高考中用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)不等式的三類問題

1、高考中用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)不等式的三類綜合問題導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具，例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（?。┲怠⑶髽O大(小)值、求函數(shù)的值域等等.而在處理有關(guān)不等式的綜合性問題時往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)。因此，很多時侯可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具去研究函數(shù)的性質(zhì)，從而解決很多不等式問題.下面結(jié)合近幾年高考試題具體討論導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的三類綜合問題時的作用.一、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為 (或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的

2、一種重要方法.2014年江西高考數(shù)學(xué)理第18題：已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍.解析：，因為時依題意有，時有，從而時，有時，不等式的恒成立問題，依托三次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，要求我們轉(zhuǎn)化與劃歸，去具體研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)。2009年寧夏海南數(shù)學(xué)文：已知函數(shù)，若，且當時，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍.解析：的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于對稱.若上是增函數(shù)，從而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若,則不恒成立.所以使恒成立的實數(shù)的取值范圍是 二、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（一）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性后，證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時，則該函數(shù)在該區(qū)間

3、上單調(diào)遞增（或遞減）. 高考中，在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，常常把不等式通過移項，適當變形，讓不等號一端變?yōu)?后，把另一端構(gòu)造成一個新函數(shù),用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性,再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的.2013年遼寧高考數(shù)學(xué)理第21題：已知函數(shù)，當時，求證：解析：要證時，只需證明 .記，則，當時，因此在上是增函數(shù)，故.所以時，要證時，只需證明.記，則，當時，因此在上是增函數(shù)，故.所以時，綜上，時，當待證明的不等式中變量較多時，往往把其中一個作為主要的變量，其他的視作常量處理，去構(gòu)造輔助函數(shù)處理，易于打開解題突破口.2004年全國高考數(shù)學(xué)理壓軸題：已知,證明：證明：，設(shè)，則，當時，因此在內(nèi)

4、為減函數(shù)當時，因此在上為增函數(shù)從而，當時，有極小值因為,所以,即.設(shè),則當時,因此在上為減函數(shù)，因為,所以.即（二）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式.導(dǎo)數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值. 因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大（或最小）值時不等式都成立，可得該不等式恒成立.從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題.2013年課標全國高考數(shù)學(xué)理第21題：已知函數(shù)，當時，證明:.解析：當，時，故只需證明當時，.當時，函數(shù)在單調(diào)遞增又，故在有唯一實根，且當 時，；當時，從而當時，取得最小值由得，故綜上，當時，.三、利用導(dǎo)數(shù)解不等式一旦運用導(dǎo)數(shù)得到具體或抽象函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性的定義，結(jié)合函數(shù)值的大小關(guān)系，就可以得到自變量的大小關(guān)系，使得目標不等式獲解。2011年遼寧高考數(shù)學(xué)理第11題：已知函數(shù)的定義域為，,對于任意，則不等式的解集為（）A. B.（-1，+） C.(-,-1) D.（-，+）解析：結(jié)合目標不等式的特征，構(gòu)造函數(shù)，則由已知，任意，時，在上遞增 又，由即得.故選總之，無論是證明不等式，還是解不等式，亦或研究含有參數(shù)的不等式恒成立（或有解問題