Markov狀態(tài)機(jī)制轉(zhuǎn)移模型的貝葉斯分析

1、Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的貝葉斯分析黃志國 吳峻明摘 要Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型在分析變量變化問題上具有其它確定性模型不可比擬的優(yōu)勢(shì)，而Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型與其他經(jīng)典模型的結(jié)合可以使它具有更廣泛的應(yīng)用。貝葉斯方法在估計(jì)高維參數(shù)問題上同樣具有非凡的吸引力，將貝葉斯分析應(yīng)用于Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型分析上是對(duì)Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的有益擴(kuò)展，本文將對(duì)Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的貝葉斯分析進(jìn)行總結(jié)并詳述它與各經(jīng)典模型的結(jié)合。關(guān)鍵詞：Markov 狀態(tài)轉(zhuǎn)換 貝葉斯一、引言如果觀察宏觀經(jīng)濟(jì)或金融時(shí)間序列足夠長(zhǎng)的時(shí)間，則可以看到很多變量有許多戲劇性的變化。這種明顯的變化可能源于戰(zhàn)爭(zhēng)、金融恐慌、或政府政

2、策的顯著變化。如果變量的歷史數(shù)據(jù)已經(jīng)給出，我們可以根據(jù)顯著變化的次數(shù)將時(shí)間序列劃分成不同階段，然后分別建模。但是變量的顯著變化沒有理由不再發(fā)生，機(jī)制的變化肯定不能完全視作完全可預(yù)見的、確定性事件，此時(shí)，用歷史數(shù)據(jù)分別擬合的模型來進(jìn)行預(yù)測(cè)就不恰當(dāng)了。Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型能將這種機(jī)制的轉(zhuǎn)換作為一個(gè)內(nèi)生變量，在模型的估計(jì)中用一個(gè)同一的模型來擬合，不僅可更加符合實(shí)際情況，而且有利于利用模型對(duì)未來進(jìn)行預(yù)測(cè)。在Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型中，假定機(jī)制的轉(zhuǎn)換是具有依賴性的，如果t時(shí)刻的機(jī)制只依賴于t-1時(shí)刻的機(jī)制，那么模型的變化是一階的；如果t時(shí)刻的機(jī)制只依賴t-1和他2時(shí)刻的機(jī)制，那么模型的變化是二階的。

3、再則，模型中一種機(jī)制對(duì)應(yīng)時(shí)間序列的一種狀態(tài)方式，對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列來說即對(duì)應(yīng)一個(gè)均值和一個(gè)方差。根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，一些宏觀經(jīng)濟(jì)或金融變量的時(shí)間序列在理論上是有不同的機(jī)制變化方式的，比如根據(jù)現(xiàn)代增長(zhǎng)型經(jīng)濟(jì)周期理論，我們知道經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)存在者顯著的擴(kuò)張和收縮兩種狀態(tài)的變化，如此，在對(duì)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率的擬合模型中可以考慮設(shè)定兩狀態(tài)的模型。同時(shí)，模型對(duì)于機(jī)制即狀態(tài)的設(shè)定是以概率分布的形式給出的，即對(duì)某一時(shí)刻變量所處的狀態(tài)的判斷不再是武斷的，而是給出其在各種不狀態(tài)上的一個(gè)概率分布，這樣的設(shè)定在復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)變量的變化中更符合現(xiàn)實(shí)也更具有科學(xué)性。二、文獻(xiàn)綜述時(shí)間序列的顯著性變化可被視作為時(shí)間序列的內(nèi)在生成機(jī)制的變化，如果這種

4、生成機(jī)制的變化是一次性的，而且變化的時(shí)間點(diǎn)已知的話，我們可以用鄒氏檢驗(yàn)法來進(jìn)行檢驗(yàn)。如果這種結(jié)構(gòu)性的變化是連續(xù)性的，并且變化的時(shí)間點(diǎn)并不確定，對(duì)此Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型能夠?qū)⑦@種結(jié)構(gòu)性的變化視作一種機(jī)制向另一種機(jī)制的轉(zhuǎn)換，在模型的估計(jì)過程中能購將結(jié)構(gòu)的變化內(nèi)生化，因此該模型在識(shí)別數(shù)據(jù)變化過程中有其獨(dú)特的一面。在國際上用Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行研究的文章很多，比較有代表性的則有：Hamilton（1989）用兩狀態(tài)四階滯后的Markov模型研究了美國經(jīng)濟(jì)波動(dòng)，很好地刻畫了經(jīng)濟(jì)波動(dòng)中的非線性動(dòng)態(tài)和非對(duì)稱性；Rence Garcia和Pierre Perron（1996）用三狀態(tài)兩階滯后的Ma

5、rkov模型研究了美國19611986年的真實(shí)利率，結(jié)果表明事后真實(shí)利率的均值和方差有一定的隨機(jī)性；Kim ,Nelson和Startz（1997）用異方差的三狀態(tài)Markov模型研究了19261986年間美國股市的月收益，結(jié)果顯示該模型非常好的刻畫了股市月收益的數(shù)據(jù)生成過程。Chung-Ming Kuan（2002）用兩變量的Markov模型研究了臺(tái)灣的經(jīng)濟(jì)周期，結(jié)果顯示該模型能很好的識(shí)別臺(tái)灣的真實(shí)經(jīng)濟(jì)周期，對(duì)經(jīng)濟(jì)周期性的增長(zhǎng)具有很好的預(yù)測(cè)效果。國內(nèi)用Markov模型進(jìn)行研究的文獻(xiàn)相對(duì)來說較少，主要有：王建軍(2007)Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型研究及其在經(jīng)濟(jì)周期分析中的應(yīng)用。郝立亞(2011

6、)基于蒙特卡洛模擬的貝葉斯隨機(jī)波動(dòng)模型及應(yīng)用研究。朱慧明，鄧慧敏等(2013)：針對(duì)股市收益與通脹波動(dòng)關(guān)系分析過程中隨機(jī)參數(shù)條件下的建模問題，構(gòu)建了貝葉斯Markov 轉(zhuǎn)換VAR 模型。三、Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型簡(jiǎn)介考慮一個(gè)單變量y,當(dāng)t=1,2,.,時(shí),其數(shù)據(jù)生成過程符合簡(jiǎn)單的一階自回歸過程: (1)其中.假設(shè)在t=時(shí)刻,變量必的序列均值發(fā)生了顯著的變化,那么對(duì)于t=+l,+2,則有: (2)則模型可設(shè)定為 (3)這里是一個(gè)隨機(jī)變量,在理論上當(dāng)t=1,2,時(shí)=1,當(dāng)t=+l,+2,時(shí)=2。為了使模型(3)能夠估計(jì),需要知道狀態(tài)變量取值的變化規(guī)律,一種簡(jiǎn)單可行的假設(shè)即假定狀態(tài)變量氣符合一階兩

7、狀態(tài)Markov過程: (4)從式(4)中我們可以知道,狀態(tài)變量的取值僅僅依賴于其前一期的取值。從模型的設(shè)定中我們知道狀態(tài)變量是不可觀測(cè)的,即在現(xiàn)實(shí)中我們不能找到完美的指標(biāo)刻畫其表現(xiàn)的一些經(jīng)濟(jì)變量,比如經(jīng)濟(jì)周期中的擴(kuò)張和緊縮狀態(tài)。Hami1ton(1989)最早運(yùn)用Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型研究美國經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率的研究,將經(jīng)濟(jì)周期的判斷以及增長(zhǎng)率指標(biāo)的變化發(fā)展兩者結(jié)合到一起,取得了很好的效果,并且開創(chuàng)了新的一種經(jīng)濟(jì)金融周期的分析模式。在模型(2.1.3)一(2.1.4)的設(shè)定中我們知道隨機(jī)變量的條件均值在時(shí)間上存在著變化,但其方差是保持一致的。在實(shí)際情況中很多變量不僅其條件均值可能存在著周期性變化,

8、同時(shí)在不通狀態(tài)下其波動(dòng)的方差也存在著差異,模型就變成: (5)且這樣模型(5)中就考慮到變量條件方差也隨狀態(tài)變量的轉(zhuǎn)移而變化。我們知道,研究變量條件方差變化的非常著名的模型是由Engel(1982)和BollerSlev(1986)提出的GARCH(general autoregressive eonditional heterskedasticity)實(shí)際應(yīng)用中更多的是在GARCH模型中引入狀態(tài)變量和Markov轉(zhuǎn)換機(jī)制,這樣研究金融變量的波動(dòng)性問題上不僅考慮了變量波動(dòng)的集聚效應(yīng),同時(shí)還考慮到變量波動(dòng)性與相關(guān)市場(chǎng)周期之間的變化關(guān)系。首先我們來看一個(gè)GARCH(p,q)模型: （6）當(dāng)模型(6

9、)中不考慮人的滯后項(xiàng)則模型就為一個(gè)ARCH(p)模型。Cai(1994）研究引入機(jī)制轉(zhuǎn)移狀態(tài)變量的ARCH(p)模型: (7)Hamilton和Susmel(1994)提出了SWARCH(q)模型 (8)從模型(7)和(8)我們可以看到變量的條件方差都存在著兩種不同的狀態(tài),且兩種狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)化"同時(shí)模型(7)與(8)又有不同之處,模型(7)只是ARCH項(xiàng)中左邊一常數(shù)項(xiàng)在不同狀態(tài)下有所變化,而模型(8)則是在不同狀態(tài)下ARCH項(xiàng)之間存在著一個(gè)倍數(shù)的差異,當(dāng)然兩者都體現(xiàn)了存在著機(jī)制轉(zhuǎn)移的條件異方差的模型。如果將模型(7)和(8)擴(kuò)展進(jìn)而包括條件異方差的滯后項(xiàng),即GARCH項(xiàng),的取值存在

10、著路徑依賴，這樣模型的估計(jì)和計(jì)算就相當(dāng)?shù)膹?fù)雜了，為此，Gray(l996)則根據(jù)對(duì)重新定義解決了這個(gè)問題,其模型如下 (9)從模型(9)中我們可以看出，在計(jì)算的值的迭代過程中就不需要考慮全部()取值的可能情況了。同時(shí)在Gray的模型中還可以對(duì)變量條件均值也引入狀態(tài)轉(zhuǎn)移機(jī)制,此時(shí)模型定義如下 (10)這里需要計(jì)算兩個(gè)量的概率加權(quán)和: 與Cai(1994)!Hamilton和Susmel(1994)的模型相比較,Gray(1996)的狀態(tài)機(jī)制轉(zhuǎn)移GARCH模型能夠在不加任何限制條件下對(duì)所有的GARCH參數(shù)中引入狀態(tài)機(jī)制轉(zhuǎn)移。同樣,該模型也比前兩個(gè)模型更具有彈性。四、參數(shù)估計(jì)前文分別介紹了基于條件均

11、值和條件方差的兩狀態(tài)Markoy機(jī)制轉(zhuǎn)換模型,在實(shí)際中,有些變量的變化可能存在更多的狀態(tài)的情況,這里基于條件均值存在狀態(tài)變化的模型,介紹多狀態(tài)(狀態(tài)數(shù)大于2)的Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型。設(shè)有模型如下: (11)其中狀態(tài)變量的取值個(gè)數(shù)可大于2。從此我們可以發(fā)現(xiàn),以模型狀態(tài)變量的概率轉(zhuǎn)移矩陣中存在著k(k一l)個(gè)未知參數(shù)。當(dāng)k=2時(shí)模型狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移矩陣中只有兩個(gè)未知參數(shù),當(dāng)k二3時(shí)模型狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中就有6個(gè)未知參數(shù),當(dāng)k越大則狀態(tài)變量轉(zhuǎn)移矩陣中的未知參數(shù)就越多,并且?guī)缀踅咏趲缀渭?jí)數(shù)方式的增長(zhǎng)"如此一來,模型設(shè)定中的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)越多大則模型需要估計(jì)的未知參數(shù)就成倍增長(zhǎng),這樣對(duì)估計(jì)所需的樣

12、本數(shù)量的要求就越高,而且參數(shù)估計(jì)的精度也受到很大的限制，所以在目前實(shí)際應(yīng)中僅只有兩狀態(tài)和三狀態(tài)模型的應(yīng)用。前面介紹的基于條件均值的狀態(tài)轉(zhuǎn)換模型中,變量的滯后階數(shù)僅是一階的，而在實(shí)際應(yīng)用中包含更高階的滯后變量也十分普遍,所以對(duì)模型關(guān)于變量滯后階數(shù)的擴(kuò)展也是十分必要的。首先我們將模型(3)(4)的關(guān)于變量的滯后階數(shù)擴(kuò)展到2階。包含兩階滯后變量的Markov狀態(tài)模型如下 (12)其中，。但該模型的估計(jì)問題是一個(gè)非常復(fù)雜的問題，已有學(xué)者指出，當(dāng)模型包含k個(gè)狀態(tài),p階滯后變量的情況下,狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣則就是一個(gè)k(P+l)階的方陣。所以,當(dāng)模型狀態(tài)個(gè)數(shù)一定!模型所包含滯后變量的階數(shù)增加的情況下,雖然模型

13、未知參數(shù)并不會(huì)有太大的增加,但是模型估計(jì)過程中所需使用的狀態(tài)變量的概率轉(zhuǎn)移矩陣則成幾何級(jí)數(shù)的擴(kuò)大"此種情況下對(duì)模型的估計(jì)在計(jì)算和矩陣定義上造成相應(yīng)的困難"特別是目前通用的計(jì)量軟件中還沒有估計(jì)該類模型的軟件包,很多實(shí)際應(yīng)用研究需要研究者自己根據(jù)需要編寫估計(jì)程序,因此在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)于兩狀態(tài)模型滯后階數(shù)目前最大的為四階,而對(duì)于三狀態(tài)模型最多只包含兩階的滯后變量。為了方便介紹Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的估計(jì)過程,我們以一個(gè)包含一階滯后變量基于兩狀態(tài)條件均值的Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型為例,對(duì)其極大似然估計(jì)所需的似然函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)。此時(shí)模型設(shè)定如下: (13)其中，且獨(dú)立同分布。狀態(tài)變量的

14、取值為1,2,并且符合一階Markov鏈過程此時(shí),模型中包含有一階滯后變量，這里我們需要重新構(gòu)造一狀態(tài)變量，使得 (14)令表示從初始時(shí)刻到當(dāng)前時(shí)刻t所有可觀測(cè)的變量,通常稱之為基于t時(shí)刻及之前的所有可觀測(cè)的信息.因此也就有: (15)令表示基于所有至?xí)r刻才的可觀測(cè)信息和參數(shù)對(duì)狀態(tài)變量的推斷概率,將狀態(tài)變量各種取值概率構(gòu)成一列向量記為同樣地，就表示基于所有至?xí)r刻t-1的可觀測(cè)信息和參數(shù)/對(duì)狀態(tài)變量可觀測(cè)信息的推斷概率,記為根據(jù)貝葉斯公式有: (16)再由全概率公式,我們可以將式(16)等式右邊依據(jù)狀態(tài)變量的不同取值進(jìn)行和就得到變量?jī)H基于其滯后變量和參數(shù)的條件分布密度函數(shù) (17)因此我們就可以

15、得到: (18)這里1表示各分量為1的四階列向量,表示兩個(gè)向量之間對(duì)應(yīng)分量的點(diǎn)乘.。而另外一個(gè)向量其涵義雖然有了,但其具體取值還沒有定義,以下給出其取值定義由貝葉斯公式的另一種表達(dá)形式有 (19)再將公式(18)代入到(19)，既有 (20)同時(shí)我們還有 (21)到此,給定一個(gè)初始的,我們可以通過公式(20)和(21)進(jìn)行迭代運(yùn)算從而計(jì)算出所有的和這樣所需的所有向量均可得到具體取值形式了,因此,就得如下模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù) (22)公式(22)中,未知參數(shù)向量因?yàn)樵诠?20)和(21)的迭代過程中我們使用了狀態(tài)變量的概率轉(zhuǎn)移矩陣,所以這里又多了兩個(gè)未知參數(shù).至于推算狀態(tài)變量各時(shí)刻取值所需的初始

16、向量通常有兩種設(shè)定方法，一種較簡(jiǎn)單的方法就是設(shè)定各分量相等常數(shù)且各分量之和為1，另外一種方法就是取狀態(tài)變量概率轉(zhuǎn)移矩陣的特征向量,根據(jù)具有各態(tài)歷經(jīng)性Markov鏈的有關(guān)性質(zhì),可以推導(dǎo)出轉(zhuǎn)移概率矩陣的特征向量表示狀態(tài)變量無條件情況下取不同值的概率。此方法在實(shí)際應(yīng)用中較多,其計(jì)算公式為 (23)其中表示單位陣,的第(N+l)列,關(guān)于此設(shè)定的具體涵義及相關(guān)詳細(xì)推導(dǎo)可參見Hamilton(1994).最后,我們可以將所用樣本數(shù)據(jù)帶入模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù),運(yùn)用數(shù)值計(jì)算中的最優(yōu)化方法搜尋對(duì)數(shù)似然函數(shù)極大值,一并得到使得對(duì)數(shù)似然函數(shù)取得最大值的各參數(shù)估計(jì)值,即為我們所需的參數(shù)估計(jì).結(jié)束語Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型較一般線性時(shí)間序列模型具有更大的靈活性,能更好的擬合具有持續(xù)結(jié)構(gòu)變化的時(shí)間序列。所以,對(duì)Markoy機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的應(yīng)用和研究在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域?qū)儆谇把睾蜔衢T的課題。本文對(duì)Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型的經(jīng)典應(yīng)用做了一些簡(jiǎn)單的介紹并且進(jìn)行了初步的擴(kuò)展，并試圖用貝葉斯方法進(jìn)行經(jīng)典模型的參數(shù)估計(jì)，得出了其參數(shù)估計(jì)公式。參考文獻(xiàn)1王建軍.Markov機(jī)制轉(zhuǎn)換模型研究及其在經(jīng)濟(jì)周期分析中的應(yīng)用.D.湖南大學(xué).20112郝立亞(20