車輛過路口有關(guān)紅綠燈的優(yōu)化方案

1、東北大學(xué)2013年國際大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽校內(nèi)選拔賽參賽隊編號：（）選擇題目：A B摘要本文建立汽車啟動模型，通過圖解法，分析法，利用數(shù)學(xué)，物理知識，結(jié)合實際生活常識對該模型進(jìn)行求解。要證明按照路口規(guī)定的上限速度同時啟動車輛的通過率比車輛依次啟動的通過率高，即需要對標(biāo)準(zhǔn)路口汽車通行模型與同時加速啟動通行模型進(jìn)行比較。對于車輛依次啟動，需要考慮到每輛車啟動時所需要的啟動延遲時間。根據(jù)模型假設(shè)及變量定義，得出綠燈持續(xù)時間t內(nèi)通過的車輛數(shù)n1，得到 對于車輛按照路口規(guī)定的上限速度同時啟動，減少了后續(xù)車輛由于啟動延遲的多余時間消耗，根據(jù)模型假設(shè)及變量定義，得出綠燈持續(xù)t時間內(nèi)通過的車輛為n2，得到 由比

2、較可知， 故證明出按照道路規(guī)定的上限速度同時啟動比車輛依次啟動的通過率高。由表達(dá)式分析得到，影響通過率的因素為：道路規(guī)定的上限速度及單位車輛啟動的時間延遲。要提高交通路口的通行速度和通行能力，由運動學(xué)知識可知，速度越高，單位時間內(nèi)通過的車輛越多，因此，在第一問的基礎(chǔ)上，構(gòu)建加速區(qū)路口汽車通行模型。在設(shè)置加速區(qū)的基礎(chǔ)上使車輛在到達(dá)交通路口時的速度達(dá)到規(guī)定的上限速度，從而比車輛按照路口規(guī)定的上限速度同時啟動的前提下，更進(jìn)一步省去了在交通路口加速所消耗的時間，以上限速度通過路口，進(jìn)而大大提高路口的車輛通過率。根據(jù)模型假設(shè)及變量定義，得出綠燈持續(xù)時間t內(nèi)通過的車輛數(shù)n，得到，通過比較得知，因此，設(shè)置加

3、速區(qū)使車輛在達(dá)到交通路口時的速度達(dá)到規(guī)定的上限速度，可以大大提高路口車輛的通過能力和通過速度。關(guān)鍵字：通過率 上限速度 同時啟動 勻加速 一、問題重述1.1 背景隨著時代的發(fā)展社會的進(jìn)步，人們的生活水平越來越高，每個家庭擁有一輛汽車基本很是普遍，然而這也帶來了新的問題交通擁堵，以交通路口處尤為嚴(yán)重。人們迫切的希望可以尋求一種辦法使得車輛可以不需浪費太多時間或者是盡可能使順暢的通過交通路口，這樣不但減少路上行人自己的時間，還能在一定程度上減少交通事故的發(fā)生，因此，這一課題很有現(xiàn)實意義。1.2 問題交通信號燈由紅燈變綠燈時，大家都希望盡快通過路口，但實際情況是，隨著前面車輛啟動后續(xù)車輛依次啟動，而

4、不是大家按照路口規(guī)定的上限速度一起啟動，顯然后一種方式通過的車流量大。 問題一：建立你的數(shù)學(xué)模型說明：按照路口規(guī)定的 上限速度一起啟動比車輛依次啟動的通過率高，并分析影響通過率的因素。問題二：通過建立數(shù)學(xué)模型說明提高交通路口的通行速度和通行能力。對于第一問雖然是一道證明題而且結(jié)果顯而易見，但是實際上如要通過建立數(shù)學(xué)模型求解并不簡單，需要將兩種情況建立兩個數(shù)學(xué)模型，而且這兩模型還要在一定程度上可以很好的進(jìn)行比較；而問題二可以堪稱是一個開放性的試題，完全考驗思維能力和創(chuàng)新能力，需要我們能夠想出最優(yōu)的方案來使得汽車的通過率最大，并將所想的方案建立出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而得出結(jié)論。二、問題分析2.1 對問題一

5、的分析。通過題意可知，目的就是在綠燈的持續(xù)時間內(nèi)將兩種情況的車輛的通過數(shù)進(jìn)行比較，從而證明車輛同時以上限速度啟動在交通路口的通過率要大于車輛從前至后依次啟動的通過率。首先我們要建立兩組數(shù)學(xué)模型。在第一個模型中，建立車輛從前之后依次啟動的啟動時間與車輛所處位置的關(guān)系，再建立綠燈持續(xù)時間與在此持續(xù)時間內(nèi)通過交通路口的車輛數(shù)的關(guān)系；在第二個模型中，同樣的要建立通過的車輛數(shù)與車輛行駛時間以及綠燈持續(xù)時間的關(guān)系，但是異地個模型不同的是，在這個問題中，車輛要同時以上限速度啟動，從而省去了依次啟動所浪費的時間。在這兩個模型中，很容易可以想到物理學(xué)中的運動學(xué)方程問題，根據(jù)汽車啟動加速時間與綠燈持續(xù)時間的比較，

6、可以列出有關(guān)時間、路程和速度的關(guān)系式，將所得關(guān)系式聯(lián)立并應(yīng)用解一元二次數(shù)學(xué)方程組的思想對通過的車輛數(shù)進(jìn)行求解，將兩種情況的求得的結(jié)果進(jìn)行比較即可方便的得出結(jié)論。2.1 對問題二的分析。對于問題二，以問題一為基礎(chǔ)，同樣應(yīng)用運動學(xué)的有關(guān)知識，建立所需的數(shù)學(xué)模型，在設(shè)置加速區(qū)的基礎(chǔ)上使車輛在達(dá)到交通路口時的速度達(dá)到規(guī)定的上限速度，從而省去了在交通路口中行駛時加速所浪費的時間，使車輛可以全速通過路口，進(jìn)而大大提高路口的車輛通過率。列出行駛時間、行駛路程以及綠燈持續(xù)時間的關(guān)系式，通過數(shù)學(xué)方面的一元二次方程求解的方法計算結(jié)果，進(jìn)而得出結(jié)論。3、 模型假設(shè) 1、假設(shè)汽車的車身長度都相等 2、假設(shè)汽車在加速到

7、上限速度期間屬于勻加速運動且所有汽車的加速度相同 3、假設(shè)車輛與車輛之間的間距相等 4、車輛在加速至上限速度后速度保持不變4、 符號說明與名詞定義L車身的長度 D前一輛車與后一輛車之間的距離 t0加速到上限速度所需時間 v0交通路口規(guī)定的最大上限速度a汽車的加速度 t*黃燈的持續(xù)時間b加速區(qū)的長度T單位車輛啟動延遲時間 五、模型建立5.1問題一：標(biāo)準(zhǔn)路口汽車通行模型與同時加速啟動通行模型的比較對于問題中的汽車啟動問題，可以近似為有關(guān)的汽車啟動的物理問題，運用物理學(xué)中的運動學(xué)知識可以進(jìn)行方程的列解.由于交通信號燈管理的路口車輛都是按規(guī)定車道單向行駛的，因此本文只討論道路一側(cè)單股直行車道上的汽車通

8、行狀況，其它車道可類似討論，由于通過交叉路口的車型，車速，車輛加速性能等各不相同，根據(jù)文獻(xiàn)，以當(dāng)量小汽車為研究對象。用x軸表示車輛行駛的道路，原點O便是交通信號燈下的車輛停止線位置，OA長度為交通崗的寬度，汽車行駛方向為x軸正向，以汽車車頭所處的位置為汽車位置，如圖所示： L D O A（1）當(dāng)信號燈由紅轉(zhuǎn)綠時，隨著前面車輛啟動，后續(xù)車輛依次啟動，設(shè)信號燈變成綠燈的開始時刻為t=0，Xn(t)表示時刻t第n輛汽車的位置，則有：Xn(t)= 設(shè)綠燈持續(xù)t時間內(nèi)通過的車輛為n1，其中t（n-1)T+t0 ，則有： 解得 故 （2） 當(dāng)信號燈由紅轉(zhuǎn)綠時，所有車輛按照路口規(guī)定的上限速度一起啟動，設(shè)信號

9、燈變成綠燈的開始時刻為t=0，Yn(t)表示時刻t第n輛汽車的位置，則有：Yn(t)= 設(shè)綠燈持續(xù)t時間內(nèi)通過的車輛為n2，其中t（n-1)T+t0 ，則有：解得故比較可知因此，按照道路規(guī)定的上限速度一起啟動比車輛依次啟動的通過率高。（3）影響通過率的因素：道路規(guī)定的上限速度v0 單位車輛啟動延遲時間T5.2問題二：加速區(qū)路口汽車通行模型由運動學(xué)知識可知，速度越高，單位時間內(nèi)通過的車輛越多，為了提高綠燈時路口的通行能力，在設(shè)置加速區(qū)的基礎(chǔ)上使車輛在達(dá)到交通路口時的速度達(dá)到規(guī)定的上限速度，從而省去了在交通路口加速所浪費的時間，以上限速度通過路口，進(jìn)而大大提高路口的車輛通過能力。設(shè)計思想是：提高綠

10、燈時通過停止線O的每一輛汽車的通行速度。為此在停止線O之前b處設(shè)置停車線B，B到O之間為汽車的加速區(qū)，在綠燈亮之前，停在停車線O后面的汽車提前t*依次啟動，在加速區(qū)加速行駛，當(dāng)?shù)谝惠v車行駛到停止線O時恰好遇到綠燈，這樣車輛就可以較大速度通過路口，b即為汽車提前行駛的距離。 b L D B O A顯然，如果汽車都以最大速度v0通過停止線O，則通行能力最大，當(dāng)?shù)谝惠v汽車到達(dá)O時達(dá)到最大速度v時，其后的車輛將都以最大速度v0通過O，因此0t*t,此時b=1/2at*2。為了使設(shè)計便于實現(xiàn)，t*可取為信號燈轉(zhuǎn)綠燈之前黃燈的時間（設(shè)黃燈的時長不超過t0）。設(shè)第一輛汽車開始啟動的時刻為t=0，Zn(t)表

11、示時刻t第n 輛汽車的位置。由運動學(xué)知識可得汽車在有加速區(qū)的交叉路口的通行模型為： Zn(t)= 設(shè)綠燈持續(xù)t時間內(nèi)通過的車輛為n，其中t（n-1)T+t0 ，則有：解得故通過比較得知：因此在設(shè)置加速區(qū)的基礎(chǔ)上使車輛在達(dá)到交通路口時的速度達(dá)到規(guī)定的上限速度，從而省去了在交通路口加速所浪費的時間，以上限速度通過路口，進(jìn)而可以大大提高路口車輛的通過能力和通過速度。六、模型評價交通路口的擁堵問題在日常生活中很是常見，時常致使行車的人們焦頭爛額，欲哭無淚，對于解決這一類的問題，除了應(yīng)有的交通管制與交通疏導(dǎo)外，使車輛與車輛之間在通過時能夠保證步調(diào)統(tǒng)一且保持快速也能大大提高交通路口的通過率，有效的緩解擁堵

12、問題。6.1 對于問題一的模型評價：在此問題中要求證明汽車從前至后依次啟動比汽車同時以上限速度啟動在交通路口的通過率小。在此，我們有效地應(yīng)用了物理學(xué)中運動學(xué)的有關(guān)知識，根據(jù)假設(shè)的條件因素以運動學(xué)方程列出不等式，進(jìn)而對在一次綠燈的持續(xù)時間中能夠通過的車輛數(shù)進(jìn)行了求解，并根據(jù)兩種情況下通過車輛數(shù)的大小的比較得出了通過率的大小關(guān)系。根據(jù)計算結(jié)果，我們認(rèn)為問題中的命題“按照路口規(guī)定的上限速度一起啟動比車輛依次啟動的通過率高”得到了證明。6.2 對于問題二的模型評價：對于提高交通路口的通行速度和通行能力，我們通過結(jié)合現(xiàn)實生活和物理學(xué)中的運動學(xué)知識得出這一課題的重點：只要車輛滿足在行駛過交通路口的過程中始終保持著上限速度即得到了最優(yōu)化的方法，我們采用的方法是增加一段加速區(qū)來滿足車輛到達(dá)交通路口時可以都以上限速度通過，并假設(shè)車輛在路口中行駛的過程中保持勻速，根據(jù)對運動學(xué)公式的列解得到了最優(yōu)化的結(jié)果。6.3 模型設(shè)計的優(yōu)點：1、簡化了車輛運動中某些繁瑣的過程，便于分析和計算2、所建立的模型與實際緊密相連，利用簡單的模型就能達(dá)到很好的效果，居于很強(qiáng)的推廣性3、列寫物理學(xué)