電視轉(zhuǎn)播。B. “亞洲一號(hào)”衛(wèi)星的軌道平面一定與赤道平面重合。C. 若要發(fā)射一顆質(zhì)量為2.48t的地球同步通信衛(wèi)星，則該衛(wèi)星的軌道半徑將比“亞洲一號(hào)”衛(wèi)星軌道半徑小。D. 若要發(fā)射一顆質(zhì)量為2.48t的地球同步通信衛(wèi)星，則該衛(wèi)星的軌道半徑和“亞洲一號(hào)”衛(wèi)星軌道半徑一樣大。例2、在地球（看作質(zhì)量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說(shuō)法中正確的是（ ）A它們的質(zhì)量可能不同B它們的速度可能不同C它們的向心加速度可能不同D它們離地心的距離可能不同例3、關(guān)于地球同步衛(wèi)星下列

5、說(shuō)法正確的是（）.地球同步衛(wèi)星和地球同步，因此同步衛(wèi)星的高度和線速度大小是一定的地球同步衛(wèi)星的地球的角速度雖被確定，但高度和速度可以選擇，高度增加，速度增大，高度降低，速度減小地球同步衛(wèi)星只能定點(diǎn)在赤道上空，相對(duì)地面靜止不動(dòng)以上均不正確A. B. C. D.例4、地球半徑為R，距地心高為h有一顆同步衛(wèi)星，有另一個(gè)半徑為3R的星球，距該星球球心高度為3h處一顆同步衛(wèi)星，它的周期為72h，則該星球平均密度與地球的平均密度的比值為（ ）A1：9 B1：3 C9：1 D3：1例5. 我國(guó)數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星“天鏈一號(hào)01星”于2008年發(fā)射升空，經(jīng)過(guò)4次變軌控制后，成功定點(diǎn)在東經(jīng)77°赤道上空的同步

6、軌道，關(guān)于成功定點(diǎn)后，下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 運(yùn)行速度大于7.9km/s； B. 離地面高度一定，相對(duì)地面靜止；C. 繞地球運(yùn)行的角速度比月球繞地球運(yùn)行的角速度大；D. 向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度相等。例6如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h，已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心(1)求衛(wèi)星B的運(yùn)動(dòng)周期；(2)若衛(wèi)星B運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，它們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?？答案?1)2(2)四、 發(fā)射及變軌問(wèn)題宇宙速度： 第一

7、宇宙速度（環(huán)繞速度）v1=7.9km/s它是人造衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所必須具備的速度 第二宇宙速度（脫離速度） V2=11.2km/s 使物體掙脫地球束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)行的人造行星的最小發(fā)射速度 第三宇宙速度（逃逸速度）V3=16.7km/s 使物體掙脫太陽(yáng)的引力束縛的最小發(fā)射速度，也稱為“逃逸速度”。1、發(fā)射速度：是指被發(fā)射物在地面附近離開發(fā)射裝置時(shí)的初速度，并且一旦發(fā)射后就再無(wú)能量補(bǔ)充，被發(fā)射物僅依靠自己的初動(dòng)能克服地球引力上升一定的高度，進(jìn)入運(yùn)動(dòng)軌道 宇宙速度均指發(fā)射速度 第一宇宙速度為在地面發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，也是環(huán)繞地球運(yùn)行的最大速度。2、 運(yùn)行速度：是指衛(wèi)星進(jìn)入軌道后

8、繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，當(dāng)衛(wèi)星“貼著”地面運(yùn)行時(shí)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度例1(2010·衡水模擬)為紀(jì)念伽利略將望遠(yuǎn)鏡用于天文觀測(cè)400周年，2009年被定為以“探索我的宇宙”為主題的國(guó)際天文年我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星繞月球經(jīng)過(guò)一年多的運(yùn)行，完成了既定任務(wù)，于2009年3月1日16時(shí)13分成功撞月如圖所示為“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星撞月的模擬圖，衛(wèi)星在控制點(diǎn)開始進(jìn)入撞月軌道假設(shè)衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，周期為T，引力常量為G.根據(jù)題中信息，以下說(shuō)法正確的是()A可以求出月球的質(zhì)量B可以求出月球?qū)Α版隙鹨惶?hào)”衛(wèi)星的引力C“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星在控制點(diǎn)處應(yīng)減速D“嫦娥一號(hào)”在地面的發(fā)射

9、速度大于11.2 km/s答案：ACPQ123圖20例2、發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3，軌道1、2相切于Q點(diǎn)，軌道2、3相切于P點(diǎn)，如圖20所示。則在衛(wèi)星分別在1、2、3軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（ D ）A、衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率。B、衛(wèi)星在軌道3上的角速度小于在軌道1上的角速度。C、衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度。D、衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度。例3. 2004年1月國(guó)務(wù)院正式批準(zhǔn)繞月探測(cè)工程，第一顆

10、繞月衛(wèi)星被命名為“嫦娥一號(hào)”，為月球探測(cè)后續(xù)工程積累經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)宇宙飛船到了月球上空先以速度v繞月球作圓周運(yùn)動(dòng)，為了使飛船較安全的落在月球上的B點(diǎn)，在軌道A點(diǎn)點(diǎn)燃火箭發(fā)動(dòng)器作出短時(shí)間的發(fā)動(dòng)，向外噴射高溫燃?xì)?，噴氣的方向?yàn)?（ ）（A）與v的方向一致（B）與v的方向相反（C）垂直v的方向向右（D）垂直v的方向向左例4. 啟動(dòng)衛(wèi)星的發(fā)動(dòng)機(jī)使其速度加大，待它運(yùn)動(dòng)到距離地面的高度比原來(lái)大的位置，再定位使它繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)成為另一軌道的衛(wèi)星，該衛(wèi)星后一軌道與前一軌道相比（ ）（A）速率增大（B）周期減?。–）機(jī)械能增大（D）加速度增大練習(xí)5. 2009年5月，航天飛機(jī)在完成對(duì)哈勃空間望遠(yuǎn)鏡的維修任務(wù)后，

11、在A點(diǎn)從圓形軌道I進(jìn)人橢圓軌道II，B為軌道II上的一點(diǎn)，如圖所示。關(guān)于航天飛機(jī)的運(yùn)動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的有( )A.在軌道II上經(jīng)過(guò)A的速度小于經(jīng)過(guò)B的速度B.在軌道II上經(jīng)過(guò)A到達(dá)B的過(guò)程中速度越來(lái)越大C.在軌道II上運(yùn)動(dòng)的周期小于在軌道I上運(yùn)動(dòng)的周期D.在軌道II上經(jīng)過(guò)A的加速度小于在軌道I上經(jīng)過(guò)A的加速度例6、 （2008山西太原）我國(guó)研制的“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星于2007年10月24日18時(shí)由長(zhǎng)征三甲運(yùn)載火箭發(fā)射升空，星箭分離后在遠(yuǎn)地點(diǎn)做了一次變軌，進(jìn)入到16小時(shí)軌道，然后分別在16小時(shí)、24小時(shí)（停泊軌道）、48小時(shí)軌道（調(diào)相軌道）軌道近地點(diǎn)，各進(jìn)行了一次變軌，其中在調(diào)相軌道近地點(diǎn)變軌后，

12、“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道正式奔月，下列說(shuō)法中正確的是（）A“嫦娥一號(hào)”由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道時(shí)應(yīng)讓其發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)點(diǎn)火向后噴氣B“嫦娥一號(hào)”由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道時(shí)應(yīng)讓其發(fā)動(dòng)機(jī)在B點(diǎn)點(diǎn)火向后噴氣C“嫦娥一號(hào)”沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的速度大于沿24小時(shí)軌道在A點(diǎn)的速度D“嫦娥一號(hào)”沿48小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度大于沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度例7（2008年廣東高考）圖7是“嫦娥一導(dǎo)奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過(guò)自帶的小型火箭多次變軌，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開展對(duì)月球的探測(cè)，下列說(shuō)法正確的是（ ）A發(fā)射“嫦娥一號(hào)”的速度必須達(dá)到第三宇宙速度B在繞月

13、圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān)C衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D在繞月圓軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受月球的引力五、 雙星模型 兩個(gè)質(zhì)量相差不多的星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn) 勻速圓周運(yùn)動(dòng)。抓住雙星運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，即周期相同是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。還要注意運(yùn)動(dòng)半徑和 雙星間的距離的關(guān)系：，雙星角速度： 處理雙星問(wèn)題必須注意兩點(diǎn)（1）兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；（2）軌道半徑不等于引力距離（這一點(diǎn)務(wù)必理解）。弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯(cuò)誤。例1、宇宙中兩顆相距較近天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點(diǎn)

14、為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起.（1）證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都等于質(zhì)量之反比.（2）設(shè)二者的質(zhì)量分別為m1和m2，二者相距L，試寫出它們角速度的表達(dá)式. 例2兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為 L ，其運(yùn)動(dòng)周期為 T ，求兩星的總質(zhì)量。例3兩個(gè)靠近的天體稱為雙星，它們以兩者連線上某點(diǎn)O為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)量分別為m1、m2，如右圖所示，以下說(shuō)法正確的是（ ACD ）m1m2OA 它們的角速度相同B 線速度與質(zhì)量成正比C 向心力與質(zhì)量的乘積成正比D 軌道半徑與質(zhì)量成反比例4. 兩顆

15、靠得很近的天體稱為雙星，它們以兩者連線上某點(diǎn)為圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣就不至于由于萬(wàn)有引力而吸引在一起，設(shè)兩雙星質(zhì)量分別為m和M，M3m。兩星間距為L(zhǎng)，在相互萬(wàn)有引力的作用下，繞它們連線上某點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，則它們運(yùn)動(dòng)的角速度為多少?拓展題 (2006廣東高考)宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用.已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行.設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m.(1)試求第一種形

16、式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期.(2)假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？六、 星球瓦解問(wèn)題 球表面赤道附近的物體，剛好達(dá)到最大自轉(zhuǎn)速率時(shí)，物體將會(huì)漂浮，支持力為零，在增大自轉(zhuǎn)速率，星球就會(huì)瓦解，此時(shí)萬(wàn)有引力提供向心力。天體自轉(zhuǎn)時(shí)，天體上的各質(zhì)點(diǎn)(軸上的除外)都隨天體繞自轉(zhuǎn)軸(某點(diǎn))做勻速圓周運(yùn)動(dòng),其特點(diǎn)為：(1)具有與天體自轉(zhuǎn)相同的角速度和周期；(2)萬(wàn)有引力除提供向心力外，還要產(chǎn)生重力；(3)當(dāng)質(zhì)量、轉(zhuǎn)速相同時(shí)，赤道上的質(zhì)點(diǎn)所需向心力最大，若轉(zhuǎn)速增大(或密度變小，即半徑變大)，其最易做離心運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致天體解體。此類問(wèn)題既不同于天體表面附近的衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(二者軌道半徑相同,但周期不同)，也不同于同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)(二者周期雖相同,但軌道半徑不同)。這三類問(wèn)題極易混淆，要弄清楚。例1、某勻質(zhì)星球的半徑為R,密度為r.組成星球的物質(zhì)是靠萬(wàn)有引力吸引在一起的,這樣的星球有一個(gè)最小自轉(zhuǎn)周期T0,如果小于該自轉(zhuǎn)周期,星球的萬(wàn)有引力將不足以維持其赤道附近物體的圓周運(yùn)動(dòng),而導(dǎo)致星球瓦解.求最小自轉(zhuǎn)周期T0.解析： 答案：2例2、 設(shè)在地球上和在x天體上以相同的初速度豎直上拋一物體的最大高度比為k(均不計(jì)阻力),且已知地球和x天體的半徑比也是k,則地球質(zhì)量與此天體的質(zhì)量比為