選修單元綜合測試

1、單元綜合測試二(第二章綜合測試)時間：120分鐘分值：150分一、選擇題(每小題5分，共60分)1拋物線yx2的準線方程是()A4y10B4x10C2y10 D2x10【答案】A【解析】p，準線方程為y，即4y10.2設(shè)k>1，則關(guān)于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲線是()A長軸在y軸上的橢圓 B長軸在x軸上的橢圓C實軸在y軸上的雙曲線 D實軸在x軸上的雙曲線【答案】C【解析】k>1，方程可化為1.表示實軸在y軸上的雙曲線3下列曲線中離心率為的是()A.1 B.1C.1 D.1【答案】B【解析】雙曲線1的離心率e.4在平面直角坐標系xOy中，已知ABC的頂點A(4,0)

2、和C(4,0)，頂點B在橢圓1上，則等于()A. B.C. D.【答案】C【解析】橢圓1中，長半軸長a5，短半軸長b3，半焦距c4，.5橢圓a2x2y21的一個焦點是(2,0)，則a等于()A. B.C. D.【答案】B【解析】橢圓a2x2y21可化為1，a<0，排除C、D.當a時，62，2(1)，62224，一個焦點是(2,0)6(2014·重慶理)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|·|PF2|ab，則該雙曲線的離心率為()A. B.C. D3【答案】B【解析】不妨設(shè)點P是右

3、支上的一點，由雙曲線的定義知，|PF1|PF2|2a，|PF1|，|PF2|，|PF1|PF2|×，解得3b4a，雙曲線的離心率e.所以離心率為e.7拋物線yx2到直線2xy4距離最近的點的坐標是()A(，) B(1,1)C(，) D(2,4)【答案】B【解析】設(shè)P(x，y)為拋物線yx2上任一點，則P到直線的距離d，所以當x1時，d取最小值，此時P為(1,1)8設(shè)雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A. B.C. D.【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，F(xiàn)(c,0)，B(0，b)，

4、則kBF，雙曲線的漸近線方程為y±x，·1，即b2ac，c2a2ac，e2e10，解得e，又e>1，e，故選D.9(2014·遼寧理)已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為()A. B.C. D.【答案】D【解析】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線的斜率，直線與拋物線的位置關(guān)系由題意知，準線方程為x2，p4，拋物線方程：y28x，焦點坐標F(2,0)設(shè)過A點的直線為yk(x2)3，聯(lián)立化簡得y2y160，4(16)0，k，k2(舍去)將k代入方程，y8，x8.B點坐標為(8,8)

5、kBF.10連接雙曲線1與1的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為S1，連接它們的四個焦點構(gòu)成的四邊形的面積為S2，則S1S2的最大值是()A2 B1C. D.【答案】C【解析】x軸上的兩個頂點為(a,0)，(a,0)，y軸上的兩個頂點為(0，b)，(0，b)這四個頂點構(gòu)成的四邊形為菱形，面積S1·2a·2b2ab，焦點分別為(±c,0)，(0，±c)，則四個焦點構(gòu)成的四邊形為正方形，面積S2·2c·2c2c2.S1S2.當且僅當ab時，等號成立，故選C.11(2014·山東理)已知a>b>0，橢圓C1的方程為1，雙曲線

6、C2的方程為1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為()Ax±y0 B.x±y0Cx±2y0 D2x±y0【答案】A【解析】本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)e，ee·e()2a44b4，±雙曲線的漸近線方程為y±x.12過橢圓C：1(a>b>0)的左頂點A的斜率為k的直線交橢圓C于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為右焦點F，若<k<，則橢圓離心率的取值范圍是()A(，) B(，1)C(，) D(0，)【答案】C【解析】點B的橫坐標是c，故B的坐標為(c，±)，又k(，)，B(c，

7、)斜率k.由<k<，解得<e<.二、填空題(每小題4分，共16分)13已知長方形ABCD，AB4，BC3，則以A、B為焦點，且過C、D兩點的橢圓的離心率為_【答案】【解析】AB2c4，c2.又ACCB5382a，a4.橢圓離心率為.14(2013·江西理)拋物線x22py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線1相交于A，B兩點，若ABF為等邊三角形，則p_.【答案】6【解析】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，方程的思想如圖不妨設(shè)A(x0，)F(0，)，F(xiàn)Dp，可解得A(，)在RtDFA中，tan30°，.p236，p6.15拋物線形拱橋的跨度是20米，拱

8、高是4米，每隔4米用一支柱支撐，其中最長支柱的長是_【答案】3.84 m【解析】如圖，建立如圖所示的平面直角坐標系設(shè)拋物線方程為：x22py(p>0)，點A(10，4)在拋物線上，1008p，p，x225y，其中最長一根長柱與拋物線的交點為B(x0，y0)，由題意知x02，y0，最長的支柱長為43.84(米)16設(shè)AB是橢圓1的不垂直于對稱軸的弦，M為AB的中點，O為坐標原點，則kAB·kOM_.【答案】【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則中點M(，)，得kAB，kOM，kAB·kOM，又由b2xa2ya2b2，b2xa2ya2b2，得b2(xx)a2(y

9、y)0，即.三、解答題(共74分)17(本題滿分12分)求以橢圓3x213y239的焦點為焦點，以直線y±為漸近線的雙曲線方程【解析】橢圓3x213y239可化為1，其焦點坐標為(±，0)，所求雙曲線的焦點為(±，0)，設(shè)雙曲線方程為：1(a>0，b>0)，雙曲線的漸近線為y±x，a28，b22，即所求的雙曲線方程為：1.18(本題滿分12分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓y21的左、右焦點若點P是該橢圓上的一個動點，求·的最大值和最小值【解析】由題意知a2，b1，c，所以F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，設(shè)P(x，y)，則·(x，y)

10、·(x，y)x2y23(3x28)由于x2,2，故當x0，即點P為橢圓短軸端點時，·有最小值2；當x±2，即點P為橢圓長軸端點時，·有最大值1.19(本題滿分12分)如圖所示，橢圓1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，一條直線l經(jīng)過F1與橢圓交于A，B兩點，若直線l的傾斜角為45°，求ABF2的面積【解析】由橢圓的方程1知，a4，b3，c.由c知F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，又ktan45°1，直線l的方程為xy0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由消去x，整理得25y218y810，|y1y2|.SABF2|F1F2|·|

11、y1y2|×2×.20(本題滿分12分)在直角坐標系xOy中，點P到兩點(0，)，(0，)的距離之和為4，設(shè)點P的軌跡為C，直線ykx1與C交于A，B兩點(1)寫出C的方程；(2)若，求k的值【解析】(1)設(shè)P(x，y)，由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以(0，)，(0，)為焦點，長半軸為2的橢圓它的短半軸b1，故曲線C的方程為x21.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標滿足消去y并整理得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2.若，則x1x2y1y20.而y1y2k2x1x2k(x1x2)1，于是x1x2y1y210，化簡得4k210，所以k±

12、.21(本題滿分13分)已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e，橢圓上的點到焦點的最短距離為1，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于相異兩點A、B，且A3P.(1)求橢圓方程；(2)求m的取值范圍【解析】(1)設(shè)C：1(a>b>0)，設(shè)c>0，c2a2b2，由條件知ac1，a1，bc，故橢圓方程為y21.(2)當直線斜率不存在時，m±，滿足條件，當直線斜率存在時，設(shè)直線l的方程為ykxm，與橢圓C交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得整理得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)>

13、0，(*)x1x2，x1x2，A3P，x13x2，由消去x1，x2，得3()20.整理得4k2m22m2k220，m2時，上式不成立；m2時，k2，k20，1m<或<m1，把k2代入(*)得1<m<或<m<1.1<m<或<m<1.綜上，m的取值范圍為1<m或m<1.22(本題滿分13分)(2014·山東理，21)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|FD|.當點A的橫坐標為3時，ADF為正三角形(1)求C的方

14、程；(2)若直線l1l，且l1和C有且只有一個公共點E.()證明直線AE過定點，并求出定點坐標；()ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由【解析】(1)由題意知F(，0)，設(shè)D(t,0)(t>0)，則FD的中點為(，0)因為|FA|FD|，由拋物線的定義知3|t|，解得t3p或t3(舍去)，由3，解得p2.所以拋物線C的方程為y24x.(2)()由(1)知F(1,0)設(shè)A(x0，y0)(x0y00)，D(xD,0)(xD>0)，因為|FA|FD|，得|xD1|x01，由xD>0得xDx02，故D(x02,0)故直線AB的斜率kAB.因為直線l1和直線AB平行，設(shè)直線l1的方程為yxb，代入拋物線方程得y2y0，由題意0，得b，設(shè)E(xE，yE)，則yE，xE.當y4時，kAE，可得直線AE的方程為yy0(xx0)，由y4x0，整理可得y(x1)，直線AE恒過點F(1,0)當y4時，直線AE的方程為x1，過點F(1,0)所以直線AE過定點F(1,0)()